北师大版九年级数学上册2.5一元二次方程根与系数的关系同步练习题 （含解析）

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《2.5一元二次方程根与系数的关系》
同步练习题（附答案）
一．选择题
1．若关于x的一元二次方程（k﹣5）x2﹣2x+2＝0有实数根，则整数k的最大值为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根
3．定义新运算a*b：对于任意实数a，b满足a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如3*2＝（3+2）（3﹣2）﹣1＝5﹣1＝4．若x*k＝2x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况是（　　）
A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
4．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则点P（a﹣2，﹣a+3）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．下列关于x的方程中，一定有两个不相等的实数根的是（　　）
A．x2﹣4x+4＝0 B．x2﹣mx+4＝0 C．x2﹣4x﹣m＝0 D．x2﹣4x﹣m2＝0
6．若关于x的一元二次方程ax2﹣4x+2＝0有两个实数根，则a的取值范围是（　　）
A．a≤2 B．a＜2 C．a≤2且a≠0 D．a＜2且a≠0
7．若a，b，c是△ABC的三边长，则关于x的方程的根的情况是（　　）
A．无实数根 B．有两相等的实数根
C．有两不相等的实数根 D．无法确定
8．设a，b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则a2+3a+2b的值为（　　）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
9．关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0有（　　）
A．两个相等的实数根
B．两个不相等的正数根
C．两个不相等的负数根
D．一个正数根和一个负数根
10．已知x2+3x﹣1＝0的两个根为x1、x2，则x1+x2的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3
11．已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x﹣m2＝0的两根，下列结论中不一定正确的是（　　）
A．x1+x2＞0 B．x1 x2＜0
C．x1≠x2 D．方程的根有可能为0
12．若一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1+x2＝x1x2，则m的值是（　　）
A．﹣1 B．3 C．2或﹣1 D．﹣3或1
13．已知关于x的一元二次方程x2+mx+3＝0的一个根是1，则方程的另一个根是（　　）
A．﹣3 B．2 C．3 D．﹣4
二．填空题
14．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 　 　．
15．若关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣2x﹣1＝0有实数根，则实数k的取值范围是 　 　．
16．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的两个实数根，则＝　 　．
17．若关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个根分别是x1＝﹣3，x2＝5，则b+c＝　 　．
18．已知：m、n是方程x2﹣x﹣2＝0的两根，则（m2﹣1）（n2﹣1）＝　 　．
19．一元二次方程x2﹣2x﹣6＝0的两根分别为x1，x2，则x12+x22的值为 　 　．
20．若一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根为a，b，则a﹣ab+b的值为 　 　．
三．解答题
21．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．
（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形一腰长为5，另外两边长度为该方程的两根，求等腰三角形的周长．
22．已知关于x的方程mx2+（2m﹣3）x+m＝0有两个不相等的实数根，求m的取值范围．
23．已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）设方程的两个根为x1，x2，且，求．
24．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m﹣2＝0．
（1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根为x1，x2，且x1+x2+3x1x2＝1，求m的值．
25．已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+3x+1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使该方程的两个实数根x1、x2满足x1+x2＝5﹣2x1x2，若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题
1．解：∵关于x的一元二次方程（k﹣5）x2﹣2x+2＝0有实数根，
∴，
解得：k≤且k≠5．
∵k为整数，
∴k的最大值为4．
故选：A．
2．解：x2﹣4x﹣3＝0，其中a＝1，b＝﹣4，c＝﹣3，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣3）＝28＞0，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
3．解：根据题中的新定义化简得：（x+k）（x﹣k）﹣1＝2x，
整理得：x2﹣2x﹣1﹣k2＝0，
∵Δ＝4﹣4（﹣1﹣k2）＝4k2+8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
4．解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴a≠0，Δ＝（﹣1）﹣4a×（﹣）＝0，
解得：a＝﹣1．
∴a﹣2＝﹣3，﹣a+3＝2，
∴点P（a﹣2，﹣a+3）在第二象限．
故选：B．
5．解：A、Δ＝（﹣4）2﹣4×1×4＝0，该方程有两个相等的实数根，不符合题意；
B、Δ＝（﹣m）2﹣4×1×4＝m2﹣16，可能小于等于0，不一定有两个不相等的实数根，不符合题意；
C、Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣m）＝16+4m，可能小于等于0，不一定有两个不相等的实数根，不符合题意；
D、Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣m）2＝16+4m2＞0，一定有两个不相等的实数根，符合题意．
