北师大版数学九年级上册2.4用因式分解法求解一元二次方程的解 测试题 （含解析）

因式分解法解一元二次方程
一．选择题
1.解方程（x-3）2=4，最合适的方法是（　　）
直接开平方法 B．配方法
C．公式法 D．因式分解法
2.若x1，x2是方程x2-2x-3=0的两个实数根，则x1 x22的值为（　　）
A．3或-9． B．-3或9 C．3或-6 D.-3或6
3.下面是某同学在一次测验中解答的填空题：
（1）若x2=a2，则x=a（2）方程2x（x-1）=x-1的解为x=0．（3）若直角三角形有两边长分别为3和4，则第三边的长为5．其中答案错误的题目个数为（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4.已知等腰三角形的两边长为一元二次方程x2-10x+9=0的两根，则等腰三角形周长是（　　）
A．11 B．19 C．11或19 D．不能确定
5.定义一种新运算：a b=2a+b,a※b=a2b,则方程（x+1）※2=（3 x）-2的解是（　　）
x1=，x2=-2 B．x1=-1，x2=
C．x1=-，x2=2 D．x1=1，x2=-
6.已知y1=-x2+5，y2=2x-10．当x= 时，y1与y2相等．
二、填空题
7.三角形两边的长分别为2和7，第三边的长是方程x2-10x+16=0的根，则该三角形的周长为 ．
8.对任意实数，a,b,定义一种运算：a b=a2+b2-ab,若x （x+1）=7，则x的值为 ．
9.对于实数p、q,我们用符号max{p,q}表示p,q两数中较大的数，如max{1，2}=2，若max{（x-1）2，x2+6x}=16，则x= ．
三、解答题
10.解下列方程：
（1）x2-6x+8=0；
（2）3x2+2x-1=0．
11.已知a,b是等腰三角形ABC的底和腰长，若a≠b且a,b均是方程x2-6x+8=0的解，求出△ABC的周长．
12.先化简，再求值：，其中a满足方程a2+a-6=0．
因式分解法解一元二次方程（解析）
一．选择题
1.解方程（x-3）2=4，最合适的方法是（　　）
直接开平方法 B．配方法
C．公式法 D．因式分解法
【答案】A
【分析】方程两边开方即可得出两个一元一次方程，再得出选项即可．
【解答】解：（x-3）2=4，
两边开方得：x-3=±2，
即最合适的方法是直接开平方法，
故选：A．
2.若x1，x2是方程x2-2x-3=0的两个实数根，则x1 x22的值为（　　）
A．3或-9． B．-3或9 C．3或-6 D.-3或6
【答案】A
【分析】先用因式分解法解出方程，然后分情况讨论，然后计算．
【解答】解：x2-2x-3=0，
（x-3）（x+1）=0，
x=3或x=-1，
①x1=3，x2=-1时，x1 x22=3，
②x1=-1，x2=3时，x1 x22=-9，
故选：A．
3.下面是某同学在一次测验中解答的填空题：
（1）若x2=a2，则x=a（2）方程2x（x-1）=x-1的解为x=0．（3）若直角三角形有两边长分别为3和4，则第三边的长为5．其中答案错误的题目个数为（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的解法、勾股定理计算，判断即可．
【解答】解：（1）若x2=a2，则x=±a,故本小题计算错误；
（2）方程2x（x-1）=x-1的解为x1=0，x2=1，故本小题计算错误；
（3）若直角三角形有两边长分别为3和4，则第三边的长为5或，故本小题说法错误；
故选：D．
4.已知等腰三角形的两边长为一元二次方程x2-10x+9=0的两根，则等腰三角形周长是（　　）
A．11 B．19 C．11或19 D．不能确定
【答案】B
【分析】利用因式分解法求出已知方程的解，确定出等腰三角形的边长，求出周长即可．
【解答】解：方程x2-10x+9=0，
分解因式得：（x-1）（x-9）=0，
所以x-1=0或x-9=0，
解得：x1=1，x2=9，
∵等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2-10x+9=0的两根，
∴当腰长为1时，三边为1，1，9，不能构成三角形，舍去；
当腰长为9时，三边为9，9，1，此时周长为9+9+1=19，
则等腰三角形的周长为19．
故选：B．
5.定义一种新运算：a b=2a+b,a※b=a2b,则方程（x+1）※2=（3 x）-2的解是（　　）
x1=，x2=-2 B．x1=-1，x2=
