3.2《函数与方程、不等式之间的关系》教学设计（表格式）
文档属性
| 名称 | 3.2《函数与方程、不等式之间的关系》教学设计（表格式） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 70.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-22 16:30:21 | ||
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文档简介
《函数与方程、不等式之间的联系》教学设计
数学内容分析:用函数观点理解方程和不等式是数学的基本思想方法。本节课通过梳理初中数学所学的二次函数与方程的相关内容，理解函数、方程和不等式之间的联系，即当函数值为零时即对应为方程，函数值不为零时即对应为不等式。未知不等关系的问题通过相等关系来化归，体会数学的转化思路。本节借助一元二次函数图像，提升直观想象素养，能正确求解一元二次不等式，来提升数学运算素养。能够理解和构建函数与方程、不等式之间的联系，发展数学抽象素养。
课程标准分析:通过用函数观点统一理解函数、方程与不等式的联系，逐渐学会利用函数思想解决相关的数学问题，体会数学内容之间的关联性。利用函数方法，借助一元二次函数的图象的直观展示，得到求解一元二次不等式的程序性步骤。
学情分析：学生在初中已经分别学习了一元二次函数的相关知识及其图象，同时也熟练的掌握求解一元二次方程的方法，但是对它们以及不等式之间的联系还没有深刻的理解，在他们的头脑中函数、方程、不等式都是模糊的，通过这节课的学习能让学生真正的体会数学内容之间的关联性和互化性，知道可以用函数解决相关的数学问题，重点提升学生数学抽象、直观想象和数学运算素养。
重难点分析：理解函数、方程、不等式三者关系
教学方式分析：本节课主要采用问题教学法，通过合作探究的方式让学生感受函数、方程、不等式之间的关系。整节课通过围绕“植树”的情境，逐步引导学生发现数学内容之间的关联。
教学目标 1、理解和构建函数与方程、不等式之间的联系，发展数学抽象素养（水平二）。 2、能够在关联的情境中，借助一元二次函数图像，发展直观想象素养（水平二）。 3、经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，得出求解一元二次不等式的程序性步骤，发展数学运算素养（水平二）。
评价目标 “四基”、“四能” 通过函数图象被x轴分割成几部分的直观，借助一元二次函数零点区分出方程与不等式。会由函数零点解出对应的不等式。感受到函数对应的方程与不等式，会用相等研究不等。理解从特殊到一般的思维过程。使学生获得未来发展所必需的四基，提高四能。
核心素养达成 让学生体会数学内容之间的关联性，感受函数值的变化过程中经历的不同状态。形成转化思想和化归思路，体会事物间的普遍联系性，发展数学抽象、直观想象和数学运算素养。
实践能力与创新意识 通过合作探究，展示，增强学生的交流能力，通过数学直观，让学生更好的感悟事物的本质。
教学思路 （1）从函数观点看方程。重点会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系。 （2）从函数观点看不等式。重点经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，不等式的解集的端点值可由其对应方程中得出，得到求解一元二次不等式的程序性步骤。
评价思路 通过从实际情境中抽象出数学概念和运算法则，进而得到解决一元二次不等式的程序性步骤，对学生 数学抽象，直观想象，逻辑推理、思维习惯、独立思考、合作探究，展示交流、学习习惯等方面进行评价。
一个重点 理解函数、方程、不等式三者关系
教学用具 多媒体、展台
教学过程
教学流程 教学内容 师生活动 设计意图及资源准备
情境与问题
情境引入
定向导 学
在植树节，班上组织学生去城市绿化带植树，这个绿化带是长比宽多6 米的矩形。假设树苗株距已经给定，提供的树苗恰好能栽满面积为40平方米的空地。 （1）写出绿化带剩余面积y(平方米)与绿化带长x（米）之间的函数关系式。并画出对应函数的图象。 （2）当矩形绿化带长为多少时，树苗刚好栽满面积为40平方米的空地。
学生:完成两个问题。
教师：结合学生的汇报，给予恰当的补充和评价。
激发学生的学习兴趣。能够在熟悉的情境中，让学生回忆一元二次函数与一元二次方程的有关内容。抽象出一元二次函数与一元二次方程的关系，即当函数值为0时，即对应为方程； 本节课将通过该情境的设计贯穿课堂教学的始终，通过学生的自主观察、交流、探索、归纳，让学生直观的认识到函数与方程、不等式之间的关联，提升学生的数学抽象、数学建模和直观想象的核心素养。通过发现问题并转化为数学问题，知道数学问题在现实生活中价值与作用。
