4.4 幂函数 教案
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4.4 幂函数 教案
教学课时：第1课时
教学目标：
1、通过具体实例，引导学生了解幂函数模型的实际背景，认识数学与生活之间的联系；
2、结合的图像，理解它们的变化规律，了解幂函数；
3、通过研究幂函数的图像和性质，使学生经历观察发现、归纳类比、抽象概括等思维过程，进一步体验从特殊到一般、数形结合思想在解决数学问题中的作用。
4、通过合作探究与交流，激发学生学习的热情，培养他们手脑并用、勤于思考、乐于交流的学习习惯和勇于探索的治学精神。
教学重点：
幂函数的图像和性质。
教学难点：
指数不同引起的幂函数图像的位置和形状变化。
教学过程：
一、设置情境
【问题1】填空：
（1）如果一个正方体的棱长是a，那么该正方体的体积 _______；
（2）如果一个正方形的面积是s，那么该正方形的边长 _______。
预设答案：
（1）；（2）
【问题2】如果我们抛开实际问题，将这两个表达式分别写成，，你能发现这两个表达式具有统一的形式吗？你熟悉的函数中还有哪些函数具有这种形式特征？
预设答案：统一形式为（m是常数），具有这种形式特征的其它函数有正比例函数y=x，反比例函数，二次函数。
建议：如果学生不能发现统一的形式，可把写成，再问学生。
【设计意图】引导学生感知幂函数是普遍存在的，有研究的必要性。同时，进一步培养学生的分析和归纳能力。
二、幂函数的定义
一般地，函数叫做幂函数，其中a是常数。上面提到的函数
都是幂函数。
【问题3】给出下列函数，其中是幂函数的为_____________。
预设答案：（1）（2）。
【设计意图】学生既熟悉了幂函数的基本形式，尤其是与指数函数的不同，又复习了有理指数幂运算。
三.幂函数的图像和性质
【探究1】我们最熟悉的幂函数就是y=x，，右图中展示了它们的图像，结合这些图像，你观察到了什么？所得到的结论能否推广到其它的幂函数？如果是所有幂函数都具有的结论，请证明；如果仅适用于一些幂函数，就要至少举出两个符合的幂函数例子。请相邻的两位同学合作填写下表：
【设计意图】这个问题完全是开放式的，学生的回答一定是多种多样的。研究幂函数的图像和性质的途径很多，而数学解决问题的一个重要思想方法就是把未知向已知转化，把陌生问题向熟悉问题转化。既然有一些幂函数的图像和性质学生已经很熟悉了，为什么不从熟悉的幂函数入手呢？希望学生通过观察特殊幂函数的图像概括得到相应的性质，再推广到某一类（或全部）的幂函数，经历观察发现、归纳类比、抽象概括等思维过程，进一步体验从特殊到一般、数形结合思想在解决数学问题中的作用。另外用小组合作的形式，便于启发对方，开拓思路。
【探寻结果展示】教师巡视课堂，收集学生填写的不同的信息，由几组学生分别回答一条，老师随之写在黑板上，对叙述不准确的要及时更正，对学生未提及的可追问，比如所给图像中未出现不具有奇偶性的幂函数，如果学生没有提到就可提醒学生，有没有既不是奇函数也不是偶函数的幂函数呢？如果学生想不到的话，可提醒学生回忆，什么样的函数一定不具有奇偶性.。这样就能从定义域不关于原点对称的函数思考，给出具体函数，比如。如果学生注意到了幂函数在第一象限的单调性情况，但未提及，可提醒学生有没有在（0，+∞）上不增不减的幂函数？
将学生的回答和老师的补充汇总成下面内容：
【概括总结】
1. 观察图像的时候，应该有意识地去关注什么？要研究性质，应该有意识地去研究哪些方面？
所以实际上，前面的表格我们仍然没有填全，比如说渐近线，比如说值域。
2.对于幂函数只需关注其在第一象限的图像即可，其它象限的图像由奇偶性的结论得到. 而奇偶性的判断不需要去记什么结论，只要会用定义判断即可。其中，遇到分数指数幂时先化成根式，以便于求出定义域，之后再判断奇偶性。
3.以上的结论有些可以证明，有些不好证明，比如第4条结论，可以说我们是用几何直观代替了逻辑推理. 那么第4条结论到底对不对呢？继续研究。
【探究2】将全体学生分成两组，组1的相邻两个同学合作填写表1，并作出的图像；组2的相邻两个同学合作填写表2，并作出的图像。
【探究结果展示】（略），不过在学生展示的过程中，可提问学生为什么选取这些x值？
【设计意图】希望学生用较为陌生的函数图像来应用和验证上面的结论. 在求出定义域后，判断函数的奇偶性，重点是画出第一象限的图像，所以x值可不取负数。同时，呼应了问题1中的两个函数。
【探究3】请自己举几个幂函数的例子，利用作图软件作出这些函数的图像，验证前面的结论，并且你有没有新的发现？
【设计意图】借助信息技术强大的作图功能，甚至可以有幂函数图像变化的动态演示，如下图：
使学生很方便地观察幂函数的整体变化情况，包括对细节的把握，可以进一步培养学生归纳概括的能力。至于为什么前面要有探究2而不是直接进行探究3，是希望学生在不方便运用信息技术的时候，要具备先分析性质、再进行描点、作图的能力。
【概括总结】幂函数的图像与性质：
（1）所有幂函数在区间（0，+∞）上都有定义，因此在第一象限内都有图像，并且图像都通过点（1,1）。
（2）如果a＞0，则幂函数的图像通过原点，并且在区间[0，+∞）上是增函数.
