4.3 指数函数与对数函数的关系 教案

4.3 指数函数与对数函数的关系教案
教学课时：第1课时
　　教学目标：
　　1、知道对数函数与指数函数互为反函数（a＞0，且a≠1）；能够运用反函数的概念，判断函数是否存在反函数，并能够写出某些函数的反函数；能够结合实例，知道互为反函数的图像关于直线y=x对称；
　　2、通过反函数概念的引入，使学生经历从具体到一般的抽象过程，并促使学生进一步理解基于对应关系的函数概念；
　　3、通过问题引导，鼓励学生积极思考，使学生逐渐加深对反函数概念的理解，体会互为反函数的两个函数之间的联系，提升学生的数学思维。
　　教学重点：
　　反函数的概念及互为反函数的两个函数间的联系。
　　教学难点：
　　反函数的概念。
　　教学过程：
　　一、提出问题
　　【问题1】在指数函数中，x为自变量，y为因变量. 如果把y当成自变量，x当成因变量，那么x是y的函数吗？请说明理由。
　　预设答案：x是y的函数。因为是R上的单调递增函数，结合图像，过y轴正半轴上任意一点作x轴的平行线，与的图像有且只有一个交点，也就是说，对任意一个y∈(0，+ ∞)，在R中都有唯一确定的x和它对应，所以x是y的函数.
　　建议：如果学生不能顺利回答，可带着学生回顾函数的概念。
　　【问题2】x与y之间构成了一种新的对应关系，那么这个对应关系是什么？
　　预设答案：根据指数与对数的关系，由指数式可得到对数式。
　　【设计意图】
　　从具体函数入手，使学生直观理解 可以是 的函数，打破学生的固有观念，引起学生的兴趣和思考，加深对函数概念的理解，为下面反函数概念的提出作出了铺垫。
　　二、把握概念
　　（一）第一阶段——明确反函数的概念
　　我们说，(y∈(0，+ ∞))是(x∈R)的反函数。
　　一般地，如果在函数y=f(x)中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y=f(x)的反函数。此时，称y=f(x)存在反函数。
　　【问题3】是否任何一个函数都存在反函数？如果不是，请举出不存在反函数的一个函数。
　　预设答案：。
　　【问题4】如果函数y=f(x)存在反函数，那么y=f(x)的自变量和因变量之间应该具有什么关系？
　　预设答案：任意一个x的值，只有唯一的y与之对应（对应y是x的函数）；任意一个y的值，只有唯一的x与之对应（对应x是y的函数）。
　　建议：老师可以结合图像进一步帮助学生理解，“任何一条与轴平行的直线与函数的图像至多有一个交点时，则函数就有反函数；若它们的交点个数多于一个时，这个函数就没有反函数”。
　　【问题5】单调函数一定存在反函数吗？在定义域上不单调的函数一定没有反函数吗？
　　预设答案：单调函数一定存在反函数，符合前面问题中自变量与因变量的关系；在定义域上不单调的函数也可以存在反函数，比如f(x)=1/x。
　　【设计意图】通过以上的三个问题，使学生对反函数概念的内涵和外延有了一定的认识。
　　（二）第二阶段——反函数的表示以及求反函数的一般步骤
　和其实是x与y之间对应关系的两种不同的表达方式，它们实质上是一样的。比如，当x=2时，不管用哪个表达式都可以得到y=4。但是x与y的地位发生了变化，y是x 的指数函数，x是y的对数函数。
　　如果按照习惯，我们把函数的自变量用x表示，因变量用y表示，那么指数函数(x∈R)的反函数(y∈(0，+ ∞))就变成了(x∈(0，+ ∞))。所以，求的反函数可以先对调x与y，得到，再解出。
　　一般地，函数y=f(x)的反函数记作。
　　因此，以后在求函数y=f(x)的反函数时，可以这样操作：
　　第一步，对调y=f(x)中的x与y，得到x=f(y)；
　　第二步，从x=f(y)中求出y得到。
　　【问题6】如果函数y=f(x)存在反函数，那么存在反函数吗？如果存在，反函数是什么？
　　预设答案：因为对于y=f(x)，每一个x都有唯一的y与之对应，所以对于，一定满足每一个y都有唯一的x与之对应，所以存在反函数，其反函数就是y=f(x)。
　　结论：y=f(x)与互为反函数，也就是一个函数的反函数的反函数就是这个函数。
　　【问题7】分别判断下列函数是否存在反函数，如果不存在，说明理由；如果存在，写出反函数.