知识与技能
精讲点拨 函数的零点：一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点，在坐标系中表示图象与轴的公共点是点。 说明：（1）函数的零点并不是点。 （2）函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。
学生：认识、了解零点概念，知道零点与方程根的关系 教师：给出概念并解析
恰当的体现教师的主导作用，引导学生感悟概念学习的方法。了解零点与方程根的关系，能够在关联的情境中抽象出一般的数学概念，能够理解和构建相关数学知识之间的联系，提升数学抽象素养。
有效训练 求出下列二次函数的零点 学生：独立完成，部分学生展示。 教师：引导学生评价总结同学的解答过程. 教师从学生逻辑推理、思维习惯、学习习惯等方面进行评价。 通过直观演示让学生感知，为学生提供思维方法与策略的引导。能够了解运算法则，正确进行运算，在运算过程中，能够体会运算法则的意义和作用，提升数学运算素养。通过归纳、类比，经历从特殊到一般的推理，提升逻辑推理素养。
思维与表达
小结升华1 对于二次函数 （1）当时，方程有两个不相等的实数根，函数的图象与轴的两个交点，该实数根即为交点的横坐标，又是该函数的两个零点。 （2）当时，方程有两个相等的实数根，函数的图象与轴的一个交点，该实数根即为这个交点的横坐标，又是该函数的零点。 （3）当时，方程没有实数根，也就是函数的图象与轴没有交点，该函数没有零点。 学生：通过前面的练习及思考，总结出一般的规律。 教师：引导学生体会从特殊到一般的思维方法。
让学生自主小结，培养学生的归纳概括能力，促进形成良好的知识结构与认知结构。积累从具体到抽象的活动经验，养成在日常生活和实践中一般性思考问题的习惯，进一步提升数学抽象素养。
合作探究
展示交流
情境问题中 （3）当矩形绿化带长为多少时，树苗会不够栽？
让学生画出问题1中函数的图象 建立数学模型：设绿化带长为x m 则依题意有 整理得 当或时，函数值等于0 即
当或时，函数值大于0 即 当时，函数值小于0 即 由函数图象可知，函数 的零点-4,10（方程根）就是不等式（或）的解集的端点值。 反之，不等式（或）的解集的端点值为方程的根。
学生：通过观察图象发现函数与不等式之间的关系。
教师：引导学生得出相应的结论。
让学生能够用图形探索解决问题的思路，更加深刻的体会数形结合思想在数学中的地位和作用。提升直观想象素养。通过观察图形，抽象出零点与不等式解集之间的关系，进而得出函数与方程、不等式之间的关系，提升数学抽象素养。
交流与反思 有效训练 分别求出下列不等式的解集 （1） （2）
观察三个函数图像及其值，总结二次函数的图像与x轴的位置关系与的关系。
这两道题是由有效训练1进行的变式，学生通过有效训练1知道的对应函数的零点，因此很容易画出对应函数的图象，从而既节省时间，减小运算量，又能让学生进一步感受函数与方程、不等式之间的联系。能够理解、归纳、类比，从而提升逻辑推理素养。
合作探究 展示交流 思考： 1、求解集 2、那么当呢？ 学生：通过合作探究完成，得出三种函数图象。
教师：对学生得出的结论给予恰当的评价。
让学生通过合作探究互帮互助，体验由特殊到一般的思想方法。通过展示交流，让学生知道数学转化思想，把a<0的问题转化成a>0，进而得出解决一元二次不等式的程序性解法，提升数学运算思维。
小结提升 2 求一元二次不等式解集的步骤： （1）把二次项系数化为正数 （2）计算判别式△ （3）解对应的一元二次方程 （4）根据一元二次方程的根，结合图象，写出不等式的解集
师生共同总结完善求解一元二次不等式解集的程序性步骤。教师从学生逻辑推理、思维习惯、独立思考、合作探究等方面进行评价。
生通过探究会发现当二次项系数小于零时，可以先化为正再求解，而且这三道例题也分别体现了△>0、△=0、△<0对不等式解集的影响，具有典型性、层次性和学生的可接受性。提升学生的数学表达能力和数学逻辑素养。
小结提升3 函数的零点（方程的根）就是不等式（或）的解集的端点值。 反之，不等式（或）的解集的端点值为方程的根。 学生：自主小结并展示交流 教师：完善提升
培养学生的归纳概括能力，理解函数、方程与不等式之间的紧密联系。促进形成良好的知识结构和认知结构。突破本节课的重难点。
答疑解惑 本节课你有哪些收获？还有哪些疑问 教师设计问题: 若函数、满足，如何求解？ 学生:谈谈本节课的心得体会，提出质疑的问题或是生成的新问题. 教师:给予解释和评价。
巩固本节课所学，激发学生的学习热情和积极性，让学生真正动脑，发现问题，解决问题。
作业布置 必做题 求函数的零点，并指出何值时有，？
选做题 若函数的一个零点在区间（2,3），则的取值范围是
