人教版八年级数学上册12.2三角形全等的判定（1-4）提升练习 （含答案）

浙教版-8年级-上册-数学-第1章《三角形的初步知识》
1.5三角形全等的判定
【知识点-部分】
一、全等三角形判定1——“边边边”
1、三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.
二、全等三角形判定2——“边角边”
1、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.
2、有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
三、全等三角形判定3——“角边角”
1、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。
四、全等三角形判定4——“角角边”
1、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
2、由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论。
【典型例题-精选部分】
1、在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，设BE与CD相交于点F．
（1）如图①，设∠A＝60°，BE、CD分别平分∠ABC、∠ACB，证明：DF＝EF．
（2）如图②，设BE⊥AC，CD⊥AB，点G在CD的延长线上，连接AG、AF；若∠G＝∠6，BD＝CD，证明：GD＝DF．
2、【问题探索】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D、E分别在AC、BC边上，DC＝EC，连接DE、AE、BD，点M、N、P分别是AE、BD、AB的中点，连接PM、PN、MN．探索BE与MN的数量关系．聪明的小华推理发现PM与PN的关系为　 　，最后推理得到BE与MN的数量关系为　 　．
【深入探究】将△DEC绕点C逆时针旋转到如图2的位置，判断（1）中的BE与MN的数量关系是否仍然成立，如果成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；
【解决问题】若CB＝8，CE＝2，在将图1中的△DEC绕点C逆时针旋转一周的过程中，当B、E、D三点在一条直线上时，求MN的长度．
3、探究：问题1已知：如图1，三角形ABC中，点D是AB边的中点，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE，BF交于点M，连接DE，DF．若DE＝kDF，则k的值为　 　．
拓展：问题2已知：如图2，三角形ABC中，CB＝CA，点D是AB边的中点，点M在三角形ABC的内部，且∠MAC＝∠MBC，过点M分别作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E，F，连接DE，DF．求证：DE＝DF．
推广：问题3如图3，若将上面问题2中的条件“CB＝CA”变为“CB≠CA”，其他条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论．
4、如图1，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC＝BC；△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，
且EF＝FP． （1）示例：在图1中，通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系．
答：AB与AP的数量关系和位置关系分别是　 　、　 　．
（2）将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP，BQ．请你观察、测量，猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系．答：BQ与AP的数量关系和位置关系分别是　 　、　 　．
（3）将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP、BQ．你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．