C．x1=-，x2=2 D．x1=1，x2=-
．
【答案】A
【分析】根据新定义把原方程变形，化为一般形式，再利用因式分解法解方程即可．
【解答】解：原方程变形为：2（x+1）2=2×3+x-2，
整理得：2x2+3x-2=0，
因式分解，得（2x-1）（x+2）=0，
解得：x1=，x2=-2，
故选：A．
6.已知y1=-x2+5，y2=2x-10．当x= 时，y1与y2相等．
【答案】-5或3．
【分析】先列方程得到得-x2+5=2x-10，整理得x2+2x-15=0，然后利用因式分解法解方程即可．
【解答】解：根据题意得-x2+5=2x-10，
整理得x2+2x-15=0，
（x+5）（x-3）=0，
x+5=0或x-3=0，
所以x1=-5，x2=3，
所以当x=-5或3时，y1与y2相等．
故答案为：-5或3．
二、填空题
7.三角形两边的长分别为2和7，第三边的长是方程x2-10x+16=0的根，则该三角形的周长为 ．
【答案】17．
【分析】先求出方程的解，再根据三角形的三边关系判断能否组成三角形，最后求出三角形的周长即可．
【解答】解：∵x2-10x+16=0，
∴（x-2）（x-8）=0，
则x-2=0或x-8=0，
解得x1=2，x2=8．
当第三边为2时，2+2＜7，不符合三角形三边关系定理，不能组成三角形，舍去；
当第三边为8时，2+7＞8，符合三角形三边关系定理，能组成三角形，此时三角形的周长是2+7+8=17．
故答案为：17．
8.对任意实数，a,b,定义一种运算：a b=a2+b2-ab,若x （x+1）=7，则x的值为 ．
【答案】-3或2．
【分析】根据已知可得x2+（x+1）2-x（x+1）=7，然后化简整理可得x2+x-6=0，再利用因式分解法，进行计算即可解答．
【解答】解：∵x （x+1）=7，
∴x2+（x+1）2-x（x+1）=7，
∴x2+x2+2x+1-x2-x=7，
∴x2+x-6=0，
∴（x+3）（x-2）=0，
∴x+3=0或x-2=0，
∴x1=-3，x2=2，
∴x的值为：-3或2，
故答案为：-3或2．
9.对于实数p、q,我们用符号max{p,q}表示p,q两数中较大的数，如max{1，2}=2，若max{（x-1）2，x2+6x}=16，则x= ．
【答案】-3或2．
【分析】根据题意分两种情况，①当（x-1）2=16，②当x2+6x=16，应用解一元二次次方程的方法进行计算，再根据题意的新定义的运算方法，把求出x的值代入计算是否符合题意，即可得出答案．
【解答】解：根据题意，
①当（x-1）2=16，
解得：x1=5，x2=-3，
当x=5时，x2+6x=52+6×5=55，
∵16＜55，
∴x=5，不符合题意；
当x=-3时，x2+6x=（-3）2+3×（-6）=-9，
∵16＞-9，
∴x=-3符合题意；
②当x2+6x=16，
即x2+6x-16=0，
（x+8）（x-2）=0，
解得：x1=-8，x2=2，
当x=-8时，（x-1）2=（-8-1）2=81，
∵81＞16，
∴x=-8不符合题意；
当x=2时，（x-1）2=（2-1）2=1，
∵1＜16，
∴x=2符合题意；
综上：x=-3或x=2．
故答案为：-3或2．
三、解答题
10.解下列方程：
（1）x2-6x+8=0；
（2）3x2+2x-1=0．
【解答】解：（1）∵x2-6x+8=0，
∴（x-2）（x-4）=0，
则x-2=0或x-4=0，
解得x1=2，x2=4；
（2）3x2+2x-1=0，
（3x-1）（x+1）=0，
3x-1=0或x+1=0，
x1=
，x2=-1．
11.已知a,b是等腰三角形ABC的底和腰长，若a≠b且a,b均是方程x2-6x+8=0的解，求出△ABC的周长．
【答案】10．
【分析】利用因式分解法解出一元二次方程，根据等腰三角形的性质、三角形的三边关系确定三边长，进而求出三角形的周长．
【解答】解：x2-6x+8=0，
则（x-2）（x-4）=0，
∴x-2=0或x-4=0，
解得：x1=2，x2=4，
∵a,b是等腰三角形ABC的底和腰长，a≠b,
∴三角形的三边长分别为4，4，2，
∴△ABC的周长=4+4+2=10．
12.先化简，再求值：，其中a满足方程a2+a-6=0．
【解答】解：原式=
==，
∵a2+a-6=0，
∴（a+3）（a-2）=0，
a+3=0或a-2=0，
解得a1=-3，a2=2，
∵a=2原式没有意义，
∴a的值为-3，
当a=-3时，原式==-1．