沪教版（上海）数学八年级上册 第19章 几何证明 复习与测试（含解析）
文档属性
| 名称 | 沪教版（上海）数学八年级上册 第19章 几何证明 复习与测试（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 345.3KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-23 09:20:03 | ||
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文档简介
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第19章 几何证明 单元检测卷
一、单选题
1．将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形（ ）
A．可能是锐角三角形 B．不可能是直角三角形
C．仍然是直角三角形 D．可能是钝角三角形
2．下列各组数中是勾股数的一组是（ )
A．0.3、0.4、0.5 B．2、3、4 C．5、12、13 D．11、12、13
3．一个直角三角形“两边”的长分别为3和4，则“第三边”的长是（ ）.
A．5 B．6 C． D．5或
4．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为（ ）
A．48° B．36° C．30° D．24°
5．如图，AB⊥AC于A，BD⊥CD于D，若AC=DB，则下列结论中不正确的是（ ）
A．∠A=∠D B．∠ABC=∠DCB C．OB=OD D．OA=OD
6．已知一个的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）
A．25 B．14 C．7 D．7或25
7．如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高5米，两树相距12米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）
A．8米 B．10米 C．13米 D．14米
8．已知△ABC的三边长分别为5，13，12，则△ABC的面积为（ ）
A．30 B．60 C．78 D．不能确定
9．如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B离墙角C的距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上了，测得BD长为0.9米，则梯子顶端A下滑（ ）．
A．0.9米 B．1.3米 C．1.5米 D．2米
10．以a、b、c为边，不能组成直角三角形的是（ ）
A．a＝6，b＝8，c＝10 B．a＝1，b＝，c＝2
C．a＝24，b＝7，c＝25 D．a＝，b＝，c＝
11．在△ABC中，AB=10，AC=2，BC边上的高AD=6，则另一边BC等于（ ）
A．10 B．8 C．6或10 D．8或10
12．下列各组数据分别是三角形三边长，是直角三角形的三边长的一组为( )
A．5，6，7. B．2，3，4.
C．8，15，17. D．4，5，6 .
二、填空题
13．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，P点是BD的中点，若AD=8，则CP的长为________．
14．如图所示，以直角三角形的一直角边和斜边为边长所作正方形A、C的面积分别为9和25，则以另一直角边为边长的正方形B的面积为________．
15．如图，已知△ABC中，AB=AC，AB边上的垂直平分线DE交AC于点E，D为垂足，若∠ABE：∠EBC=2：1，则∠A=__________．
16．在△ABC中，AB=4，AC=3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是_____．
17．如图，有一个长为50cm，宽为30cm，高为40cm的长方体木箱，一根长70cm的木棍________放入（填“能”或“不能”）．
18．如图所示，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，AB=36cm，BC=24cm，S△ABC=144cm，则DE的长是____．
19．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，CD平分∠ACB，过点D作DE⊥AC于点E，若AE=4，AB=10，则△ADE的周长为________ ．
20．如图，BE，CD是△ABC的高，且BD＝EC，判定△BCD≌△CBE的依据是“_____”．
21．如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PD⊥OA，垂足为点D，PD=1，则点P到射线OB的距离为____．
22．已知等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为3，则以底边为边长的正方形的面积为________
三、解答题
23．如图，一棵树高9米，被大风刮断，树尖着地点B距树底部C为3米，求折断点A离地高度多少米？
24．教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2 ， 也可以表示为4×ab+(a-b)2由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2=c2 ．
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．
（2）如图③，直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=3cm，BC=4cm，则斜边AB上的高CD的长为多少
（3）试构造一个图形，使它的面积能够解释（a+b）（a+2b）=a2+3ab+2b2 ， 画在如图4的网格中，并标出字母a、b所表示的线段．
25．（1）证明：“三角形内角和是180°”；
（2）请写出“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题，判断这一逆命题是真命题还是假命题，如果是真命题给出证明，如果是假命题，说明理由．
26．已知△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，∠EDF=90°
（1）如图1，若E、F分别在AC、BC边上，猜想AE2、BF2和EF2之间有何等量关系，并证明你的猜想；
（2）若E、F分别在CA、BC的延长线上，请在图2中画出相应的图形，并判断（1）中的结论是否仍然成立（不作证明）
参考答案：
1．C【详解】试题解析：∵将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形的三条边与原三角形的三条边对应成比例，
∴两三角形相似．
又∵原来的三角形是直角三角形，而相似三角形的对应角相等，
∴得到的三角形仍是直角三角形．
故选C．
2．C【分析】根据勾股定理的逆定理分别进行分析，从而得到答案．
【详解】A. ∵0.32+0.42≠0.52，∴此选项不符合题意；
B. ∵22+32≠42，∴此选项不符合题意；
C. ∵52+122=132，∴此选项符合题意；
D. ∵112+122≠132，∴此选项不符合题意．
故选C.