5、如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为△ABC内一点，且BD＝AD．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）∠CAD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．
① 求证：DE平分∠BDC； ② 若点M在DE上，且DC＝DM，请判断ME、BD的数量关系，并给出证明；
③ 若N为直线AE上一点，且△CEN为等腰三角形，直接写出∠CNE的度数．
6、如图，△ABC和△ADE中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE，BC交DE于点O，∠BAD＝α．
（1）如图1，求证：∠BOD＝α； （2）如图2，若AO平分∠DAC，求证：AC＝AD；
（3）在（2）条件下，若∠C＝30°，OE交AC于F，且△AOF为等腰三角形，则α＝　 　．
7、已知：在△ABC中，∠CAB＝2α，且0°＜α＜30°，AP平分∠CAB．
（1）如图1，若α＝21°，∠ABC＝32°，且AP交BC于点P，试探究线段AB，AC与PB之间的数量关系，并对你的结论加以证明；答：线段AB，AC与PB之间的数量关系为：　 　．
证明：（2）如图2，若∠ABC＝60°﹣α，点P在△ABC的内部，且使∠CBP＝30°，直接写出∠APC的度数（用含α的代数式表示），写出做题思路．
解：∠APC＝　 　． 做题思路：
8、已知∠ABC＝90°，D是直线AB上的点，AD＝BC．
（1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF＝BD，连接DC，DF，CF，判断△CDF的形状并证明；
（2）如图2，E是直线BC上的一点，直线AE，CD相交于点P，且∠APD＝45°，求证：BD＝CE．
9、如图1所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是线段CA延长线上一点，且AD＝AB，点F是线段AB上一点，连接DF，以DF为斜边作等腰Rt△DFE，连接EA，EA满足条件EA⊥AB．
（1）若∠AEF＝20°，∠ADE＝50°，BC＝2，求AB的长度； （2）求证：AE＝AF+BC；
（3）如图2，点F是线段BA延长线上一点，探究AE、AF、BC之间的数量关系，并证明你的结论．
10、（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE．
（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线l上，且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立；请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展与应用：如图（3），D、E是直线l上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求证：DF＝EF．
【参考答案】
1、在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，设BE与CD相交于点F．
（1）如图①，设∠A＝60°，BE、CD分别平分∠ABC、∠ACB，证明：DF＝EF．
（2）如图②，设BE⊥AC，CD⊥AB，点G在CD的延长线上，连接AG、AF；若∠G＝∠6，BD＝CD，证明：GD＝DF．
【解答】证明：（1）如图，在BC上截取BM＝BD，连接FM，∵∠A＝60，∴∠BFC＝90°+60°÷2＝120°，
∴∠BFD＝60°，∵BE平分∠ABC，∴∠1＝∠2，在△BFD和△BFM中，，∴△BFD≌△BFM（SAS），
∴∠BFM＝∠BFD＝60°，DF＝MF，∴∠CFM＝120°﹣60°＝60°，∵∠CFE＝∠BFD＝60°，∴∠CFM＝∠CFE，
∵CD平分∠ACB，∴∠3＝∠4，又CF＝CF，在△ECF和△MCF中，，∴△ECF≌△MCF（ASA），
∴EF＝MF，∴DF＝EF；
（2）∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠BDF＝∠CDA＝90°，∴∠1+∠BFD＝90°，∠3+∠CFE＝90°，∠BFD＝∠CFE，
