集合与常用逻辑用语学案新人教A版必修第一册（含答案）

专项培优1章末复习课
　
考点一　集合的基本概念
1．与集合中的元素有关问题的求解策略：
(1)确定集合中元素具有的属性，即是数集还是点集．
(2)看元素是否具有相应的限制条件．
(3)根据限制条件确定参数的值或元素的个数时，注意对元素互异性的检验．
2．通过对集合基本概念的理解和应用，提升学生的数学抽象、数学运算素养．
例1　(1)已知集合M＝{(x，y)|x，y∈N*，x＋y≤2}，则M中元素的个数为(　　)
A．1B．2
C．3D．0
(2)已知集合M＝{a，2a－1，2a2－1}，若1∈M，则M中所有元素之和为(　　)
A．3B．1
C．－3D．－1
(3)若集合{x|ax2＋x＋2＝0}有且只有一个元素，则实数a的取值集合为________．
考点二　集合间的关系
1．集合与集合间的关系是包含(真包含)和相等关系，判断两集合之间的关系，可从元素特征入手，并注意代表元素；应用两集合间的关系时注意对细节的把握，不要忽略掉特殊情况，如已知A B的情况下，不要忽略掉A＝ 的情况．
2．通过对集合间的关系的应用，提升学生的逻辑推理、直观想象素养．
例2　(1)设集合M＝{x|x>4}，N＝{x|x2>4}，则(　　)
A．M NB．N M
C．M RND．N RM
(2)[2022·重庆高一期末]已知集合A＝{0，1}，B＝{－1，0，a＋3}，且A B，则a等于(　　)
A．－3B．－2
C．0D．1
(3)已知集合A满足{1} A {1，2，3，4}，这样的集合A有________个(　　)
A．5B．6
C．7D．8
考点三　集合的运算
1．集合的运算有交(、并(、补( UA)这三种常见的运算，它是本章核心内容之一，在进行集合的交集、并集、补集运算时，往往由于运算能力差或考虑不全面而极易出错，此时，数轴分析法(或Venn图)是个好帮手，能将复杂问题直观化，是数形结合思想具体应用之一．在具体应用时要注意端点值是否符合题意，以免增解或漏解．
2．通过对集合运算的掌握，提升直观想象、数学运算素养．
例3　(1)正确表示图中阴影部分的是(　　)
A．( UA)∪B B.( UA)∪( UB)
C． U(A∪B) D. U(A
(2)已知M＝{x|0A．{x|0C．{x|x≥－1}D．{－1，0，1}
(3)已知集合M＝{x|x2－4<0}，N＝{x∈Z|x<3}，则M＝(　　)
A．MB．N
C．{－1，1}D．{－1，0，1}
考点四　充分条件与必要条件
1．充要条件是数学中较为重要的一个概念，在高考中经常有所考查，以数学的其他知识为载体，考查充分条件、必要条件、充要条件的判断或寻求充要条件的成立性．
2．通过对充分条件与必要条件的掌握，提升逻辑推理、数学运算素养．
例4　(1)已知a∈R，则“|a|>2”是“a>2”的(　　)
A.充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)(多选)下列四个命题中为真命题的是(　　)
A．“x>2”是“x<3”的既不充分也不必要条件
B．“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要不充分条件
C．关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实数根的充要条件是Δ＝b2－4ac≥0
D．若集合A B，则x∈A是x∈B的充分不必要条件
(3)已知集合A＝{x|－2考点五　全称量词命题与存在量词命题
1．解题策略：
(1)全称量词命题的真假判定：要判定一个全称量词命题为真，必须对限定集合M中每一个x验证p(x)成立，一般用代数推理的方法加以证明．要判定一个全称量词命题为假，只需举出一个反例即可．
(2)存在量词命题的真假判定：要判定一个存在量词命题为真，只要在限定集合M中，能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可．否则，这一存在量词命题为假．
