2022-2023学年人教版数学九年级上册 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 同步练习（含答案）

21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
一、选择题（共5小题）
1. 已知 α，β 是一元二次方程 x2+x 2=0 的两个实数根，则 α+β αβ 的值是
A. 3 B. 1 C. 1 D. 3
2. 已知关于 x 的方程 x2+px+q=0 的两根为 3 和 1，则 p，q 的值分别为
A. 4，3 B. 4， 3 C. 4，3 D. 4， 3
3. 已知 x1，x2 是关于 x 的方程 x2+bx 3=0 的两根，且满足 x1+x2 3x1x2=5，那么 b 的值为
A. 4 B. 4 C. 3 D. 3
4. 已知一元二次方程 2x2+2x 1=0 的两个根为 x1，x2，且 x1A. x1+x2=1 B. x1 x2= 1 C. ∣x1∣<∣x2∣ D. x12+x1=12
5. 若 x1+x2=3，x12+x22=5，则以 x1，x2 为根的一元二次方程是
A. x2 3x+2=0 B. x2+3x 2=0 C. x2+3x+2=0 D. x2 3x 2=0
二、填空题（共5小题）
6. 设 a，b 是方程 x2+x 2019=0 的两个实数根，则 a 1b 1 的值为 ．
7. 已知方程 2x2 8x+k=0 的一个根为 2 2，则方程的另一个根是 ，k 的值是 ．
8. 如果关于 x 的一元二次方程 x2+3x 7=0 的两根分别为 α，β，则 α2+4α+β= ．
9. 关于 x 的方程 x2+a+1x+a2=0 的两根互为倒数，则 a 的值为 ．
10. 已知 x≠y，且 x2 x=10，y2 y=10，则 x2y+y2x 的值是 ．
三、解答题（共6小题）
11. 不解方程，直接写出下列方程中两个根的和与积（设两根分别为 x1，x2）．
（1）x2 3x+1=0；
（2）2x2+3x 5=0；
（3）xx 2+1=0；
（4）x+1x 2=4x 1．
12. 已知 x1，x2 是方程 x2 3x 5=0 的两个根，不解方程，求下列代数式的值．
（1）x12+x22；
（2）1x1+1x2；
（3）x2x1+x1x2；
（4）x1 x22．
13. 已知 x1，x2 是一元二次方程 x2 2x+k+2=0 的两个实数根．
（1）求 k 的取值范围．
（2）是否存在实数 k，使得等式 1x1+1x2=k 2 成立 如果存在，请求出 k 的值；如果不存在，请说明理由．
14. 已知关于 x 的一元二次方程 x2 4x 2k+8=0 有两个实数根 x1，x2．
（1）求 k 的取值范围；
（2）若 x13x2+x1x23=24，求 k 的值．
15. 已知关于 x 的方程 x2+22 mx+3 6m=0．
（1）求证：无论 m 取什么实数，方程总有实数根．
（2）如果方程的两个实数根 x1，x2 满足 x1=x2，求实数 m 的值．
16. 关于 x 的方程 x2 2k 1x+k2 2k+3=0 有两个不相等的实数根．
（1）求实数 k 的取值范围．
（2）设方程的两个实数根分别为 x1，x2，存不存在这样的实数 k，使得 ∣x1∣ ∣x2∣=5 若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由．
答案
1. B
2. A
3. A
4. D
5. A
6. 2017
7. 2+2，4
8. 4
9. 1
10. 10
11. （1） x1+x2=3，x1x2=1．
（2） x1+x2= 32，x1x2= 52．
（3） x1+x2=2，x1x2=1．
（4） x1+x2=5，x1x2= 1．
12. （1） 19 .
（2） 35．
（3） 195．
（4） 29．
13. （1） ∵ 一元二次方程 x2 2x+k+2=0 有两个实数根，
∴Δ=b2 4ac= 22 4×1×k+2≥0，解得 k≤ 1．
（2） ∵x1，x2 是一元二次方程 x2 2x+k+2=0 的两个实数根，
∴x1+x2=2，x1x2=k+2，
∵1x1+1x2=k 2，
∴x1+x2x1x2=k 2，
∴2k+2=k 2，
整理得 k2=6，
解得 k1= 6，k2=6，
又 ∵k≤ 1，
∴k 的值为 6．
14. （1） 由题意可知，Δ=b2 4ac= 42 4×1× 2k+8≥0，
整理得 16+8k 32≥0，解得 k≥2．
所以 k 的取值范围是 k≥2．
（2） x13x2+x1x23=x1x2x12+x22=x1x2x1+x22 2x1x2=24，
由一元二次方程根与系数的关系可得 x1+x2=4，x1x2= 2k+8，
所以 2k+842 2 2k+8=24，
整理得 k2 4k+3=0，解得 k1=3，k2=1，
又由（1）可知 k≥2，
所以 k 的值为 3．
15. （1） ∵ 关于 x 的方程 x2+22 mx+3 6m=0 中，
Δ=b2 4ac=42 m2 43 6m=4m+12≥0，
∴ 无论 m 取什么实数，方程总有实数根．
（2） 由 x1=x2．
①当 x1≥0 时，得 x1=x2，
∴ 方程有两个相等实数根，
∴Δ=0，即 4m+12=0，m= 1．
当 m= 1 时，原方程为 x2+6x+9=0，
解得 x1=x2= 3<0，
∴m= 1 不符合条件．
②当 x1<0 时，得 x2= x1，
∴x1+x2=0，
由根与系数关系得 2m 2=0，
∴m=2．
综上可得，m=2．
16. （1） 根据题意，得 b2 4ac>0，
即 2k 12 4×1×k2 2k+3>0，
解得 k>114，即实数 k 的取值范围是 k>114．
（2） 存在．
由根与系数的关系，得 x1+x2=2k 1，x1x2=k2 2k+3．
因为 k2 2k+3=k 12+2>0，
所以 x1x2>0．
所以 x1,x2 同号．
因为 x1+x2=2k 1，k>114，
所以 x1+x2>0．
所以 x1>0，x2>0．
因为 ∣x1∣ ∣x2∣=5，
所以 x1 x2=5，x1 x22=5．
即 x1+x22 4x1x2=5，
所以 2k 12 4k2 2k+3=5．
解得 k=4．
由（1）知 k>114 时，方程有两个实数根．
因为 4>114，
所以 k=4 符合题意．
所以存在 k=4，使得 ∣x1∣ ∣x2∣=5．