∴∠1＝∠3，∵BD＝CD，在△BDF和△CDA中，，∴△BDF≌△CDA（ASA），∴DF＝DA，
∵∠ADF＝90°，∴∠6＝45°，∵∠G＝∠6，∴∠5＝45°∴∠G＝∠5，∴GD＝DA，∴GD＝DF．
2、【问题探索】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D、E分别在AC、BC边上，DC＝EC，连接DE、AE、BD，点M、N、P分别是AE、BD、AB的中点，连接PM、PN、MN．探索BE与MN的数量关系．聪明的小华推理发现PM与PN的关系为　 　，最后推理得到BE与MN的数量关系为　 　．
【深入探究】将△DEC绕点C逆时针旋转到如图2的位置，判断（1）中的BE与MN的数量关系是否仍然成立，如果成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；
【解决问题】若CB＝8，CE＝2，在将图1中的△DEC绕点C逆时针旋转一周的过程中，当B、E、D三点在一条直线上时，求MN的长度．
【解答】解：（1）如图1中，∵AM＝ME，AP＝PB，∴PM∥BE，PM＝BE，∵BN＝DN，AP＝PB，
∴PN∥AD，PN＝AD，∵AC＝BC，CD＝CE，∴AD＝BE，∴PM＝PN，∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，
∵PM∥BC，PN∥AC，∴PM⊥PN，∴△PMN的等腰直角三角形，∴MN＝PM，∴MN＝ BE，∴BE＝MN，
故答案为PM＝PN，PM⊥PN；BE＝MN；
（2）如图2中，结论仍然成立．
理由：连接AD、延长BE交AD于点H．∵△ABC和△CDE是等腰直角三角形，
∴CD＝CE，CA＝CB，∠ACB＝∠DCE＝90°，∵∠ACB﹣∠ACE＝∠DCE﹣∠ACE，∴∠ACD＝∠ECB，∴△ECB≌△DCA，
∴BE＝AD，∠DAC＝∠EBC，∵∠AHB＝180°﹣（∠HAB+∠ABH）＝180°﹣（45°+∠HAC+∠ABH）
＝∠180°﹣（45°+∠HBC+∠ABH）＝180°﹣90°＝90°，∴BH⊥AD，∵M、N、P分别为AE、BD、AB的中点，
∴PM∥BE，PM＝BE，PN∥AD，PN＝AD，∴PM＝PN，∠MPN＝90°，∴BE＝2PM＝2×MN＝MN．
（3）① 如图3中，作CG⊥BD于G，则CG＝GE＝DG＝，
当D、E、B共线时，在Rt△BCG中，BG＝＝＝，
∴BE＝BG﹣GE＝﹣，∴MN＝BE＝﹣1．
② 如图4中，作CG⊥BD于G，则CG＝GE＝DG＝，当D、E、B共线时，在Rt△BCG中，BG＝，
∴BE＝BG+GE＝+，∴MN＝BE＝+1．故答案为 ﹣1或 +1．
3、探究：问题1已知：如图1，三角形ABC中，点D是AB边的中点，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE，BF交于点M，连接DE，DF．若DE＝kDF，则k的值为　 　．
拓展：问题2已知：如图2，三角形ABC中，CB＝CA，点D是AB边的中点，点M在三角形ABC的内部，且∠MAC＝∠MBC，过点M分别作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E，F，连接DE，DF．求证：DE＝DF．
推广：问题3如图3，若将上面问题2中的条件“CB＝CA”变为“CB≠CA”，其他条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论．
【解答】解：（1）∵AE⊥BC，BF⊥AC，∴△AEB和△AFB都是直角三角形，∵D是AB的中点
∴DE和DF分别为Rt△AEB和Rt△AFB的斜边中线，∴DE＝AB，DF＝AB（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）
∴DE＝DF，∵DE＝kDF，∴k＝1；
（2）∵CB＝CA，∴∠CBA＝∠CAB，∵∠MAC＝∠MBE，∴∠CBA﹣∠MBC＝∠CAB﹣∠MAC，即∠ABM＝∠BAM
∴AM＝BM，∵ME⊥BC，MF⊥AC，∴∠MEB＝∠MFA＝90，又∵∠MBE＝∠MAF，∴△MEB≌△MFA（AAS）
∴BE＝AF，∵D是AB的中点，即BD＝AD，又∵∠DBE＝∠DAF，∴△DBE≌△DAF（SAS），∴DE＝DF；
（3）DE＝DF。如图1，作AM的中点G，BM的中点H，∵点 D是 边 AB的 中点，∴DG∥BM，DG＝BM
