4.1.1 实数指数幂及其运算 教案

4.1.1 实数指数幂及其运算 教案
教学课时：第1课时
　　教学目标：
　　1.掌握实数指数幂的运算法则；
　　2.会用实数指数幂运算法则进行化简；
　　3.能运用实数指数幂的运算法则及分数指数幂和根式之间的互化进行计算；
　　教学重点：实数指数幂的运算法则及应用。
　　教学难点： 运用实数指数幂的运算法则及分数指数幂和根式之间的互化进行计算.
　　教学过程：
　　一、情境与问题
　　国家统计局有关数据显示，我国科研和开发机构基础研究经费支出近些年呈爆炸式增长：2013年为221.59亿元，2014年、2015年、2016年的年增长率分别为16.84%，14.06%，14.26%。
　　你能根据这三个年增长率的数据，算出年平均增长率，并以2013年的经费支出为基础，预测2017年及以后各年的经费支出吗？
年数 年份 年增长率 累计比率 金额（亿元）
1 2014年 15% 1+15%=1.15 254.83
2 2015年 15% 1.152=1.32 292.50
3 2016年 15% 1.153=1.52 337.01
4 2017年 15% 1.154=1.75 388.20
5 2018年 15% 1.155=2.01 445.70
6 2019年 15% 1.156=2.31 512.55
7 2020年 15% 1.157=2.66 589.43
8 2021年 15% 1.158=3.06 677.85
9 2022年 15% 1.159=3.52 779.53
10 2023年 15% 1.1510=4.05 896.46
…… ……
　　【设计意图】
　　情境与问题给出的是以我国科研和开发机构基础研究经费支出的增长为背景，除了引出有关的指数增长等内容外，也是利用这种方式让学生认识到：近些年来，我国基础研究经费不断地增长，体现我国对基础研究的重视，让学生感悟基础研究工作的意义。
　　二、复习回顾 提出问题
　　问题1：计算下列各式的值
25=____________=____________，
30=____________，
5-3=1/53=____________=____________。
　　一般地，an中a称为底数，n称为指数。
　　整数指数幂运算的运算法则有：

　　对于幂指数0，我们要注意两点：
　　（1） 非零实数的0次幂等于1；
　　（2） 0的0次幂无意义。
问题2：计算下列各式的值
= .
= .
(1）如果x2=a，则x称为a的平方根（或二次方根):当a>0时，a有两个平方根，它们互为相反数，正的平方根记为，负的平方根记为 ;当a=0时，a只有两个平方根，记为=0;当a<0时，a在实数范围内没有平方根..
二次根式的运算法则有:
(2）如果x3=a，则x称为α的立方根，在实数范围内，任意实数a有且只有一个立方根，记作 .
　　三.尝试与发现
　　问题3：类比二次方根和三次方根，给出四次方根和五次方根的定义？
　　答案：一般地，给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得。
　　则x称为a的n次方根。
　　练习1：求下列方程的解.
　　
答案：
　　（1）3与-3是81的4次方根，所以方程的实数解为3与-3。
　　（2）2是32的5次方根，所以方程的实数解为2。
【归纳】
当有意义的时候，称为根式，一般读作“n 次根号 a”,n称为根指数，a称为被开方数..
问题4:求下列各式的值:
= ;
= ;
= ;
答案：
【归纳】
(1) = a.
(2)当n为奇数时， =a；当n为偶数时， =。
问题5：你能想出一个新的二次根式符号的表示方法，使=a成为的特例，成为的特例吗
预设答案：将整数指数幂运算推广到分数指数幂运算，即在m,n都是分数时仍然成立.
问题6：对于an，当n是正整数时的意义我们已经知道，那么这里的n能不能是分数呢 当n是分数时，an的意义是什么 .
预设答案：一般地，如果n是正整数，那么：当有意义时，规定﹒
；
当没有意义时，称没有意义。
问题7：比较的关系，你有发现什么
预设答案:
对于一般的正分数，也可作类似规定，即
问题8：当a≠0且m与n都是正整数时，，那么此时该如何理解呢
预设答案：从运算法则的角度来理解，即=负分数指数幂的定义与负整数指数幂类似：即若s是正分数，有意义且a ≠0时，规定。
　　问题9：分数指数幂的底数必须为正数吗？
　　预设答案：不一定。一般总认为分数指数幂中的指数都是既约分数，此时当指数的分母为偶数的时候，则底数就必须为正数。
问题10：你能否计算下列各式的值，如何运用类比思想由整数指数幂的运算性质得到分数指数幂的运算性质？
= .
= .
= .
= .
= .
= .
通过观察不难发现，幂的底数取值范围的确定是关键。
　　【设计意图】
　　通过一系列的问题设计，让学生回顾整数指数幂的运算法则等已有知识，从类比角度让学生认识有理数指数幂、无理数指数幂、负整数指数幂从而推广到整个实数指数幂。通过一些思考问题，让学生关注底数、指数的范围。
典型例题
例1：计算下列各式的值:
（2）；
答案：（1）
例2：（1） （2）
解：（1）=。
（2）=.
　　【设计意图】
　　例1和例2学生独立思考完成，例3让学生实数指数幂的运算法则，加深对实数指数幂运算法则进行运算的理解。并要求学生指出利用实数指数幂进行运算的时候应注意哪些问题。培养学生严谨的思维品质；同时，在具体推理演算过程中，培养学生的数学运算能力。
　　四、回扣情境与问题
　　思考：如何计算情境与问题中的年平均增长率。
　　预设答案：假设年平均增长率为x，则应该有
　　
　　 从而x=≈15.05%
由此可预测2017年的科研和开发机构基础研究经费支出为
（亿元）
　　【设计意图】
　　回扣情境，建立数学模型，解决实际问题，让整节课从问题开始，又回到问题解决中去，在整个环节中，认识实数指数幂在生活中的实际意义。
　　五.课堂练习
　　（课本第8页练习A第1—4题）
　　六.课堂小结
　　1.实数指数幂的运算法则
　　；
　；
　；
　　2.化简要遵循运算顺序进行，一般“先括号里再括号外，先乘方再乘除，最后加减”；
　　如果有根式，先把根式化成分数指数幂在进行化简；
　　七.布置作业
　　（课本第8页练习B第1—4题）