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理.
3．D【分析】题干中没有明确指出边长为4的边是直角边还是斜边，所以我们需要分类讨论，
（1）边长为4的边为直角边；（2）边长为4的边为斜边．
【详解】(1)边长为4的边为直角边，则第三边即为斜边，则第三边的长为=5；
(2)边长为4的边为斜边，则第三边即为直角边，则第三边的长为=.
故答案为5或 .则D正确.
【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是分情况讨论，掌握勾股定理.
4．A【详解】∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABD=24°，
∵∠A=60°，
∴∠ACB=180°﹣60°﹣24°×2=72°，
∵BC的中垂线交BC于点E，
∴BF=CF，
∴∠FCB=24°，
∴∠ACF=72°﹣24°=48°，
故选A．
5．C【详解】试题解析：∵AB⊥AC于A，BD⊥CD于D
∴∠A=∠D=90°（A正确）
又∵AC=DB，BC=BC
∴△ABC≌△DCB
∴∠ABC=∠DCB（B正确）
∴AB=CD
又∵∠AOB=∠C
∴△AOB≌△DOC
∴OA=OD（D正确）
C中OD、OB不是对应边，不相等．
故选C．
考点：1.直角三角形全等的判定；2.全等三角形的性质．
6．D【分析】由于4是三角形的直角边与斜边不能确定，故应分两种情况进行讨论．
【详解】解：由于4是三角形的直角边与斜边不能确定，故应分两种情况进行讨论：
（1）3、4都为直角边，由勾股定理得，斜边为5；
（2）3为直角边，4为斜边，由勾股定理得，直角边为．
∴第三边长的平方是25或7，
故选：D．
【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
7．C【详解】根据题意，可得图形如下图，因此可构成直角三角形，因此可得.
故选C
8．A【分析】因为，所以△ABC是直角三角形，算出面积即可。
【详解】∵，
∴△ABC是直角三角形，且5和12是两条直角边长，
∴△ABC的面积为．
故选A．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆应用，已知三边判定一个角是90°，关键是要认真计算．
9．B【分析】要求下滑的距离，显然需要分别放到两个直角三角形中，运用勾股定理求得AC和CE的长即可．
【详解】解：∵在Rt△ACB中，，
∴AC＝2米，
∵BD＝0.9米，
∴CD＝BD+BC=0.9+1.5=2.4（米），
∵在Rt△ECD中，EC2＝ED2﹣CD2＝2.52﹣2.42＝0.49，
∴EC＝0.7米，
∴AE＝AC﹣EC＝2﹣0.7＝1.3（米），故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
10．D【详解】试题分析:勾股定理：
解：，A是直角三角形；
，B是直角三角形；
，故C是直角三角形；
，故D不是直角三角形
考点： 本题考查了勾股定理
点评： 此类试题属于历年来的必考题，勾股定理及其逆定理是常见考点，也是交易的考点，把握好直角三角形的性质定理，两条直角边和斜边的公式定理即可．
11．C【详解】分两种情况：
在图①中，由勾股定理，得
；
；
∴BC＝BD＋CD＝8＋2＝10．
在图②中，由勾股定理，得
；
；
∴BC＝BD-CD＝8-2＝6．
故选C．
12．C【详解】试题分析：勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形.