（3）如果a＜0，则幂函数在区间（0，+∞）上是减函数，且在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图像在y轴右方且无限地逼近y轴；当x无限增大时，图像在x轴上方且无限地逼近x轴。
（4）幂函数在第一象限内，当a＜0，0＜a＜1，a=1，a＞1时的图像如图所示，可用熟悉的幂函数图像来记忆。
四、应用练习
例1.已知幂函数f(x)分别满足下列条件，按要求回答问题：
（1）若图像过点(9,3)，则这个幂函数的解析式为f(x)=____________；
（2）若定义域和值域都是R，则这个幂函数的解析式可以为f(x)=____________；
（3）若值域为[0，+∞），则这个幂函数的解析式可以为f(x)=____________。
【设计意图】使学生进一步明确幂函数的定义、图像和性质。尤其是（2）和（3），答案不唯一，培养学生的逆向思维和发散思维。
例2. 比较下列各题中两个值的大小：
（1）； （2）；
（3）； （4）已知，比较x,y的大小。
【设计意图】引导学生抓住每题中两个实数指数幂的共性或联系，构建幂函数或指数函数，进一步熟悉利用函数的单调性比较大小的方法。
五、课堂小结
今天我们学习了幂函数的定义、图像、性质及简单应用，又一次感受到了函数的图像和性质之间的关系，即：函数的性质可以指导我们作图，反过来又可以通过观察函数的图像进一步研究函数的性质。希望同学们可以总结幂函数、指数函数、对数函数三种不同的函数在研究图像和性质时解决方法的共性以及性质上的差异。
六、布置作业
1. 阅读课本第35页例2，完成第36页习题4-4A第2、4题；4-4B第1、3（3）（4）题；
2. 在同一平面直角坐标系中，作出的图象，并探究在 取相同的值时，函数值与指数之间的关系；
3. 学有余力的同学思考：课本第37页习题4-4C第1、2题。
教学课时：第1课时
教学目标：
1、通过具体实例，引导学生了解幂函数模型的实际背景，认识数学与生活之间的联系；
2、结合的图像，理解它们的变化规律，了解幂函数；
3、通过研究幂函数的图像和性质，使学生经历观察发现、归纳类比、抽象概括等思维过程，进一步体验从特殊到一般、数形结合思想在解决数学问题中的作用。
4、通过合作探究与交流，激发学生学习的热情，培养他们手脑并用、勤于思考、乐于交流的学习习惯和勇于探索的治学精神。
教学重点：
幂函数的图像和性质。
教学难点：
指数不同引起的幂函数图像的位置和形状变化。
教学过程：
一、设置情境
【问题1】填空：
（1）如果一个正方体的棱长是a，那么该正方体的体积 _______；
（2）如果一个正方形的面积是s，那么该正方形的边长 _______。
预设答案：
（1）；（2）
【问题2】如果我们抛开实际问题，将这两个表达式分别写成，，你能发现这两个表达式具有统一的形式吗？你熟悉的函数中还有哪些函数具有这种形式特征？
预设答案：统一形式为（m是常数），具有这种形式特征的其它函数有正比例函数y=x，反比例函数，二次函数。
建议：如果学生不能发现统一的形式，可把写成，再问学生。
【设计意图】引导学生感知幂函数是普遍存在的，有研究的必要性。同时，进一步培养学生的分析和归纳能力。
二、幂函数的定义
一般地，函数叫做幂函数，其中a是常数。上面提到的函数
都是幂函数。
【问题3】给出下列函数，其中是幂函数的为_____________。
预设答案：（1）（2）。
【设计意图】学生既熟悉了幂函数的基本形式，尤其是与指数函数的不同，又复习了有理指数幂运算。
三.幂函数的图像和性质
【探究1】我们最熟悉的幂函数就是y=x，，右图中展示了它们的图像，结合这些图像，你观察到了什么？所得到的结论能否推广到其它的幂函数？如果是所有幂函数都具有的结论，请证明；如果仅适用于一些幂函数，就要至少举出两个符合的幂函数例子。请相邻的两位同学合作填写下表：
【设计意图】这个问题完全是开放式的，学生的回答一定是多种多样的。研究幂函数的图像和性质的途径很多，而数学解决问题的一个重要思想方法就是把未知向已知转化，把陌生问题向熟悉问题转化。既然有一些幂函数的图像和性质学生已经很熟悉了，为什么不从熟悉的幂函数入手呢？希望学生通过观察特殊幂函数的图像概括得到相应的性质，再推广到某一类（或全部）的幂函数，经历观察发现、归纳类比、抽象概括等思维过程，进一步体验从特殊到一般、数形结合思想在解决数学问题中的作用。另外用小组合作的形式，便于启发对方，开拓思路。
