北师大版数学八年级上册 1.2一定是直角三角形吗 同步练习题 (含答案）

2022-2023学年北师大版八年级数学上册《1.2一定是直角三角形吗》同步练习题（附答案）
一．选择题
1．下列各组数是勾股数的一组是（　　）
A．7，24，25 B．32，42，52 C．1.5，2，2.5 D．3, 4, 7
2．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（　　）
A．3，4，5 B．2，3，4 C．7，24，25 D．9，12，15
3．如图，小正方形的边长均为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ACB的度数是（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
4．下列条件中，不能判定△ABC为直角三角形的是（　　）
A．c2＝a2+b2 B．∠A+∠B＝∠C
C．∠A：∠B：∠C＝2：3：5 D．a＝6，b＝12，c＝13
5．五根小木棒，其长度（单位：cm）分别为8，9，12，15，17，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．在△ABC中，BC2﹣AC2＝AB2．若∠B＝25°，则∠C＝（　　）
A．20° B．35° C．65° D．75°
7．如图，在3×3的方格纸中，已知点A，B在方格顶点上（也称格点），若点C也是格点，且使得△ABC为直角三角形，则满足条件的C点有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题
8．如图，以△ABC的三边向外作正方形，依次得到的正方形的面积为36，64，100，则这个三角形的面积是 　 　．
9．如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝4，BC＝3，AD＝12，CD＝13，则四边形ABCD的面积是 　 　．
10．勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是 　 　（结果用含m的式子表示）．
11．如图：在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝5，则CE2+CF2＝　 　．
12．如图，点A、B、C在正方形网格点上，则∠ABC+∠ACB＝　 　．
13．如图，AD是△ABC的中线，若AB＝13，BC＝10，AD＝12，则AC＝　 　．
14．如图，正方形网格中每一个小正方形的边长为1，小正方形的顶点为格点，点A，B，C为格点，点D为AC与网格线的交点，则∠ADB﹣∠ABD＝　 　．
15．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6，则△ABD的面积是　 　．
三．解答题
16．如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线DE与AB、AC分别交于点E和D，且CB2＝AD2﹣CD2．
（1）求证：∠C＝90°；
（2）若AC＝4，BC＝3，求CD的长．
17．在四边形ABCD中，已知AB＝5，BC＝3，AD＝4，CD2＝32，且AC⊥BC于点C．试求：
（1）AC的长；
（2）∠BCD的度数．
（3）四边形ABCD的面积．
18．如图，在△ABC中，AE＝3，BE＝5，AC＝4，DE是BC的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E．求证：△ABC为直角三角形．
19．如图，在方格纸上的每个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D都在正方形的顶点上．
（1）△ABC和△ACD都是直角三角形吗？为什么？
（2）由（1）能判定D，C，B三点在一条直线上吗？说明理由；
（3）求∠ADC的度数．
20．如图，在△ABC中，D是边BC的中点，E是边AC的中点，连接AD，BE．
（1）若CD＝8，CE＝6，AB＝20，求证：∠C＝90°；
（2）若∠C＝90°，AD＝13，AE＝6，求△ABC的面积．
21．早在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫做“整数直角三角形”，那么这三个整数叫做一组“勾股数”．在一次“构造勾股数”的探究性学习中，老师给出了下表（其中m，n为正整数，且m＞n）：
m 2 3 3 4 4 …
n 1 1 2 1 2 …
a 22+12 32+12 32+22 42+12 42+22 …
b 4 6 12 8 16 …
c 22﹣12 32﹣12 32﹣22 42﹣12 42﹣22 …
（1）探究a，b，c与m，n之间的关系并用含m，n的代数式表示：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　．
（2）以a，b，c为边长的三角形是否一定为直角三角形？请说明理由．