学生课后完成 通过分层作业，达到因材施教，使不同的学生在数学上得到不同的发展，让每一个学生都得到符合自身实践的感悟，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，促进学生的自主发展
板书设计 课题 1函数与方程的关系 零点 求解一元二次不等式解集的步骤 2函数与不等式的关系 的解集
数学内容分析:用函数观点理解方程和不等式是数学的基本思想方法。本节课通过梳理初中数学所学的二次函数与方程的相关内容，理解函数、方程和不等式之间的联系，即当函数值为零时即对应为方程，函数值不为零时即对应为不等式。未知不等关系的问题通过相等关系来化归，体会数学的转化思路。本节借助一元二次函数图像，提升直观想象素养，能正确求解一元二次不等式，来提升数学运算素养。能够理解和构建函数与方程、不等式之间的联系，发展数学抽象素养。
课程标准分析:通过用函数观点统一理解函数、方程与不等式的联系，逐渐学会利用函数思想解决相关的数学问题，体会数学内容之间的关联性。利用函数方法，借助一元二次函数的图象的直观展示，得到求解一元二次不等式的程序性步骤。
学情分析：学生在初中已经分别学习了一元二次函数的相关知识及其图象，同时也熟练的掌握求解一元二次方程的方法，但是对它们以及不等式之间的联系还没有深刻的理解，在他们的头脑中函数、方程、不等式都是模糊的，通过这节课的学习能让学生真正的体会数学内容之间的关联性和互化性，知道可以用函数解决相关的数学问题，重点提升学生数学抽象、直观想象和数学运算素养。
重难点分析：理解函数、方程、不等式三者关系
教学方式分析：本节课主要采用问题教学法，通过合作探究的方式让学生感受函数、方程、不等式之间的关系。整节课通过围绕“植树”的情境，逐步引导学生发现数学内容之间的关联。
教学目标 1、理解和构建函数与方程、不等式之间的联系，发展数学抽象素养（水平二）。 2、能够在关联的情境中，借助一元二次函数图像，发展直观想象素养（水平二）。 3、经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，得出求解一元二次不等式的程序性步骤，发展数学运算素养（水平二）。
评价目标 “四基”、“四能” 通过函数图象被x轴分割成几部分的直观，借助一元二次函数零点区分出方程与不等式。会由函数零点解出对应的不等式。感受到函数对应的方程与不等式，会用相等研究不等。理解从特殊到一般的思维过程。使学生获得未来发展所必需的四基，提高四能。
核心素养达成 让学生体会数学内容之间的关联性，感受函数值的变化过程中经历的不同状态。形成转化思想和化归思路，体会事物间的普遍联系性，发展数学抽象、直观想象和数学运算素养。
实践能力与创新意识 通过合作探究，展示，增强学生的交流能力，通过数学直观，让学生更好的感悟事物的本质。
教学思路 （1）从函数观点看方程。重点会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系。 （2）从函数观点看不等式。重点经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，不等式的解集的端点值可由其对应方程中得出，得到求解一元二次不等式的程序性步骤。
评价思路 通过从实际情境中抽象出数学概念和运算法则，进而得到解决一元二次不等式的程序性步骤，对学生 数学抽象，直观想象，逻辑推理、思维习惯、独立思考、合作探究，展示交流、学习习惯等方面进行评价。
一个重点 理解函数、方程、不等式三者关系
教学用具 多媒体、展台
教学过程
教学流程 教学内容 师生活动 设计意图及资源准备
情境与问题
情境引入
定向导 学
在植树节，班上组织学生去城市绿化带植树，这个绿化带是长比宽多6 米的矩形。假设树苗株距已经给定，提供的树苗恰好能栽满面积为40平方米的空地。 （1）写出绿化带剩余面积y(平方米)与绿化带长x（米）之间的函数关系式。并画出对应函数的图象。 （2）当矩形绿化带长为多少时，树苗刚好栽满面积为40平方米的空地。
学生:完成两个问题。
教师：结合学生的汇报，给予恰当的补充和评价。
激发学生的学习兴趣。能够在熟悉的情境中，让学生回忆一元二次函数与一元二次方程的有关内容。抽象出一元二次函数与一元二次方程的关系，即当函数值为0时，即对应为方程； 本节课将通过该情境的设计贯穿课堂教学的始终，通过学生的自主观察、交流、探索、归纳，让学生直观的认识到函数与方程、不等式之间的关联，提升学生的数学抽象、数学建模和直观想象的核心素养。通过发现问题并转化为数学问题，知道数学问题在现实生活中价值与作用。
知识与技能
精讲点拨 函数的零点：一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点，在坐标系中表示图象与轴的公共点是点。 说明：（1）函数的零点并不是点。 （2）函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。