，B、，D、，均不符合题意；
C、，是直角三角形的三边长，故本选项正确.
考点：本题考查的是勾股定理的逆定理
点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握勾股定理的逆定理，即可完成．
13．4【分析】首先证明BD=AD，然后再根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得CP=BD．
【详解】∵∠ACB=90°,∠ABC=60°，
∴∠A=30°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBA=30°，
∴∠A=∠DBA，
∴AD=BD=8，
∵P点是BD的中点,∠ACB=90°，
∴CP=BD=4，
故答案为4.
【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线和含30度角的直角三角形，解题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线和含30度角的直角三角形.
14．16【详解】根据勾股定理得：以斜边为边长的正方形的面积等于以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和， 即C=A+B，因为A=9，C=25，所以则以另一直角边为边长的正方形B的面积为25﹣9=16．
故答案为16．
15．45°【详解】∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵E在线段AB的垂直平分线上，
∴EA=EB，
∴∠ABE=∠A=2∠EBC，
∴∠ABC=∠ABE+∠EBC=∠A+∠A，
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴∠A+2(∠A+∠A)=180°，
∴∠A=45°，
故答案为45°.
16．4:3【分析】根据角平分线的性质，可得出△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高相等，估计三角形的面积公式，即可得出△ABD与△ACD的面积之比等于对应边之比．
【详解】∵AD是△ABC的角平分线，
∴设△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高分别为h1，h2，
∴h1=h2，
∴△ABD与△ACD的面积之比=AB：AC=4：3，
故答案为4：3．
17．能【详解】根据勾股定理可计算出长方体最大容纳长度=,
故答案为:能.
18．4.8cm【详解】如图，过点D作DF⊥BC于点F，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，
∴DF=DE.
∴S△ABC= S△ABD + S△BCD =ABDE+BCDF=(AB+BC)DE=144，
∴(36+24)DE=144，解得：DE=4.8（cm.）
19．14【分析】根据角平分线的性质得到BD=DE，求得AD+DB=AD+DE=AB=10，即可得到结论．
【详解】∵CD平分∠ACB,∠B=90°，DE⊥AC，
∴BD=DE，
∴AD+DB=AD+DE=AB=10，
∴△ADE的周长=AD+DE+AE=10+4=14.
故答案为14.
【点睛】本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质.
20．HL【分析】需证△BCD和△CBE是直角三角形，可证的依据是HL.
【详解】解: ∵BE、CD是△ABC的高，
∴，
在Rt△BCD和Rt△CBE中，BD=EC，BC=CB，
∴Rt△BCD≌Rt△CBE（HL），
故答案为：HL.
【点睛】本题考查全等三角形判定定理中的判定直角三角形全等的HL定理.
21．1【详解】由角平分线的性质定理，可得，则点P到射线OB的距离为1.
22．10或90【详解】根据题意作出图形分为高线在三角形内和高线在三角形外两种情况：
如图1，AC=5，CD=3，CD⊥AB，根据勾股定理可知：AD==4，
∴BD=1．
∴BC2=12+32=10．
如图2，AC=5，CD=3，CD⊥AB，根据勾股定理可知：AD==4，
∴BD=9，
∴BC2=92+32=90．
故答案是：10或90．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，作出图形利用三角形知识求解即可．注意：需要分类讨论．
23．折断点A离地高度4米【详解】试题分析：设出AC长度，AB用AC表示，利用勾股定理列方程，求出AC.
试题解析：
由题意可得：BC=3m，设AC=xm，则AB=（9﹣x）m，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2 ，
即x2+32=（9﹣x）2 ，
解得：x=4，
答：折断点A离地高度4米.
点睛：（1）勾股定理
直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.这就是勾股定理.
（2）勾股定理逆定理
在一个三角形中,两条边的平方和等于另一条边的平方,那么这个三角形就是直角三角形. 这就是勾股定理的逆定理.
（3）勾股定理的应用一定要在直角三角形中，如果没有直角三角形，需要构造直角三角形，才可以使用.
