安徽省滁州市定远县育才学校2022-2023学年高三上学期9月开学摸底考试数学试题（Word版含答案）

育才学校2022-2023学年高三上学期9月开学摸底考试
数学试题
第I卷 选择题（共60分）
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)
1．已知集合，，，则 =（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数满足，（ ）
A．3 B．4 C．5 D．25
3．某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）是（ ）
A．24 B．30 C． D．
4．已知椭圆的左右焦点分别为，，过的直线与交于，两点，其中为椭圆与轴正半轴的交点.若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．函数，其相邻的两最值点分别是，且满足，图象过坐标原点，若在上f(x)恰有两个最大值点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．已知双曲线的一个焦点为，且双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的方程为（ ）．
A． B． C． D．
8．在中，，则的面积是（　　）.
A． B． C． D．
9．已知函数的定义域为当时，；当时，；当时，，则　　
A． B． C．0 D．2
10．已知向量，，若，则（ ）
A．5 B．15 C． D．
11．已知曲线上任意一点满足，则曲线上到直线的距离最近的点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
12．如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
第II卷 非选择题（共90分）
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13．直线与函数交于，两点，函数在，两点处切线分别交轴于，两点，，的中点为，两切线交于点，则______.
14．已知是定义在上的奇函数，且对于任意的均有．当时，，则______．
15．已知点是抛物线上动点，是抛物线的焦点，点的坐标为，则的最小值为______________．
16．在中，角的对边分别为为边上的中线，若，则_________；_______．
三、解答题(本大题共6小题,共70分。其中22、23为选考题。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
17．（12分）已知数列的前项和是，数列的前项和是，若，，．再从三个条件：①；②，；③，中任选一组作为已知条件，完成下面问题的解答．
（1）求数列的通项公式；
（2）定义：．记，求数列的前项的和．
18．（12分）近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，肥胖人群有很大的心血管安全隐患．目前，国际上常用身体质量指数（，缩写为）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是．中国成人的数值标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．为了解某公司员工的身体质量指数，研究人员从公司员工体检数据中，抽取了名员工（编号）的身高和体重数据，并计算得到他们的值（精确到0.1）如下表：
编号 1 2 3 4 5 6 7 8
身高 164 176 165 163 170 172 168 182
体重 60 72 77 54 ● ● 72 55
（近似值） 22.3 23.2 28.3 20.3 23.5 23.7 25.5 16.6
（1）现从这名员工中选取人进行复检，记抽取到值为“正常”员工的人数为，求的分布列及数学期望．
（2）某调查机构分析发现公司员工的身高和体重之间有较强的线性相关关系，在编号为和的体重数据丢失之前调查员甲已进行相关的数据分析，并计算得出该组数据的线性回归方程为，且根据回归方程预估一名身高为的员工体重为，计算得到的其他数据如下：，．
①求的值及表格中名员工体重的平均值；
②在数据处理时，调查员乙发现编号为的员工体重数据有误，应为，身高数据无误．请你根据调查员乙更正的数据重新计算线性回归方程，并据此预估一名身高为的员工的体重．
（附：对于一组数据、、、，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：，．
19．（12分）如图，平面，四边形是矩形， ，点是的中点，点在边上移动.
（1）当点为的中点时，试判断与平面的位置关系，并说明理由；
（2）证明：无论点E在边BC的何处，都有.
20．（12分）已知抛物线的焦点为F，过点F与x轴垂直的直线交抛物线的弦长为2．
(1)求抛物线N的方程；
(2)点和点为两定点，点A和点B为抛物线N上的两动点，线段AB的中点Q在直线OM上，求△ABC面积的最大值．
21．（12分）已知函数，.
（1）若，求函数在[0,1]上的最值；
（2）若函数的递减区间为，试探究函数在区间上的单调性.
22．（10分）选修4 - 4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(1)求曲线的直角坐标方程和直线的极坐标方程；
(2)射线，和曲线分别交于点，，与直线分别交于，两点，求四边形的面积．
23．（10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数．
(1)若，求的解集；
(2)若恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案
1．C 2．D 3．D 4．D 5．D 6．D 7．D 8．A 9．D 10．C 11．B 12．A
13．1 14． -0.5 15． 16．
17．【解析】（1）由已知得，为等比数列，公比为，则，
，所以，.
选择①，当时，，
当时，.
满足，所以，；
选择②，，即，
所以是首项为，公差为的等差数列，；
选择③，；
（2），，，，
当且时，令，
则数列为单调递增数列，且，即.
所以，，
所以，
．
18．【解析】（1）名员工中值为“正常”员工有人，记抽取到值为“正常”员工的人数为，则的可能取值有、、，
则，，，
故的分布列为：
则；
（2）①调查员由线性回归方程预估一名身高为的员工的体重为，
由此可计算，故；
（2）由①知更正前的数据，．
由得，
更正后的数据，，
，
，
，
故．
更正后该组数据的线性回归方程为，
因此，预估一名身高为的员工的体重.
19． 【解析】（1）是的中点，是的中点，
.又平面.平面，
平面.
（2）以为原点，所在的直线分别为轴 轴 轴建立空间直角坐标系，
则，，，
设，则
在上，
设，
，，
，.
无论点在边的何处，都有.
20．(1)
(2)
(1)解：由题意得抛物线的焦点为，
在方程中，令，可得，
所以弦长为，即，解得，
所以抛物线C的方程为．
(2)解：由（1）知抛物线的方程为，
设，直线AB的斜率为，
因为线段的中点在直线上，
由可知直线OM的方程为，
设，所以，所以，
又，所以，即得，
设直线的方程为，即，
联立方程组，所以，
所以，即，
由根据与系数的关系得，
则
，
又由点到直线的距离为，
所以
，
记，因为，所以，
所以，
令，可得，
令，可得，
当时，；当时，，
所以当时，取得最大值，即有最大值为.
21．（1）最大值为，最小值为；（2）在区间上递减.
【解析】（1）依题意，，当时，，当时，，
所以当时，函数有最小值，
又，，故函数在[0,1]上的最大值为，最小值为.
（2）依题意，，因为，所以的递减区间为，
当时，，所以在的递减区间上也递减.
考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数求函数的最值.
22．(1)；
(2)
【解析】（1）曲线转换为直角坐标方程为．
直线的直角坐标方程为，根据，
整理得，即．
（2）
法一：射线，和曲线分别交于点，，
与直线分别交于，两点，如图所示：
所以直线的直角坐标方程为，
直线的直线方程为，
所以，解得，
设直线与轴交于点，
将代入，得，即．
所以．
同理：，解得，
所以，
所以
．
法二：由，得，
由，得，
所以，，
所以．
23．(1)
(2)
【解析】
（1）由题知，即．当时，．
当时，，解得，；
当时，，恒成立，；
当时，，解得，，
的解集为．
（2）由，即．
令，
，当且仅当时等号成立，
，，
∴，
解得或，
实数a的取值范围为．