【探寻结果展示】教师巡视课堂，收集学生填写的不同的信息，由几组学生分别回答一条，老师随之写在黑板上，对叙述不准确的要及时更正，对学生未提及的可追问，比如所给图像中未出现不具有奇偶性的幂函数，如果学生没有提到就可提醒学生，有没有既不是奇函数也不是偶函数的幂函数呢？如果学生想不到的话，可提醒学生回忆，什么样的函数一定不具有奇偶性.。这样就能从定义域不关于原点对称的函数思考，给出具体函数，比如。如果学生注意到了幂函数在第一象限的单调性情况，但未提及，可提醒学生有没有在（0，+∞）上不增不减的幂函数？
将学生的回答和老师的补充汇总成下面内容：
【概括总结】
1. 观察图像的时候，应该有意识地去关注什么？要研究性质，应该有意识地去研究哪些方面？
所以实际上，前面的表格我们仍然没有填全，比如说渐近线，比如说值域。
2.对于幂函数只需关注其在第一象限的图像即可，其它象限的图像由奇偶性的结论得到. 而奇偶性的判断不需要去记什么结论，只要会用定义判断即可。其中，遇到分数指数幂时先化成根式，以便于求出定义域，之后再判断奇偶性。
3.以上的结论有些可以证明，有些不好证明，比如第4条结论，可以说我们是用几何直观代替了逻辑推理. 那么第4条结论到底对不对呢？继续研究。
【探究2】将全体学生分成两组，组1的相邻两个同学合作填写表1，并作出的图像；组2的相邻两个同学合作填写表2，并作出的图像。
【探究结果展示】（略），不过在学生展示的过程中，可提问学生为什么选取这些x值？
【设计意图】希望学生用较为陌生的函数图像来应用和验证上面的结论. 在求出定义域后，判断函数的奇偶性，重点是画出第一象限的图像，所以x值可不取负数。同时，呼应了问题1中的两个函数。
【探究3】请自己举几个幂函数的例子，利用作图软件作出这些函数的图像，验证前面的结论，并且你有没有新的发现？
【设计意图】借助信息技术强大的作图功能，甚至可以有幂函数图像变化的动态演示，如下图：
使学生很方便地观察幂函数的整体变化情况，包括对细节的把握，可以进一步培养学生归纳概括的能力。至于为什么前面要有探究2而不是直接进行探究3，是希望学生在不方便运用信息技术的时候，要具备先分析性质、再进行描点、作图的能力。
【概括总结】幂函数的图像与性质：
（1）所有幂函数在区间（0，+∞）上都有定义，因此在第一象限内都有图像，并且图像都通过点（1,1）。
（2）如果a＞0，则幂函数的图像通过原点，并且在区间[0，+∞）上是增函数.
（3）如果a＜0，则幂函数在区间（0，+∞）上是减函数，且在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图像在y轴右方且无限地逼近y轴；当x无限增大时，图像在x轴上方且无限地逼近x轴。
（4）幂函数在第一象限内，当a＜0，0＜a＜1，a=1，a＞1时的图像如图所示，可用熟悉的幂函数图像来记忆。
四、应用练习
例1.已知幂函数f(x)分别满足下列条件，按要求回答问题：
（1）若图像过点(9,3)，则这个幂函数的解析式为f(x)=____________；
（2）若定义域和值域都是R，则这个幂函数的解析式可以为f(x)=____________；
（3）若值域为[0，+∞），则这个幂函数的解析式可以为f(x)=____________。
【设计意图】使学生进一步明确幂函数的定义、图像和性质。尤其是（2）和（3），答案不唯一，培养学生的逆向思维和发散思维。
例2. 比较下列各题中两个值的大小：
（1）； （2）；
（3）； （4）已知，比较x,y的大小。
【设计意图】引导学生抓住每题中两个实数指数幂的共性或联系，构建幂函数或指数函数，进一步熟悉利用函数的单调性比较大小的方法。
五、课堂小结
今天我们学习了幂函数的定义、图像、性质及简单应用，又一次感受到了函数的图像和性质之间的关系，即：函数的性质可以指导我们作图，反过来又可以通过观察函数的图像进一步研究函数的性质。希望同学们可以总结幂函数、指数函数、对数函数三种不同的函数在研究图像和性质时解决方法的共性以及性质上的差异。
六、布置作业
1. 阅读课本第35页例2，完成第36页习题4-4A第2、4题；4-4B第1、3（3）（4）题；
2. 在同一平面直角坐标系中，作出的图象，并探究在 取相同的值时，函数值与指数之间的关系；
3. 学有余力的同学思考：课本第37页习题4-4C第1、2题。