24．(1)详见解析;(2) ;(3)详见解析>【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证；
（2）已知两直角边，利用勾股定理求出斜边长，再利用面积法即可求出斜边上的高．
（3）已知图形面积的表达式，即可根据表达式得出图形的边长的表达式，即可画出图形．
【详解】解：（1）梯形ABCD的面积为（a+b）（a+b）=a2+ab+b2 ，
也利用表示为ab+c2+ab，
∴a2+ab+b2=ab+c2+ab，即a2+b2=c2
（2）∵直角三角形的两直角边分别为3，4，
∴斜边为5，
∵设斜边上的高为h，直角三角形的面积为×3×4=×5×h，
∴h=．
（3）∵图形面积为：（a+b）（a+2b）=a2+3ab+2b2 ，
∴边长为（a+2b）（a+b），
由此可画出的图形为：
【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理.
25．(1)详见解析;(2)详见解析【分析】（1）根据平行线的性质、平角的定义证明；
（2）根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理证明
【详解】（1）证明：已知：△ABC， 求证：∠BAC+∠B+∠C=180°，
证明：过点A作EF∥BC，
∵EF∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠C，
∵∠1+∠2+∠BAC=180°，
∴∠BAC+∠B+∠C=180°．
即知三角形内角和等于180°
（2）解：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是一个三角形一边上的中线是这边的一半，那么这个三角形是直角三角形，是真命题． 已知，如图，△ABC中，D是AB边的中点，且CD= AB
求证：△ABC是直角三角形，
证明：∵D是AB边的中点，且CD= AB，
∴AD=BD=CD，
∵AD=CD，
∴∠ACD=∠A，
∵BD=CD，
∴∠BCD=∠B，
又∵∠ACD+∠BCD+∠A+∠B=180°，
∴2（∠ACD+∠BCD）=180°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形．
【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握平行线的性质、平角的定义等腰三角形的性质、三角形内角和定理证明.
26．（1）结论：AE2+BF2=EF2 ,理由详见解析;(2) 结论不变, AE2+BF2=EF2,证明详见解析．【分析】（1）结论：AE2+BF2=EF2．如图1中，延长FD到M，使得DM=DF，连接AM，EM．首先证明△ADM≌△BDF，得到AM=FB，再证明△AEM是直角三角形，理由勾股定理即可解决问题．
（2）结论不变，证明方法类似（1）．
【详解】（1）结论：AE2+BF2=EF2 ．
理由：如图1中，延长FD到M，使得DM=DF，连接AM，EM．
在△ADM和△BDF中，
，
∴△ADM≌△BDF，
∴AM=BF，∠B=∠MAD，
∵∠C=90°，
∴∠B+∠CAB=90°，
∴∠CAB+∠MAD=90°，即∠EAM=90°，
∵∠EDF=90°，
∴ED⊥FM，∵DM=DF，
∴EM=EF，
在Rt△AEM中，∵AE2+AM2=EM2 ，
∴AE2+BF2=EF2 ．
（2）如图2中，结论不变．AE2+BF2=EF2
理由：延长FD到M，使得DM=DF，连接AM，EM．
在△ADM和△BDF中，
，
∴△ADM≌△BDF，
∴AM=BF，∠B=∠MAD，
∵∠C=90°，
∴∠B+∠CAB=90°，
∴∠CAB+∠MAD=90°，即∠EAM=∠CAM=90°，
∵∠EDF=90°，
∴ED⊥FM，∵DM=DF，
∴EM=EF，
在Rt△AEM中，∵AE2+AM2=EM2 ，
∴AE2+BF2=EF2 ．
【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线，解题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线.
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第19章 几何证明 单元检测卷
一、单选题
1．将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形（ ）
A．可能是锐角三角形 B．不可能是直角三角形
C．仍然是直角三角形 D．可能是钝角三角形
2．下列各组数中是勾股数的一组是（ )
A．0.3、0.4、0.5 B．2、3、4 C．5、12、13 D．11、12、13
3．一个直角三角形“两边”的长分别为3和4，则“第三边”的长是（ ）.