(3)已知含量词的命题的真假求参数的取值范围，实质上是对命题意义的考查．解决此类问题，一定要辨清参数，合理选取主元，确定解题思路，利用函数、方程、不等式等知识求解参数的取值范围．解题过程中要注意相关条件的限制．
2．通过对全称量词命题与存在量词命题的掌握，提升学生的逻辑推理、数学运算素养．
例5　(1)[2022·山西太原市高一期中](多选)下列存在量词命题中，为真命题的是(　　)
A．有些自然数是偶数
B．至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除
C． x∈R，|x|<0
D． x∈Z，x2－2x＋3＝0
(2)命题“ x>2，x2＋2>6”的否定是(　　)
A． x>2，x2＋2<6
B． x>2，x2＋2≤6
C． x>2，x2＋2<6
D． x>2，x2＋2≤6
(3)已知命题p： x∈R，m|x|＋1≤0，若 p为假命题，则实数m的取值范围是________．
专项培优1　章末复习课
考点聚焦·分类突破
例1　解析：(1)集合M＝{(x，y)|x，y∈N*，x＋y≤2}＝{(1，1)}，M中只有1个元素．
(2)若a＝1，则2a－1＝1，矛盾；
若2a－1＝1，则a＝1，矛盾，故2a2－1＝1，
解得a＝1(舍)或a＝－1，
故M＝{－1，－3，1}，元素之和为－3.
(3)当a＝0时，则有{x|ax2＋x＋2＝0}＝{x|x＋2＝0}＝{－2}，合乎题意；
当a≠0时，由题意可得Δ＝1－8a＝0，解得a＝.
综上所述，实数a的取值集合为{0，}．
答案：(1)A　(2)C　(3){0，}
例2　解析：(1)N＝{x|x2>4}＝{x|x>2或x<－2}，
RN＝{x|－2≤x≤2}， RM＝{x|x≤4}，
∴M N.
(2)因为A B，所以a＋3＝1 a＝－2，经验证，满足题意．
(3)由题得集合A＝{1}，{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}．
答案：(1)A　(2)B　(3)C
例3　解析：(1)由题意图中阴影部分： U(A
(2)由题设，M＝{x|0(3)方程x2－4＝0有两根x1＝2或x2＝－2，则由不等式x2－4<0可得－2则M＝{x|x2－4<0}＝{x|－2又N＝{x∈Z|x<3}，
故M＝{x|－2答案：(1)C　(2)C　(3)D
例4　解析：(1)当a＝－3时，|a|>2，a<2，所以|a|>2a>2，
又a>2能推出|a|>2，
所以“|a|>2”是“a>2”的必要不充分条件．
(2){x|x>2} {x|x<3}且{x|x<3} {x|x>2}，所以A正确；正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是正三角形，所以“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分不必要条件，故B错误；一元二次方程有实根则Δ≥0，反之亦然，故C正确；当集合A＝B时，应为充要条件，故D不正确．
(3)由题意及x∈B是x∈A成立的一个充分而不必要条件，得B?A，
即解得，－5答案：(1)B　(2)AC　(－5，1)
例5　解析：(1)对于A，2，4都是自然数，也都是偶数，A正确；对于B，6是整数，6能同时被2和3整除，B正确；对于C，因 x∈R，|x|≥0是真命题，则 x∈R，|x|<0是假命题，C不正确；对于D，因 x∈R，x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0成立，则 x∈Z，x2－2x＋3＝0是假命题，D不正确．
(2)命题“ x>2，x2＋2>6”为全称量词命题，
其否定应为存在量词命题，即 x>2，x2＋2≤6.
(3)若 p为假命题，则p为真命题．
当m≥0时，m|x|＋1≥1>0，p为假命题；当m<0时，取x＝，则m|x|＋1＝m||＋1＝－2＋1＝－1<0，p为真命题．因此若 p为假命题，则实数m的取值范围是{m|m<0}．
答案：(1)AB　(2)D　(3){m|m<0}
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