故选：D．
6．解：根据题意得a≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4a×2≥0，
解得a≤2且a≠0．
故选：C．
7．解：∵a，b，c为△ABC的三边长，
∴a+b＞c＞0．
在方程中，
Δ＝[﹣（a+b）]2﹣4×c2＝（a+b）2﹣c2＞0，
∴关于x的方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
8．解：∵a是方程x2+x﹣2022＝0的实数根，
∴a2+a﹣2022＝0，
∴a2+a＝2022，
∵a，b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，
∴a+b＝﹣1，
∴a2+3a+2b＝a2+a+2a+2b＝2022+2×（﹣1）＝2020．
故选：A．
9．解：x2﹣2x﹣5＝0，
Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣5）＝24＞0，
所以方程有两个不相等的实数根，
设方程x2﹣2x﹣5＝0的两个根为e、f，则ef＝﹣5＜0，则e和f异号，
即方程有一个正数根和一个负数根，
故选：D．
10．解：∵x2+3x﹣1＝0的两个根为x1、x2，
∴x1+x2＝﹣3．
故选：D．
11．解：A、根据根与系数的关系可得出x1+x2＝2＞0，结论A正确，不符合题意；
B、根据根与系数的关系可得出x1 x2＝﹣m2≤0，结论B不一定正确，符合题意；
C、根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＞0，由此即可得出x1≠x2，结论C正确，不符合题意；
D、由x1 x2＝﹣m2≤0，结合判别式可得出方程的根有可能为0，结论D正确，不符合题意．
故选：B．
12．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，
∴Δ＝（2m+3）2﹣4m2＝12m+9＞0，
∴m＞﹣，
∵x1+x2＝2m+3，x1 x2＝m2，
又∵x1+x2＝x1 x2，
∴2m+3＝m2，
解得：m＝﹣1或m＝3，
∵m＞﹣，
∴m＝3，
故选：B．
13．解：设方程的一个根x1＝1，另一个根为x2，根据题意得：
x1×x2＝3，
将x1＝1代入，得x2＝3．
故选：C．
二．填空题
14．解：根据题意得k﹣1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4×（k﹣1）＞0，
解得k＜2且k≠1，
所以k的取值范围是k＜2且k≠1．
故答案为：k＜2且k≠1．
15．解：根据题意得k+2≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4（k+2）×（﹣1）≥0，
解得k≥﹣3且k≠﹣2，
所以实数k的取值范围是k≥﹣3且k≠﹣2．
故答案为：k≥﹣3且k≠﹣2．
16．解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝4，x1 x2＝﹣1，
则原式＝＝＝﹣4．
故答案为：﹣4．
17．解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别是x1＝﹣3，x2＝5，
∴﹣3+5＝﹣b，﹣3×5＝c，
解得：b＝﹣2，c＝﹣15，
∴b+c＝﹣2+（﹣15）＝﹣17，
故答案为：﹣17．
18．解：根据题意得m+n＝1，mn＝﹣2，
所以（m2﹣1）（n2﹣1）
＝m2n2﹣m2﹣n2+1
＝m2n2﹣（m+n）2+2mn+1
＝（﹣2）2﹣12+2×（﹣2）+1
＝4﹣1﹣4+1
＝0．
故答案为：0．
19．解：因为一元二次方程x2﹣2x﹣6＝0的两根分别为x1，x2，
所以x1+x2＝2，x1x2＝﹣6．
所以x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2
＝4+12
＝16．
故答案为：16．
20．解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根为a，b，
∴a+b＝3，ab＝﹣2，
则原式＝（a+b）﹣ab＝3﹣（﹣2）＝3+2＝5．
故答案为：5．
三．解答题
21．（1）证明：Δ＝[﹣（k+2）]2﹣4×2k＝（k﹣2）2，
∵（k﹣2）2≥0，即△≥0，
∴无论k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）解：∵等腰三角形一腰长为5，
∴另外一边长度为5，
∴方程x2﹣（k+2）x+2k＝0一个根为5，
∴25﹣5（k+2）+2k＝0，
解得k＝5，
∴方程为x2﹣（5+2）x+2×5＝0，
∴（x﹣5）（x﹣2）＝0，
解得x1＝5，x2＝2，
故△ABC的周长＝5+5+2＝12．
22．解：根据题意得m≠0且Δ＝（2m﹣3）2﹣4m2＞0，
解得m＜且m≠0．
所以m的取值范围为：m＜且m≠0．
23．（1）证明：∵Δ＝m2﹣4（m﹣1）＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2≥0，
∴一元二次方程总有两个实数根；
（2）解：∵x1，x2是方程x2+mx+m﹣1＝0的两个根，
∴x1+x2＝﹣m，x1x2＝m﹣1，
∵，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝10，
∴（﹣m）2﹣2（m﹣1）＝10，
解得m1＝4，m2＝﹣2，
∵（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝m2﹣4（m﹣1）＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2，
当m＝4时，（x1﹣x2）2＝（4﹣2）2＝4，
当m＝﹣2时，（x1﹣x2）2＝（﹣2﹣2）2＝16，
综上所述，（x1﹣x2）2的值为4或16．
24．（1）证明：∵Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4×1×（m﹣2）
＝4m2+4m+1﹣4m+8
＝4m2+9＞0，
∴无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由根与系数的关系，得x1+x2＝2m+1，x1x2＝m﹣2，
由x1+x2+3x1x2＝1，得2m+1+3（m﹣2）＝1，
解得m＝．
25．解：（1）∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+3x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0，且k﹣1≠0，
∴，
解得k且k≠1；
（2）存在实数k，使该方程的两个实数根x1、x2满足x1+x2＝5﹣2x1x2，理由如下：
若x1、x2是（k﹣1）x2+3x+1＝0的两个实数根，则x1+x2＝﹣，x1 x2＝，
∵x1+x2＝5﹣2x1x2，
∴﹣＝5﹣，
解得k＝，
∵＜，
∴k＝时，（k﹣1）x2+3x+1＝0有两个实数根，
∴存在实数k＝，使该方程的两个实数根x1、x2满足x1+x2＝5﹣2x1x2．