同理可得：DH∥AM，DH＝AM，∵ME⊥BC于E，H 是BM的中点，∴在Rt△BEM中，HE＝BM＝BH
∴∠HBE＝∠HEB，∠MHE＝∠HBE+∠HEB＝2∠MBC，又∵DG＝BM，HE＝BM，∴DG＝HE
同理可得：DH＝FG，∠MGF＝2∠MAC，∵DG∥BM，DH∥GM，∴四边形DHMG是平行四边形，∴∠DGM＝∠DHM
∵∠MGF＝2∠MAC，∠MHE＝2∠MBC，又∵∠MBC＝∠MAC，∴∠MGF＝∠MHE，∴∠DGM+∠MGF＝∠DHM+∠MHE
∴∠DGF＝∠DHE，在△DHE与△FGD中，，∴△DHE≌△FGD（SAS），∴DE＝DF．
4、如图1，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC＝BC；△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，
且EF＝FP． （1）示例：在图1中，通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系．
答：AB与AP的数量关系和位置关系分别是　 　、　 　．
（2）将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP，BQ．请你观察、测量，猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系．答：BQ与AP的数量关系和位置关系分别是　 　、　 　．
（3）将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP、BQ．你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．
【解答】解：（1）AB＝AP，AB⊥AP； （2）BQ＝AP，BQ⊥AP；
（3）成立．证明：如图，∵∠EPF＝45°，∴∠CPQ＝45°．∵AC⊥BC，∴∠CQP＝∠CPQ，CQ＝CP．
在Rt△BCQ和Rt△ACP中，∴Rt△BCQ≌Rt△ACP（SAS）∴BQ＝AP；延长QB交AP于点N，
∴∠PBN＝∠CBQ．∵Rt△BCQ≌Rt△ACP，∴∠BQC＝∠APC．在Rt△BCQ中，∠BQC+∠CBQ＝90°，
∴∠APC+∠PBN＝90°．∴∠PNB＝90°．∴QB⊥AP．
5、如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为△ABC内一点，且BD＝AD．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）∠CAD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．
① 求证：DE平分∠BDC； ② 若点M在DE上，且DC＝DM，请判断ME、BD的数量关系，并给出证明；
③ 若N为直线AE上一点，且△CEN为等腰三角形，直接写出∠CNE的度数．
【解答】证明：（1）∵CB＝CA，DB＝DA，∴CD垂直平分线段AB，∴CD⊥AB．
（2）① 证明：∵AC＝BC，∴∠CBA＝∠CAB，又∵∠ACB＝90°，∴∠CBA＝∠CAB＝45°，
又∵∠CAD＝∠CBD＝15°，∴∠DBA＝∠DAB＝30°，∴∠BDE＝30°+30°＝60°，
∵AC＝BC，∠CAD＝∠CBD＝15°，BD＝AD，在△ADC和△BDC中，，∴△ADC≌△BDC（SAS），
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，∴∠CDE＝60°，∵∠CDE＝∠BDE＝60°，∴DE平分∠BDC；
② 解：结论：ME＝BD，
理由：连接MC，∵DC＝DM，∠CDE＝60°，∴△MCD为等边三角形，∴CM＝CD，∵EC＝CA，∠EMC＝120°，
∴∠ECM＝∠BCD＝45°在△BDC和△EMC中，，∴△BDC≌△EMC（SAS），∴ME＝BD．
③ 当EN＝EC时，∠ENC＝7.5°或82.5°；当EN＝CN时，∠ENC＝150°；当CE＝CN时，∠CNE＝15°，
所以∠CNE的度数为7.5°、15°、82.5°、150°．
6、如图，△ABC和△ADE中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE，BC交DE于点O，∠BAD＝α．
