北师大版数学七年级上册2.3绝对值 提升训练 （含解析）

2.3 绝对值（提升训练）-北师大版数学七年级上册
一．选择题
．|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a，，那么的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．不确定
．若﹣a＞|﹣3|，则a的值可以是（　　）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
．对于任意实数x，通常用[x]表示不超过x的最大整数，如[2.9]＝2，下列结论正确的是（　　）
①[﹣3]＝﹣3；②[﹣2.9]＝﹣2；③[0.9]＝0；④[x]+[﹣x]＝0
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
．若实数a、b、c满足|a﹣b|＝1，|a﹣c|＝7，则|b﹣c|的值为（　　）
A．6 B．7 C．6或8 D．6或7
．若x为整数，且满足|x﹣2|+|x+4|＝6，则满足条件的x的值有（　　）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
比较7a与4a的大小关系是（　　）
A．7a＜4a B．7a＝4a C．7a＞4a D．不能确定
﹣|﹣2022|等于（　　）
A．0 B．2022 C．1 D．﹣2022
|x+8|+|x+1|+|x﹣3|+|x﹣5|的最小值等于（　　）
A．10 B．11 C．17 D．21
如图，a，b是数轴上的两个有理数，下面说法中正确的是（　　）
A．a＞b B．b＞a C．|a|＞|b| D．|b|＞|a|
设abc≠0，且a+b+c＝0，则+++的值可能是（　　）
A．0 B．±1 C．±2 D．0或±2
二．填空题
．已知x+y＝﹣1且|x|＞1，写出一组符合条件的值　 　．
．代数式|x+2|+|﹣2|的最小值等于　 　．
（1）如果一个数的绝对值等于2021，那么这个数是 　 　；
（2）若|2+x|﹣1＝7，则x＝　 　．
．若x＜2，则的值是 　 　．
．设有理数a，b，c满足a＞b＞c，这里ac＜0且|c|＜|b|＜|a|，则的最小值为 　 　．
三．解答题
．已知下列三个有理数a，b，c，其中，b是﹣4的相反数，c是在﹣7与﹣6之间的整数．
请你解答下列问题：
（1）这三个数分别是多少？
（2）将这三个数用“＞”号连接起来．
（3）这三个数中，哪一个数在数轴上表示的点离原点的距离最近？
．如图，数轴上的三点A、B、C分别表示有理数a，b，c．
（1）填空：a﹣b　 　0，a+c　 　0，b﹣c　 　0．（用＜或＞或＝号填空）
（2）化简：|a﹣b|﹣|a﹣c|+|b﹣c|．
（1）在数轴上分别画出表示下列3个数的点：﹣（﹣4），﹣|﹣3.5|，+（﹣）．
（2）有理数x，y在数轴上对应点如图所示：
①在数轴上表示﹣x，|y|；
②试把x，y，0，﹣x，|y|这五个数从小到大用“＜”号连接．
③化简：|x+y|﹣|y﹣x|+|y|．
．同学们都知道，|4﹣（﹣2）|表示4与﹣2的差的绝对值，实际上也可理解为4与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|x﹣3|也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索：
（1）求|4﹣（﹣2）|＝　 　；
（2）若|x﹣2|＝5，则x＝　 　；
（3）请你找出所有符合条件的整数x，使得|1﹣x|+|x+2|＝3．
“数形结合”是一种重要的数学方法．如在化简|a|时，当a在数轴上位于原点的右侧时，|a|＝a；当a在数轴上位于原点时，|a|＝0；当a在数轴上位原点的左侧时，|a|＝﹣a．试用这种方法解决下列问题．
（1）当a＝1.5，b＝﹣2.5时，＝　 　；
（2）请根据a、b、c三个数在数轴上的位置
①求++的值．
②化简：|a﹣b|﹣2|a+b|+|b+c|．
参考答案与试题解析
一．选择题
．|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a，，那么的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．不确定
【解答】解：∵当4≤x≤6时，|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是8，
|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a，
∴a＝8．
∴．
∵，
∴b＜0，c＜0．