学生：认识、了解零点概念，知道零点与方程根的关系 教师：给出概念并解析
恰当的体现教师的主导作用，引导学生感悟概念学习的方法。了解零点与方程根的关系，能够在关联的情境中抽象出一般的数学概念，能够理解和构建相关数学知识之间的联系，提升数学抽象素养。
有效训练 求出下列二次函数的零点 学生：独立完成，部分学生展示。 教师：引导学生评价总结同学的解答过程. 教师从学生逻辑推理、思维习惯、学习习惯等方面进行评价。 通过直观演示让学生感知，为学生提供思维方法与策略的引导。能够了解运算法则，正确进行运算，在运算过程中，能够体会运算法则的意义和作用，提升数学运算素养。通过归纳、类比，经历从特殊到一般的推理，提升逻辑推理素养。
思维与表达
小结升华1 对于二次函数 （1）当时，方程有两个不相等的实数根，函数的图象与轴的两个交点，该实数根即为交点的横坐标，又是该函数的两个零点。 （2）当时，方程有两个相等的实数根，函数的图象与轴的一个交点，该实数根即为这个交点的横坐标，又是该函数的零点。 （3）当时，方程没有实数根，也就是函数的图象与轴没有交点，该函数没有零点。 学生：通过前面的练习及思考，总结出一般的规律。 教师：引导学生体会从特殊到一般的思维方法。
让学生自主小结，培养学生的归纳概括能力，促进形成良好的知识结构与认知结构。积累从具体到抽象的活动经验，养成在日常生活和实践中一般性思考问题的习惯，进一步提升数学抽象素养。
合作探究
展示交流
情境问题中 （3）当矩形绿化带长为多少时，树苗会不够栽？
让学生画出问题1中函数的图象 建立数学模型：设绿化带长为x m 则依题意有 整理得 当或时，函数值等于0 即
当或时，函数值大于0 即 当时，函数值小于0 即 由函数图象可知，函数 的零点-4,10（方程根）就是不等式（或）的解集的端点值。 反之，不等式（或）的解集的端点值为方程的根。
学生：通过观察图象发现函数与不等式之间的关系。
教师：引导学生得出相应的结论。
让学生能够用图形探索解决问题的思路，更加深刻的体会数形结合思想在数学中的地位和作用。提升直观想象素养。通过观察图形，抽象出零点与不等式解集之间的关系，进而得出函数与方程、不等式之间的关系，提升数学抽象素养。
交流与反思 有效训练 分别求出下列不等式的解集 （1） （2）
观察三个函数图像及其值，总结二次函数的图像与x轴的位置关系与的关系。
这两道题是由有效训练1进行的变式，学生通过有效训练1知道的对应函数的零点，因此很容易画出对应函数的图象，从而既节省时间，减小运算量，又能让学生进一步感受函数与方程、不等式之间的联系。能够理解、归纳、类比，从而提升逻辑推理素养。
合作探究 展示交流 思考： 1、求解集 2、那么当呢？ 学生：通过合作探究完成，得出三种函数图象。
教师：对学生得出的结论给予恰当的评价。
让学生通过合作探究互帮互助，体验由特殊到一般的思想方法。通过展示交流，让学生知道数学转化思想，把a<0的问题转化成a>0，进而得出解决一元二次不等式的程序性解法，提升数学运算思维。
小结提升 2 求一元二次不等式解集的步骤： （1）把二次项系数化为正数 （2）计算判别式△ （3）解对应的一元二次方程 （4）根据一元二次方程的根，结合图象，写出不等式的解集
师生共同总结完善求解一元二次不等式解集的程序性步骤。教师从学生逻辑推理、思维习惯、独立思考、合作探究等方面进行评价。
生通过探究会发现当二次项系数小于零时，可以先化为正再求解，而且这三道例题也分别体现了△>0、△=0、△<0对不等式解集的影响，具有典型性、层次性和学生的可接受性。提升学生的数学表达能力和数学逻辑素养。
小结提升3 函数的零点（方程的根）就是不等式（或）的解集的端点值。 反之，不等式（或）的解集的端点值为方程的根。 学生：自主小结并展示交流 教师：完善提升
培养学生的归纳概括能力，理解函数、方程与不等式之间的紧密联系。促进形成良好的知识结构和认知结构。突破本节课的重难点。
答疑解惑 本节课你有哪些收获？还有哪些疑问 教师设计问题: 若函数、满足，如何求解？ 学生:谈谈本节课的心得体会，提出质疑的问题或是生成的新问题. 教师:给予解释和评价。
巩固本节课所学，激发学生的学习热情和积极性，让学生真正动脑，发现问题，解决问题。
作业布置 必做题 求函数的零点，并指出何值时有，？
选做题 若函数的一个零点在区间（2,3），则的取值范围是
学生课后完成 通过分层作业，达到因材施教，使不同的学生在数学上得到不同的发展，让每一个学生都得到符合自身实践的感悟，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，促进学生的自主发展
板书设计 课题 1函数与方程的关系 零点 求解一元二次不等式解集的步骤 2函数与不等式的关系 的解集