（1） x 1 2 3 4 5
f(x) 0 0 1 3 5
（2） x 1 2 3 4 5
g(x) -1 0 1 -2 5
（3） f(x)=2x+2
解： （1）因为f(x)=0时，x=1或x=2，即对应的x不唯一，因此y=f(x)的反函数不存在。
　　 （2）因为对g(x)的值域{-1,0，1，-2,5}中的任意一个值，都只有唯一的x与之对应，因此g(x)的反函数存在，表示如下：
x -1 0 1 -2 5
1 2 3 4 5
　　（3）因为f(x)=2x+2是增函数，因此对值域中的任意一个值，都只有唯一的x与之对应，因此f(x)存在反函数。
　　 令y=2x+2，对调其中的x和y，得到x=2y+2。
解得y=1/2x-1。
　　 因此f(x)=2x+2的反函数。
【设计意图】让学生学会用反函数的概念来判断一个函数是否存在反函数，再一次明确函数具有单调性与存在反函数之间的联系，掌握求反函数的一般步骤，并熟悉函数的表示法之一——列表法。
　　（三）第三阶段——互为反函数的两个函数之间的联系
　　【问题8】填写下表：
　　如果将和的图像放在一个平面直角坐标系中，我们会看得更清楚，它们的图像关于直线y=x对称。如下图所示：
　　再来看问题8中f(x)=2x+2与反函数的图像，它们关于直线y=x对称。
　　【问题9】互为反函数的两个函数之间有什么联系？可从图像和性质两个角度来描述。
　　预设答案：
　　1. y=f(x)的定义域与的值域相同；
　　2. y=f(x)的值域与的定义域相同；
　　3. y=f(x)是增（减）函数，则也是增（减）函数；
　　4. y=f(x)与的图像关于直线y=x对称。
　　【问题10】（此问题可根据教学实际情况提出）
　　①设f(x)=2x+1/4x+3，则=_________；
　　②已知函数y=f(x)的反函数，那么函数y=f(x)的定义域是_________。
　　预设答案：
　　① 即为f(x)=2时x的值，令2x+1/4x+3=2，解得x=-5/6，
　　所以=-5/6。
　　②函数y=f(x)的定义域就是反函数的值域，由(x≥0)，可得y≥-1，
　　所以函数y=f(x)的定义域是[-1，+ ∞)。
　　【设计意图】以上三个问题，使学生再次经历从具体到一般的抽象过程，并借助于图像，直观感受互为反函数的两个函数之间的联系，在解决问题的过程中能够灵活运用这种联系，提升学生对知识的认知能力。
　　我们知道，数学概念是一种数学的思维形式。正确理解并灵活运用数学概念，是掌握数学基础知识和运算技能、发展逻辑论证和空间想象力的前提。数学技能教学的背后是对概念本质的准确把握。所以，以上分了三个阶段来认识反函数的概念，逐层递进。
　　三、巩固练习
　　1.（课本第32页习题4-3A第2题）
　　求函数的反函数。
　　参考答案：，x∈R。
　　2.（课本第32页习题4-3A第3题）
　　如果点(1,2)在函数y=f(x)的图像上，且y=f(x)的反函数存在，指出这个函数的反函数一定过哪个点？
　　参考答案：点(2,1)。
　　思考：如果把点(1,2)改成(a,b)，那么结论是什么？用符号如何表示上述的条件和结论？
　　（若f(a)=b，则）
　　老师可进一步再问：=___________，=___________。
　　3.（课本第32页习题4-3B第3题）
　　判断下列函数是否存在反函数？
　　（1）y=1/x+2-1；（2）
　　参考答案：
　　（1）函数y=1/x+2-1存在反函数。
　　【解析】函数y=1/x+2-1的值域是{y|y≠-1}，对每一个不为-1的函数值y，都只有唯一的一个x=1/y+1-2与之对应.
　　（2）函数不存在反函数.
　　【解析】当y=0时，x=0或x=-2，即对应的x不唯一。
　　4.（课本第32页习题4-3B第5题）
　　指出函数的图像与函数y=ln(2x)的图像之间的关系。
　　参考答案：关于直线y=x对称。
　　【解析】题目中出现的两个函数分别是指数结构和对数结构，容易想到它们会是反函数吗？事实正是如此.
　　四、概括总结
　　1. 反函数的概念，以及如何判断一个函数是否存在反函数；
　　2. 求反函数的一般步骤；
　　3. 互为反函数的两个函数图像与性质之间的联系。
　　五、布置作业
　　1. 课本第32页习题4-3A第5题；4-3B第1、4题；
　　2. 学有余力的同学思考：课本第32页习题4-3C第1、2题。