第3章 代数式 复习与测试（含解析）

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第3章复习与测试
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．（3分）如图，数轴上、两点表示的有理数分别为　　
A．3.5和3 B．3.5和 C．和3 D．和
2．（3分）　　
A．3 B． C． D．
3．（3分）当时，代数式的值是　　
A． B．6 C． D．2
4．（3分）当，时，代数式的值是　　
A． B． C．6 D．4
5．（3分）下面结论正确的有　　
①两个有理数相加，和一定大于每一个加数．
②一个正数与一个负数相加得正数．
③两个负数和的绝对值一定等于它们绝对值的和．
④两个正数相加，和为正数．
⑤两个负数相加，绝对值相减．
⑥正数加负数，其和一定等于0．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．（3分）多项式是　　
A．三次三项式 B．二次四项式 C．三次四项式 D．二次三项式
7．（3分）下列各组数中，互为相反数的是　　
A．3与 B． C． D．
8．（3分）一个点在数轴上移动时，它所对应的数，也会有相应的变化．若点先从原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，这时该点所对应的数的相反数是　　
A．2 B． C．8 D．
二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分）.
9．（3分）我国研制的“曙光300超级服务器，它的峰值计算速度达到403200000000次秒”，用科学记数法表示为 　　次秒．
10．（3分）是　 　的相反数．
11．（3分）如果不含有项，则　　．
12．（3分）绝对值不大于3的非负整数有 　　．
13．（3分）若，则　　；若，则　　．
14．（3分）已知，则　 　．
15．（3分）中午12时，水位低于标准水位0.5米记作﹣0.5米，下午1时水位上涨了1米，下午5时水位又上涨了0.5米，则
①下午1时的水位可记录为 　 　，下午5时的水位可记录为 　 　．
②下午5时的水位比中午12时的水位高 　 　米．
16．（3分）观察下列各式，回答问题，，
按上述规律填空：
（1）　　　　，　　　　．
（2）计算：．
三、解答题（本大题共10题，共72分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）把下列各数填在相应的大括号里：
15，，，0，，0.15，，，，，．
正数集合　　；
负数集合　　；
整数集合　　；
分数集合　　；
无理数集合　　．
18．（6分）计算：
（1）．
（2）．
19．（6分）计算：
（1）．
（2）．
20．（6分）在数轴上画出表示下列各数的点，并用号连接．
2，，，0，6.5，5，．
21．（6分）设，求：
（1）的值．
（2）的值．
（3）的值．
22．（6分）阅读材料：求值：．
解：设，
将等式两边同时乘以2得：，
将下式减去上式得：．
模仿计算：（1）；
（2）（其中为正整数）．
23．（8分）读一读：式子“”表示从1开始的100个连续自然数的和．由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可将“”表示为，这里“”是求和符号．例如：“”（即从1开始的100以内的连续奇数的和）可表示为；又如“”可表示为．同学们，通过对以上材料的阅读，请解答下列问题：
①（即从2开始的100以内的连续偶数的和）用求和符号可表示为 　　；
②计算：　　（填写最后的计算结果）．
24．（8分）把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：，2，、，7，，，我们称之为集合，其中的每个数称为该集合的元素．如果一个所有元素均为有理数的集合满足：当有理数是集合的元素时，也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为好的集合．例如集合，就是一个好的集合．
（1）集合　 　好的集合，集合，　 　好的集合（两空均填“是”或“不是” ；
（2）若一个好的集合中最大的一个元素为4001，则该集合是否存在最小的元素？如果存在，请直接写出答案，否则说明理由；
（3）若一个好的集合所有元素之和为整数，且，则该集合共有几个元素？说明你的理由．
25．（10分）如图，一个的长方形可以用3种不同的方式分割成2或5或8个小正方形．
（1）一个的长方形用不同的方式分割后，小正方形的个数可以是 　　；
一个的长方形用不同的方式分割后，小正方形的个数可以是 　　；
（2）一个的长方形用不同的方式分割后，分割成的正方形最少是多少个？
26．（10分）同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索：
