4.5 增长速度的比较 教案

4.5 增长速度的比较 教案
教学课时：第1课时
　　教学目标：
　　1、通过实例理解如何用函数的平均变化率比较函数值变化的快慢，了解函数平均变化率与连接区间端点的直线的斜率的关系；
　　2、会简单比较指数增长、线性增长、对数增长的增长速度大小；
　　3、了解指数增长、线性增长、对数增长等数学模型在生活中的应用，提升数学运算和数学建模等核心素养。
　　教学重点：
　　用平均变化率理解函数的增长速度。
　　教学难点：
　　比较指数增长、线性增长、对数增长的增长速度。
　　教学过程：
　　一、情境与问题
　　有一套房子，价格为200万元，假设房价每年上涨10%，某人每年固定能攒下40万元，如果他想买这套房子，在不贷款、收入不增加的前提下，这个人需要多少年才能攒够钱买这套房子？
　　A.5年 B.7年 C.8年 D.9年 E.永远也买不起
　　问题1：凭直觉，你认为上述问题的答案是什么？为什么？
　　预设答案：选E，因为房价的增长速度比攒钱的增长速度快。
　　问题2：房价的增长速度一直都比攒钱的增长速度快吗？怎么刻画它们的增长速度呢？
　　预设答案：不一定，经过1年，房价增长了20万元，攒钱增长了40万元，这个房价的增长速度就没有攒钱的增长速度快.我们可以用函数的平均变化率来刻画，也就是看相同时间内这两个函数值的增加量的大小。
　　师：我们先研究几个基本初等函数的变化情况。
　　【设计意图】
　　从实际问题和生活经验感受房价的增长速度与攒钱的速度的快慢，引入刻画函数变化快慢的量——函数的平均变化率，后面再从数学角度建立函数模型，将问题转化为研究两个函数的增长速度，回扣情境，解决问题。
　　二、基本初等函数的增长速度
　　问题3：一般地，函数f(x)在区间上的平均变化率怎么表示？
预设答案：
老师:为了简便计算，我们常常可以令
　　例1. 已知函数，分别计算这三个函数在区间上的平均变化率。
　解：
　　从图像上，可以直观看到这三个函数的变化情况：
　　思考：
①上述三个平均变化率的几何意义是什么 你能否用自己的语言描述这三个函数在区间(0,+)上的增长趋势
②结合函数图像，说明“”的实际意义。
③试比较与的大小关系．如果自变量的区间长度不是1呢 　　例2. 已知函数，分别计算这两个函数在区间上的平均变化率，并比较它们的大小。
　解：.
当a>1时，2°>2，
所以，在区间上，g(x)的平均变化率比h(x)大.
　　从图像的直观，也可以看出它们的平均变化率大小关系：
　　思考：
　　①当0＜a＜1时，g(x)的平均变化率还一定比h(x)大吗？
　　②比较g(x)和h(x)与例1中三个函数的平均变化率的变化趋势，你能得到什么结论？
　　③能否举一些生活中指数增长、线性增长、对数增长的例子？
　　【设计意图】
　　从基本初等函数的平均变化率理解函数的增长速度，有利于本节课教学目标的达成，结合函数图象，有利于学生对几种不同类型函数的增长速度有一个直观的比较.同时，在具体推理演算过程中，培养学生的数学运算能力。
　　三、回扣情境与问题
　　问题4：我们再来研究本节课开始的问题：
　
设经过x(xN)年后，房价为h(x)万元，这个人攒下的钱共有r(x)万元，则这两个函数的解析式分别为: h(x)=200×1.1*,r(x)=40x，xN，在区间[a,a+1](aN)上，
令
即a≥8时，房价的增长速度比攒钱的增长速度快．﹒
我们也可以列表，直观地看一看这两个函数值（取整数，单位:万元）的变化情况：
　　x的值每增加1，r(x)的值稳定地增长40，而h(x)的值的增加量则逐渐变大，并且越来越快。经过8年后，h(x)的值的年增加量将接近40，以后则均大于40。在前8年里，攒钱的总数始终小于房价，所以，这个人永远也买不起房子。
　　当然，这只是一个理想化的数学问题.现实生活中，“房住不炒”，房价不可能呈现指数增长的态势增长，甚至还可能会出现环比下跌，况且人们还可以按揭贷款买房。
　　【设计意图】
　　回扣情境，建立数学模型，解决实际问题，让整节课从问题开始，又回到问题解决中去，在整个环节中，认识几种基本初等函数的增长速度的快慢，初步理解指数增长、线性增长的实际意义。
　　四、课堂练习
　　1.（课本第41页习题4-5A第1题）
　　求f（x）=5x+1在任意区间上的平均变化率，并说明自变量每增加1个单位时函数值的变化情况。
　　参考答案：平均变化率为5，自变量每增加1个单位时，函数值将增加5个单位.
　　2.（课本第41页习题4-5B第1题）
　　已知函数f（x）的定义域为R，分别判断下列条件下f（x）的单调性：
　　（1）f（x）在任意区间内的平均变化率均为正数；
　　（2）f（x）在任意区间内的平均变化率均比g（x）=2在同一区间内的平均变化率小。
　　参考答案：（1）单调递增；（2）单调递减。
　　3.（课本第41页习题4-5B第3题）
　　已知函数f（x）在任意区间内的平均变化率均为5，说明当自变量减小3个单位时，函数值的变化情况。
　　参考答案：函数值将减小15个单位。
　　五、课堂小结
　　1. 函数的平均变化率刻画函数的增长速度的快慢；
　　2. 简单比较指数增长、线性增长、对数增长的增长速度。
　　六、布置作业
　　1. 阅读课本第40页拓展阅读“指数运算与生活哲学”，并举出一个生活中的指数增长的例子；
　　2. 课本第41页习题4-5A第2、3题；B第2、4题。
　　3. 学有余力的同学思考：课本第41页习题4-5C第1、2题。