（1）如图1，求证：∠BOD＝α； （2）如图2，若AO平分∠DAC，求证：AC＝AD；
（3）在（2）条件下，若∠C＝30°，OE交AC于F，且△AOF为等腰三角形，则α＝　 　．
【解答】证明：（1）设AD交OB于K．在△ABC和△ADE中，∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠B＝∠D，∵∠AKB＝∠DKO，∴∠BOD＝∠BAD＝α
（2）过A作AM⊥BC于M，作AN⊥DE于N∵△ABC≌△ADE，∴S△ABC＝S△ADE，∴，
∵BC＝DE，∴AM＝AN∴AO平分∠BOE，∵AO平分∠DAC，∴∠DAO＝∠CAO，∴∠BAO＝∠EAO
在△ABO和△AEO中，，∴△ABO≌△AEO（ASA）∴AB＝AE，∵AB＝AD，AC＝AE，∴AC＝AD，
（3）由（2）可知∠AOB＝∠AOF，∴∠AOF≠∠OAF（否则CA∥CB），∴只有AO＝AF或OA＝OF，
① 当AO＝AF时，∠AOF＝∠AFO＝∠AOB＝α+30°，∴∠AOB+∠AOF+∠FOC＝180°，
∴2（α+30）+α＝180°，∴α＝40°．
② 当OA＝OF时，∠OAF＝∠OFA＝α+30°，∴∠AOB＝∠AOF＝180°﹣2（α+30°），
∴2[180°﹣2（α+30）]+α＝180°，∴α＝20°，综上所述，α＝40°或20°
7、已知：在△ABC中，∠CAB＝2α，且0°＜α＜30°，AP平分∠CAB．
（1）如图1，若α＝21°，∠ABC＝32°，且AP交BC于点P，试探究线段AB，AC与PB之间的数量关系，并对你的结论加以证明；答：线段AB，AC与PB之间的数量关系为：　 　．
证明：（2）如图2，若∠ABC＝60°﹣α，点P在△ABC的内部，且使∠CBP＝30°，直接写出∠APC的度数（用含α的代数式表示），写出做题思路．
解：∠APC＝　 　． 做题思路：
【解答】解：（1）AB﹣AC＝PB，
证明：在AB上截取AD，使AD＝AC．连PD，∵AP平分∠CAB，∴∠CAP＝∠BAP，
在△ACP和△ADP中，，∴△ACP≌△ADP（SAS），∴∠C＝∠ADP．
∵△ABC中，∠CAB＝42°，∠ABC＝32°，∴∠C＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝180°﹣42°﹣32°＝106°．
∴∠ADP＝106°．∴∠BDP＝180°﹣∠ADP＝180°﹣106°＝74°，∠BPD＝∠ADP﹣∠ABC＝106°﹣32°＝74°．
∴∠BDP＝∠BPD．∴PB＝DB，∴AB﹣AC＝AB﹣AD＝DB＝PB；
（2）延长AC至M，使AM＝AB，连接PM，BM，∵AP平分∠CAB，∠CAB＝2α，∴∠CAP＝∠BAP＝×2α＝α．
在△AMP和△ABP中，，∴△AMP≌△ABP（SAS）∴PM＝PB，∠ABP＝∠AMP．
∵∠ABC＝60°﹣α，∠CBP＝30°，∴∠ABP＝（60°﹣α）﹣30°＝30°﹣α．∴∠AMP＝∠ABP＝30°﹣α．
△AMB中，AM＝AB，∴∠AMB＝∠ABM＝（180°﹣∠MAB）÷2＝（180°﹣2）÷2＝90°﹣α．
∴∠PMB＝∠AMB﹣∠AMP＝（90°﹣α）﹣（30°﹣α）＝60°．∴△PMB为等边三角形．
∵∠CBM＝∠ABM﹣∠ABC＝（90°﹣α）﹣（60°﹣α）＝30°，∴∠CBM＝∠CBP．
∴BC平分∠PBM．∴BC垂直平分PM．∴CP＝CM．∴∠CPM＝∠CMP＝30°﹣α．
∴∠ACP＝∠CPM+∠CMP＝（30°﹣α）+（30°﹣α）＝60°﹣2α．
∴△ACP中，∠APC＝180°﹣∠PAM﹣∠ACP＝180°﹣α﹣（60°﹣2α）＝120°+α．
故答案为：（1）AB﹣AC＝PB；（2）120°+α．
8、已知∠ABC＝90°，D是直线AB上的点，AD＝BC．
（1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF＝BD，连接DC，DF，CF，判断△CDF的形状并证明；
（2）如图2，E是直线BC上的一点，直线AE，CD相交于点P，且∠APD＝45°，求证：BD＝CE．
【解答】解：（1）∵AF⊥AD，∠ABC＝90°，∴∠FAD＝∠DBC，在△FAD与△DBC中，，
∴△FAD≌△DBC（SAS）；∴FD＝DC，∴△CDF是等腰三角形，∵△FAD≌△DBC，∴∠FDA＝∠DCB，