（1）　　．
（2）同理表示数轴上有理数所对应的点到和2所对应的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是 　　．
（3）由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．
参考答案
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．（3分）如图，数轴上、两点表示的有理数分别为　　
A．3.5和3 B．3.5和 C．和3 D．和
【解答】解：由图可知，点表示，点表示3．
故选：．
2．（3分）　　
A．3 B． C． D．
【解答】解：．
故选：．
3．（3分）当时，代数式的值是　　
A． B．6 C． D．2
【解答】解：当时，原式．
故选：．
4．（3分）当，时，代数式的值是　　
A． B． C．6 D．4
【解答】解：把，代入得：原式，
故选：．
5．（3分）下面结论正确的有　　
①两个有理数相加，和一定大于每一个加数．
②一个正数与一个负数相加得正数．
③两个负数和的绝对值一定等于它们绝对值的和．
④两个正数相加，和为正数．
⑤两个负数相加，绝对值相减．
⑥正数加负数，其和一定等于0．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解答】解：①，和2不大于加数3，
①是错误的；
②是错误的．
由加法法则：同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加，
可以得到③、④都是正确的．
⑤两个负数相加取相同的符号，然后把绝对值相加，故错误．
⑥，故正数加负数，其和一定等于0错误．
正确的有2个，
故选：．
6．（3分）多项式是　　
A．三次三项式 B．二次四项式 C．三次四项式 D．二次三项式
【解答】解：多项式是三次四项式，
故选：．
7．（3分）下列各组数中，互为相反数的是　　
A．3与 B． C． D．
【解答】解：．根据绝对值的定义，，那么3与不互为相反数，故不符合题意．
．根据绝对值的定义，，那么与互为相反数，故符合题意．
．根据绝对值的定义，，那么与不互为相反数，故不符合题意．
．根据相反数的定义，与3不互为相反数，故不符合题意．
故选：．
8．（3分）一个点在数轴上移动时，它所对应的数，也会有相应的变化．若点先从原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，这时该点所对应的数的相反数是　　
A．2 B． C．8 D．
【解答】解：由分析得经移动得到的数为，所以它的相反数为2．
故选：．
二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分）.
9．（3分）我国研制的“曙光300超级服务器，它的峰值计算速度达到403200000000次秒”，用科学记数法表示为 　　次秒．
【解答】解：，
故答案为：．
10．（3分）是　3　的相反数．
【解答】解：去括号后为，根据概念是3的相反数．
11．（3分）如果不含有项，则　3　．
【解答】解：，且不含有项，
，解得，
故答案为：3．
12．（3分）绝对值不大于3的非负整数有 　0，1，2，3　．
【解答】解：根据绝对值的意义，绝对值不大于3的非负整数有0，1，2，3．
13．（3分）若，则　　；若，则　　．
【解答】解：因为，则；
因为，则；
故答案为：；0．
14．（3分）已知，则　11　．
【解答】解：，
故答案为：11．
15．（3分）中午12时，水位低于标准水位0.5米记作﹣0.5米，下午1时水位上涨了1米，下午5时水位又上涨了0.5米，则
①下午1时的水位可记录为 　+0.5米　，下午5时的水位可记录为 　+1米　．
②下午5时的水位比中午12时的水位高 　1.5　米．
【解答】解：①中午12时，水位低于标准水位0.5米记作﹣0.5米，下午1时水位上涨了1米，所以下午1时的水位可记录为﹣0.5+1＝0.5（米），
下午5时水位又上涨了0.5米，故下午5时的水位可记录为：0.5+0.5＝1（米），
故答案为：+0.5米；+1米；
②1﹣（﹣0.5）＝1+0.5＝1.5（米）
即下午5时比中午12时水位高1.5米．
故答案为：1.5．
16．（3分）观察下列各式，回答问题，，
按上述规律填空：
（1）　　　　，　　　　．
（2）计算：．
【解答】解：（1），
，
，
第个等式为：，
，
，
故答案为：；；；；
（2）
．
三、解答题（本大题共10题，共72分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）把下列各数填在相应的大括号里：
15，，，0，，0.15，，，，，．
正数集合　15，，0.15，，，　；
负数集合　　；
整数集合　　；
分数集合　　；
无理数集合　　．
【解答】解：正数集合，，0.15，，，；
负数集合，，，；