参考答案
一．选择题
1．解：A、∵72+242＝252，
∴7、24、25是一组勾股数，故本选项符合题意；
B、∵（32）2+（42）2≠（52）2，
∴32、42、52不是一组勾股数，故本选项不符合题意；
C、∵1.5和2.5不是正整数，
∴1.5、2、2.5不是一组勾股数，故本选项不符合题意；
D、∵3,4,7不能构成三角形，故本选项不符合题意；
故选：A．
2．解：A、32+42＝52，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
B、22+32≠42，不符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意；
C、72+242＝252，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
D、92+122＝152，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意．
故选：B．
3．解：由图可知：
∴AB2+BC2＝AC2，AB＝BC，
∴△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，
∴∠ACB＝45°．
故选：B．
4．解：A、∵c2＝a2+b2，
∴能判定△ABC为直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴能判定△ABC为直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵∠A：∠B：∠C＝2：3：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°×＝90°，
∴能判定△ABC为直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵a＝6，b＝12，c＝13，
∴a2+b2＝62+122＝180，c2＝132＝169，
∴a2+b2≠c2，
∴不能判定△ABC为直角三角形，
故D符合题意；
故选：D．
5．解：∵82+152＝172，92+122＝152，
∴用长度为8，15，17和9，12，15的小木棒能分别摆成两个直角三角形，
故选：C．
6．解：∵BC2﹣AC2＝AB2，
∴BC2＝AC2+AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠A＝90°，
∵∠B＝25°，
∴∠C＝90°﹣∠B＝65°，
故选：C．
7．解：如图，分情况讨论：
①AB为直角△ABC斜边时，符合条件的格点C点有2个；
②AB为直角△ABC其中的一条直角边时，符合条件的格点C点有1个．
故共有3个点，
故选：C．
二．填空题
8．解：由题可得，36+64＝100，
∴62+82＝102，
∴△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°，
又∵AB＝6，BC＝8，
∴△ABC的面积＝AB×BC＝＝24．
故答案为：24．
9．解：如图，连接AC，
在△ABC中，AB⊥BC，AB＝4，BC＝3，
∴AC＝5．
在△ADC中，AD＝12，CD＝13，AC＝5．
∵122+52＝132，即AD2+AC2＝CD2，
∴△ADC是直角三角形，且∠DAC＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC
＝AB BC+AC AD
＝×4×3+×5×12
＝6+30
＝36．
故答案为：36．
10．解：∵m为正整数，
∴2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，
根据勾股定理得，（2m）2+a2＝（a+2）2，
解得a＝m2﹣1，
∴弦是a+2＝m2﹣1+2＝m2+1，
故答案为：m2+1．
11．解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠ACB，∠ACF＝∠ACD，即∠ECF＝（∠ACB+∠ACD）＝90°，
又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECB＝∠MEC＝∠ECM，∠DCF＝∠CFM＝∠MCF，
∴CM＝EM＝MF＝5，EF＝10，
由勾股定理可知CE2+CF2＝EF2＝100．
12．解：如图：延长BA到点D，连接CD，
由题意得：
AD2＝22+12＝5，
CD2＝22+12＝5，
AC2＝12+32＝10，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠ADC＝90°，
∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA＝45°，
∵∠DAC是△ABC的一个外角，
∴∠DAC＝∠ABC+∠ACB＝45°，
故答案为：45°．
13．解：∵AD为△ABC的中线，BC＝10，