∵∠BDC+∠DCB＝90°，∴∠BDC+∠FDA＝90°，∴△CDF是等腰直角三角形．
（2）如图2，作AF⊥AB于A，使AF＝BD，连接DF，CF，∴∠FAD＝90°．∵∠ABC＝90°，
∴∠FAD＝∠DBC＝90°．在△FAD和△DBC中，，∴△FAD≌△DBC（SAS），
∴DF＝DC，∠ADF＝∠BCD．∵∠BDC+∠BCD＝90°，∴∠ADF+∠BDC＝90°，∴∠FDC＝90°，∴∠FCD＝45°．
∵∠APD＝45°，∴∠FCD＝∠APD，∴CF∥AE．∵∠FAD＝90°，∠ABC＝90，∴∠FAD＝∠ABC，
∴AF∥BC．∴四边形AECF是平行四边形，∴AF＝CE，∴CE＝BD．
9、如图1所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是线段CA延长线上一点，且AD＝AB，点F是线段AB上一点，连接DF，以DF为斜边作等腰Rt△DFE，连接EA，EA满足条件EA⊥AB．
（1）若∠AEF＝20°，∠ADE＝50°，BC＝2，求AB的长度； （2）求证：AE＝AF+BC；
（3）如图2，点F是线段BA延长线上一点，探究AE、AF、BC之间的数量关系，并证明你的结论．
【解答】解：（1）在等腰直角三角形DEF中，∠DEF＝90°，∵∠1＝20°，∴∠2＝∠DEF﹣∠1＝70°，
∵∠EDA+∠2+∠3＝180°，∴∠3＝60°，∵EA⊥AB，∴∠EAB＝90°，
∵∠3+∠EAB+∠A＝180°，∴∠4＝30°，∵∠C＝90°，∴AB＝2BC＝4；
（2）如图1，过D作DM⊥AE于M，在△DEM中，∠2+∠5＝90°，∵∠2+∠1＝90°，∴∠1＝∠5，∵DE＝FE，
在△DEM与△EFA中，，∴△DEM≌△EFA，∴AF＝EM，∵∠4+∠B＝90°，
∵∠3+∠EAB+∠4＝180°，∴∠3+∠4＝90°，∴∠3＝∠B，在△DAM与△ABC中，，
∴△DAM≌△ABC，∴BC＝AM，∴AE＝EM+AM＝AF+BC；
（3）如图2，过D作DM⊥AE交AE的延长线于M，∵∠C＝90°，∴∠1+∠B＝90°，
∵∠2+∠MAB+∠1＝180°，∠MAB＝90°，∴∠2+∠1＝90°，∠2＝∠B，在△ADM与△BAC中，，
∴△ADM≌△BAC，∴BC＝AM，∵EF＝DE，∠DEF＝90°，∵∠3+∠DEF+∠4＝180°，∴∠3+∠4＝90°，
∵∠3+∠5＝90°，∴∠4＝∠5，在△MED与△AFE中，，∴△MED≌△AFE，
∴ME＝AF，∴AE+AF＝AE+ME＝AM＝BC，即AE+AF＝BC．
10、（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE．
（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线l上，且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立；请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展与应用：如图（3），D、E是直线l上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求证：DF＝EF．
【解答】解：（1）∵BD⊥l，CE⊥l，∴∠BDA＝∠AEC＝90°又∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°，∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠CAE＝∠ABD，在△ABD和△CAE中，，
∴△ABD≌△CAE（AAS）∴BD＝AE，AD＝CE，∵DE＝AD+AE，∴DE＝CE+BD；
（2）成立
∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，∴∠CAE＝∠ABD，
在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，∴BD+CE＝AE+AD＝DE；
（3）由（2）知，△ADB≌△CAE，∴BD＝EA，∠DBA＝∠CAE，∵△ABF和△ACF均为等边三角形，
∴∠ABF＝∠CAF＝60°，∴∠DBA+∠ABF＝∠CAE+∠CAF，∴∠DBF＝∠FAE，∵BF＝AF
在△DBF和△EAF中，，∴△DBF≌△EAF（SAS），∴DF＝EF。