∴ab＜0，bc＞0，ac＜0，abc＞0．
∴＝﹣1+1﹣1+1＝0．
故选：C．
．若﹣a＞|﹣3|，则a的值可以是（　　）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
【解答】解：∵﹣a＞|﹣3|，
∴﹣a＞3
∴a＜﹣3，
在A、B、C、D选项中，比﹣3小的只有﹣4，
故选：A．
．对于任意实数x，通常用[x]表示不超过x的最大整数，如[2.9]＝2，下列结论正确的是（　　）
①[﹣3]＝﹣3；②[﹣2.9]＝﹣2；③[0.9]＝0；④[x]+[﹣x]＝0
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
【解答】解：根据[x]表示不超过x的最大整数，得：
[﹣3]＝﹣3，故①正确；
[﹣2.9]＝﹣3，故②错误；
[0.9]＝0，故③正确；
当x为整数时，[x]+[﹣x]＝x+（﹣x）＝0，
当x为小数时，如x＝1.2，则[x]+[﹣x]＝1+（﹣2）＝﹣1≠0，故④错误；
故选：C．
．若实数a、b、c满足|a﹣b|＝1，|a﹣c|＝7，则|b﹣c|的值为（　　）
A．6 B．7 C．6或8 D．6或7
【解答】解：∵|a﹣b|＝1，|a﹣c|＝7，
∴a﹣b＝±1，a﹣c＝±7，
当a﹣b＝1，a﹣c＝7时，b﹣c＝a﹣c﹣（a﹣b）＝7﹣1＝6，原式＝6；
当a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣7时，b﹣c＝a﹣c﹣（a﹣b）＝﹣7+1＝﹣6，原式＝6；
当a﹣b＝1，a﹣c＝﹣7时，b﹣c＝a﹣c﹣（a﹣b）＝﹣7﹣1＝﹣8，原式＝8；
当a﹣b＝﹣1，a﹣c＝7时，b﹣c＝a﹣c﹣（a﹣b）＝7+1＝8，原式＝8；
故选：C．
．若x为整数，且满足|x﹣2|+|x+4|＝6，则满足条件的x的值有（　　）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【解答】解：①当x＜﹣4时，|x﹣2|+|x+4|＞6（不合题意）；
②当﹣4≤x≤2时，|x﹣2|+|x+4|＝6，符合题意的所有整数x的值为﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，
③当x＞2时，|x﹣2|+|x+4|＞6（不合题意）；
综上所述，满足|x﹣2|+|x+4|＝6的所有整数x的个数是7．
故选：D．
比较7a与4a的大小关系是（　　）
A．7a＜4a B．7a＝4a C．7a＞4a D．不能确定
【解答】解：7a﹣4a＝3a，
当a＝0时，3a＝0，
∴7a＝4a；
当a＞0时，3a＞0，
∴7a＞4a；
当a＜0时，3a＜0，
∴7a＜4a；
故选：D．
﹣|﹣2022|等于（　　）
A．0 B．2022 C．1 D．﹣2022
【解答】解：|﹣2022|代表﹣2022与原点的距离，
所以|﹣2022|＝2022，
所以﹣|﹣2022|＝﹣2022，
故选：D．
|x+8|+|x+1|+|x﹣3|+|x﹣5|的最小值等于（　　）
A．10 B．11 C．17 D．21
【解答】解：|x+8|+|x+1|+|x﹣3|+|x﹣5|表示数轴上表示数x的点，到表示数﹣8，﹣1，3，5的点的距离之和，
由数轴表示数的意义可知，
当﹣1≤x≤3时，这个距离之和最小，
最小值为|5﹣（﹣8）|+|3﹣（﹣1）|＝13+4＝17，
故选：C．
如图，a，b是数轴上的两个有理数，下面说法中正确的是（　　）
A．a＞b B．b＞a C．|a|＞|b| D．|b|＞|a|
【解答】解：根据题意可得，b＞a．
A．所以A选项不正确，故A选项不符合题意；
B．所以B选项正确，故B选项符合题意；
C．因为当a＜b＜0时，|a|＞|b|，所以C选项不正确，故C选项不符合题意；
D．因为当0＜a＜b时，|a|＜|b|，所以D选项不正确，故D选项不符合题意；
故选：B．
设abc≠0，且a+b+c＝0，则+++的值可能是（　　）
A．0 B．±1 C．±2 D．0或±2
【解答】解：∵abc≠0，且a+b+c＝0，
∴a、b与c中可能有1个字母小于0，也可能有2个字母小于0．
当a、b与c中有1个字母小于0，如a＜0，则b＞0，c＞0，
∴+++＝﹣1+1+1﹣1＝0．
当a、b与c中有2个字母小于0，如a＜0，b＜0，则c＞0，
∴+++＝﹣1﹣1+1+1＝0．
综上：+++＝0．
故选：A．
二．填空题
．已知x+y＝﹣1且|x|＞1，写出一组符合条件的值　　．
【解答】解：∵|x|＞1，
∴x＜﹣1或x＞1，
取x＝﹣2，则x+y＝﹣1，
∴y＝1
∴
故答案为：．
．代数式|x+2|+|﹣2|的最小值等于　2　．