∴BD＝CD＝BC＝5，
∵AB＝13，AD＝12，
∴52+122＝132，即BD2+AD2＝AB2，
∴△ABD是直角三角形，则AD⊥BC，
又∵CD＝BD，
∴AC＝AB＝13．
故答案为：13．
14．解：如图：连接AE，BE，设AE与BD交于点F，
由题意得：
AB2＝12+32＝10，
AE2＝12+22＝5，
EB2＝12+22＝5，
∴AE＝EB，BE2+AE2＝AB2，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠BAE＝45°，
∵BD∥EC，
∴∠ADB＝∠ACE，∠AFD＝∠AEC，
∵AE＝AC，
∴∠AEC＝∠ACE，
∴∠AFD＝∠ADF，
∵∠AFD是△ABF的一个外角，
∴∠AFD﹣∠ABD＝∠BAE＝45°，
∴∠ADB﹣∠ABD＝45°，
故答案为：45°．
15．解：延长AD到点E，使DE＝AD＝6，连接CE，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△ABD和△CED中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴CE＝AB＝5，∠BAD＝∠E，
∵AE＝2AD＝12，CE＝5，AC＝13，
∴CE2+AE2＝AC2，
∴∠E＝90°，
∴∠BAD＝90°，
即△ABD为直角三角形，
∴△ABD的面积＝AD AB＝15，
故答案为：15．
三．解答题
16．（1）证明：连接BD，
∵AB边上的垂直平分线为DE，
∴AD＝BD，
∵CB2＝AD2﹣CD2，
∴CB2＝BD2﹣CD2，
∴CB2+CD2＝BD2，
∴∠C＝90°；
（2）解：设CD＝x，则AD＝BD＝4﹣x，
在Rt△BCD中，BD2﹣CD2＝BC2，
∴（4﹣x）2﹣x2＝32，
解得：x＝，
∴CD的长为．
17．解：（1）∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝5，BC＝3，
∴AC＝4，
∴AC的长为4；
（2）∵AC＝4，AD＝4，CD2＝32，
∴AC2+AD2＝42+42＝32，CD2＝32，
∴AC2+AD2＝CD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠CAD＝90°，
∵AC＝AD＝4，
∴∠ACD＝∠D＝45°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝135°，
∴∠BCD的度数为135°；
（3）由题意得：
四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ACD的面积
＝AC CB+AD AC
＝×4×3+×4×4
＝6+8
＝14，
∴四边形ABCD的面积为14．
18．证明：连接CE，
∵DE是BC的垂直平分线，
∴EC＝BE＝5，
在△AEC中，AE＝3，EC＝5，AC＝4，
∵AC2+AE2＝42+32＝25，EC2＝52＝25，
∴AC2+AE2＝EC2，
∴△AEC是直角三角形，
∴∠A＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
19．解：（1）△ABC不是直角三角形，△ACD是直角三角形，
理由：∵AD2＝52+12＝26，AC2+CD2＝32+22+32+22＝26，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
∴△ACD是直角三角形，
∵AC2+BC2＝13+12+22＝18，AB2＝42＝16，
∴AC2+BC2≠AB2，
∴△ABC不是直角三角形；
（2）D，C，B三点不在一条直线上，
理由：∵∠ACD＝90°，∠ACB≠90°，
∴∠BCD≠180°，
∴D，C，B三点不在一条直线上；
（3）由（1）知，∠ACD＝90°，
∵AC2＝CD2＝13，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴∠ADC＝45°
20．（1）证明：∵D是边BC的中点，E是边AC的中点，CD＝8，CE＝6，
∴AC＝2CE＝12，BC＝2CD＝16，
∵AB＝20，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠C＝90°；
（2）解：∵E是边AC的中点，AE＝6，
∴AC＝2AE＝12．
在Rt△ACD中，∵∠C＝90°，AC＝12，AD＝13，
∴CD＝5，
∴BC＝2CD＝10，
∴△ABC的面积＝AC BC＝×12×10＝60．
21．解：（1）观察得，a＝m2+n2，b＝2mn，c＝m2﹣n2．
故答案为：m2+n2，2mn，m2﹣n2；
（2）以a，b，c为边长的三角形一定为直角三角形，理由如下：
∵a2＝（m2+n2）2＝m4+2m2n2+n4，
b2+c2＝m4﹣2m2n2+n4+4m2n2＝m4+2m2n2+n4，
∴a2＝b2+c2，
∴以a，b，c为边长的三角形一定为直角三角形．