整数集合，0，，，；
分数集合，0.15，，；
无理数集合，．
故答案为：15，，0.15，，，；，，，；15，0，，，；，0.15，，；，．
18．（6分）计算：
（1）．
（2）．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
19．（6分）计算：
（1）．
（2）．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
20．（6分）在数轴上画出表示下列各数的点，并用号连接．
2，，，0，6.5，5，．
【解答】解：如图：，
．
21．（6分）设，求：
（1）的值．
（2）的值．
（3）的值．
【解答】解：（1）在中，令得：
，
；
（2）在中，令得：
，
，
，
由（1）得；
；
（3）在中，令得：
，
，
，
由（1）得；
．
22．（6分）阅读材料：求值：．
解：设，
将等式两边同时乘以2得：，
将下式减去上式得：．
模仿计算：（1）；
（2）（其中为正整数）．
【解答】解：（1）设，
将等式两边同时乘以2得：，
将下式减去上式得：，
即；
（2）设，
将等式两边同时乘以3得：，
将下式减去上式得：，
则，
即．
23．（8分）读一读：式子“”表示从1开始的100个连续自然数的和．由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可将“”表示为，这里“”是求和符号．例如：“”（即从1开始的100以内的连续奇数的和）可表示为；又如“”可表示为．同学们，通过对以上材料的阅读，请解答下列问题：
①（即从2开始的100以内的连续偶数的和）用求和符号可表示为 　　；
②计算：　　（填写最后的计算结果）．
【解答】解：（1）；
（2）
．
故答案为：；50
24．（8分）把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：，2，、，7，，，我们称之为集合，其中的每个数称为该集合的元素．如果一个所有元素均为有理数的集合满足：当有理数是集合的元素时，也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为好的集合．例如集合，就是一个好的集合．
（1）集合　不是　好的集合，集合，　 　好的集合（两空均填“是”或“不是” ；
（2）若一个好的集合中最大的一个元素为4001，则该集合是否存在最小的元素？如果存在，请直接写出答案，否则说明理由；
（3）若一个好的集合所有元素之和为整数，且，则该集合共有几个元素？说明你的理由．
【解答】解；（1）根据题意可得，，而集合中没有元素0，故不是好的集合；
，，
集合，是好的集合．
故答案为：不是，是．
（2）一个好的集合中最大的一个元素为4001，则该集合存在最小的元素，该集合最小的元素是．
中的值越大，则的值越小，
一个好的集合中最大的一个元素为4001，则最小的元素为：．
（3）该集合共有22个元素．
理由：在好的集合中，如果一个元素为，则另一个元素为，
好的集合中的元素一定是偶数个．
好的集合中的每一对对应元素的和为：，，，，
又一个好的集合所有元素之和为整数，且，
这个好的集合中的元素个数为：个．
25．（10分）如图，一个的长方形可以用3种不同的方式分割成2或5或8个小正方形．
（1）一个的长方形用不同的方式分割后，小正方形的个数可以是 　3或6　；
一个的长方形用不同的方式分割后，小正方形的个数可以是 　　；
（2）一个的长方形用不同的方式分割后，分割成的正方形最少是多少个？
【解答】解：（1）一个的矩形可以是1个的和2个的或6个的；
一个的矩形可以是2个的和2个的或1个的和6个的或10个的；
故答案为：3或6；4或7或10；
（2）要使一个的长方形用不同的方式分割后，分割成的正方形最少，就要尽可能多的出现的小正方形，
当为偶数时，最少为个，当为奇数时，最少为，
当为偶数时，最少为个，当为奇数时，最少为．
26．（10分）同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索：
（1）　7　．
（2）同理表示数轴上有理数所对应的点到和2所对应的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是 　　．
（3）由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．
【解答】解：（1）．
故答案为：7；
（2）令或时，则或，
当时，
，
，
（范围内不成立），
当时，
，
，
，
，，，，0，1，
当时，
，
，
，
，
（范围内不成立）．
综上所述，符合条件的整数有：，，，，，0，1，2．
故答案为：、、、、、0、1、2；
（3）有最小值．
当有理数所对应的点在，3之间的线段上的点时，
最小值为9．
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