【解答】解：∵|x+2|≥0，|﹣2|＝2，
∴|x+2|+|﹣2|的最小值2．
故答案为：2．
（1）如果一个数的绝对值等于2021，那么这个数是 　±2021　；
（2）若|2+x|﹣1＝7，则x＝　6或﹣10　．
【解答】解：（1）根据绝对值的定义，得|±2021|＝2021．
故答案为：±2021．
（2）∵|2+x|﹣1＝7，
∴|2+x|＝8．
∴当2+x＝8，x＝6；
当2+x＝﹣8，x＝﹣10．
综上：x＝6或﹣10．
故答案为：x＝6或﹣10．
．若x＜2，则的值是 　1或﹣1或﹣3　．
【解答】解：当1＜x＜2，
∴x﹣2＜0，1﹣x＜0．
∴＝＝﹣1﹣（﹣1）+1＝1．
当0＜x＜1，
∴x﹣2＜0，1﹣x＞0．
∴＝＝﹣1﹣1+1＝﹣1．
当x＜0，
∴x﹣2＜0，1﹣x＞0．
∴＝＝﹣1﹣1+（﹣1）＝﹣3．
综上：＝1或﹣1或﹣3．
故答案为：1或﹣1或﹣3．
．设有理数a，b，c满足a＞b＞c，这里ac＜0且|c|＜|b|＜|a|，则的最小值为 　　．
【解答】解：∵ac＜0，
∴a，c异号，
∵a＞b＞c，
∴a＞0，c＜0，
又∵|c|＜|b|＜|a|，
∴﹣a＜﹣b＜c＜0＜﹣c＜b＜a，
又∵|x﹣|+|x﹣|+|x+|表示到 ，，﹣三点的距离的和，
当x在时距离最小，
即|x﹣|+|x﹣|+|x+|最小，最小值是与﹣之间的距离，即．
故答案为：．
三．解答题
．已知下列三个有理数a，b，c，其中，b是﹣4的相反数，c是在﹣7与﹣6之间的整数．
请你解答下列问题：
（1）这三个数分别是多少？
（2）将这三个数用“＞”号连接起来．
（3）这三个数中，哪一个数在数轴上表示的点离原点的距离最近？
【解答】解：（1）这三个数分别是
a＝﹣（﹣3）＝3，
b＝﹣（﹣4）＝4，
c＝﹣7．
（2）b＞a＞c；
（3）在数轴上a这个数表示的点离原点的距离最近．
．如图，数轴上的三点A、B、C分别表示有理数a，b，c．
（1）填空：a﹣b　＜　0，a+c　＜　0，b﹣c　＜　0．（用＜或＞或＝号填空）
（2）化简：|a﹣b|﹣|a﹣c|+|b﹣c|．
【解答】解：（1）由数轴得：a＜b，
∴a﹣b＜0，
由数轴得：a＜0，c＞0，|a|＞|c|，
∴a+c＜0，
由数轴得：b＜c，
∴b﹣c＜0，
故答案为：＜，＜，＜；
（2）由数轴得：a＜c，
∴a﹣c＜0，
∴原式＝b﹣a+a﹣c+c﹣b
＝0．
（1）在数轴上分别画出表示下列3个数的点：﹣（﹣4），﹣|﹣3.5|，+（﹣）．
（2）有理数x，y在数轴上对应点如图所示：
①在数轴上表示﹣x，|y|；
②试把x，y，0，﹣x，|y|这五个数从小到大用“＜”号连接．
③化简：|x+y|﹣|y﹣x|+|y|．
【解答】解：（1）：﹣（﹣4）＝4，﹣|﹣3.5|＝﹣3.5，+（﹣）＝﹣．
如图所示：
（2）①如图所示：
②根据数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数可得：﹣x＜y＜0＜|y|＜x；
（3）∵x+y＞0，y﹣x＜0，y＜0，
∴|x+y|﹣|y﹣x|+|y|＝x+y+y﹣x﹣y＝y．
．同学们都知道，|4﹣（﹣2）|表示4与﹣2的差的绝对值，实际上也可理解为4与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|x﹣3|也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索：
（1）求|4﹣（﹣2）|＝　6　；
（2）若|x﹣2|＝5，则x＝　7或﹣3　；
（3）请你找出所有符合条件的整数x，使得|1﹣x|+|x+2|＝3．
【解答】解：（1）原式＝6；
（2）∵|x﹣2|＝5，
∴x﹣2＝±5，
∴x＝7或﹣3；
（3）由题意可知：|1﹣x|+|x+2|表示数x到1和﹣2的距离之和，
∴﹣2≤x≤1，
∴x＝﹣2或﹣1或0或1．
故答案为（1）6；（2）7或﹣3；
“数形结合”是一种重要的数学方法．如在化简|a|时，当a在数轴上位于原点的右侧时，|a|＝a；当a在数轴上位于原点时，|a|＝0；当a在数轴上位原点的左侧时，|a|＝﹣a．试用这种方法解决下列问题．
（1）当a＝1.5，b＝﹣2.5时，＝　2　；
（2）请根据a、b、c三个数在数轴上的位置
①求++的值．
②化简：|a﹣b|﹣2|a+b|+|b+c|．
【解答】解：（1）∵a＝1.5，b＝﹣2.5，
∴a＞0，b＜0，
∴＝＝1+1＝2，
故答案为：2；
（2）①由数轴上a，b，c的位置可得：|a|＝a，|b|＝﹣b，|c|＝﹣c，
故原式＝
＝1﹣1﹣1
＝﹣1．
②由数轴上a，b的位置可得：a﹣b＞0，a+b＜0，b+c＜0，
故原式＝a﹣b+2（a+b）﹣（b+c）
＝3a﹣c．