A．5 B．6 C． D．5或
4．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为（ ）
A．48° B．36° C．30° D．24°
5．如图，AB⊥AC于A，BD⊥CD于D，若AC=DB，则下列结论中不正确的是（ ）
A．∠A=∠D B．∠ABC=∠DCB C．OB=OD D．OA=OD
6．已知一个的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）
A．25 B．14 C．7 D．7或25
7．如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高5米，两树相距12米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）
A．8米 B．10米 C．13米 D．14米
8．已知△ABC的三边长分别为5，13，12，则△ABC的面积为（ ）
A．30 B．60 C．78 D．不能确定
9．如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B离墙角C的距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上了，测得BD长为0.9米，则梯子顶端A下滑（ ）．
A．0.9米 B．1.3米 C．1.5米 D．2米
10．以a、b、c为边，不能组成直角三角形的是（ ）
A．a＝6，b＝8，c＝10 B．a＝1，b＝，c＝2
C．a＝24，b＝7，c＝25 D．a＝，b＝，c＝
11．在△ABC中，AB=10，AC=2，BC边上的高AD=6，则另一边BC等于（ ）
A．10 B．8 C．6或10 D．8或10
12．下列各组数据分别是三角形三边长，是直角三角形的三边长的一组为( )
A．5，6，7. B．2，3，4.
C．8，15，17. D．4，5，6 .
二、填空题
13．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，P点是BD的中点，若AD=8，则CP的长为________．
14．如图所示，以直角三角形的一直角边和斜边为边长所作正方形A、C的面积分别为9和25，则以另一直角边为边长的正方形B的面积为________．
15．如图，已知△ABC中，AB=AC，AB边上的垂直平分线DE交AC于点E，D为垂足，若∠ABE：∠EBC=2：1，则∠A=__________．
16．在△ABC中，AB=4，AC=3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是_____．
17．如图，有一个长为50cm，宽为30cm，高为40cm的长方体木箱，一根长70cm的木棍________放入（填“能”或“不能”）．
18．如图所示，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，AB=36cm，BC=24cm，S△ABC=144cm，则DE的长是____．
19．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，CD平分∠ACB，过点D作DE⊥AC于点E，若AE=4，AB=10，则△ADE的周长为________ ．
20．如图，BE，CD是△ABC的高，且BD＝EC，判定△BCD≌△CBE的依据是“_____”．
21．如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PD⊥OA，垂足为点D，PD=1，则点P到射线OB的距离为____．
22．已知等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为3，则以底边为边长的正方形的面积为________
三、解答题
23．如图，一棵树高9米，被大风刮断，树尖着地点B距树底部C为3米，求折断点A离地高度多少米？
24．教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2 ， 也可以表示为4×ab+(a-b)2由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2=c2 ．
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．
（2）如图③，直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=3cm，BC=4cm，则斜边AB上的高CD的长为多少
（3）试构造一个图形，使它的面积能够解释（a+b）（a+2b）=a2+3ab+2b2 ， 画在如图4的网格中，并标出字母a、b所表示的线段．
25．（1）证明：“三角形内角和是180°”；
（2）请写出“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题，判断这一逆命题是真命题还是假命题，如果是真命题给出证明，如果是假命题，说明理由．
26．已知△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，∠EDF=90°
（1）如图1，若E、F分别在AC、BC边上，猜想AE2、BF2和EF2之间有何等量关系，并证明你的猜想；
（2）若E、F分别在CA、BC的延长线上，请在图2中画出相应的图形，并判断（1）中的结论是否仍然成立（不作证明）
参考答案：
1．C【详解】试题解析：∵将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形的三条边与原三角形的三条边对应成比例，
∴两三角形相似．
又∵原来的三角形是直角三角形，而相似三角形的对应角相等，
∴得到的三角形仍是直角三角形．
故选C．
2．C【分析】根据勾股定理的逆定理分别进行分析，从而得到答案．
【详解】A. ∵0.32+0.42≠0.52，∴此选项不符合题意；
B. ∵22+32≠42，∴此选项不符合题意；
C. ∵52+122=132，∴此选项符合题意；
D. ∵112+122≠132，∴此选项不符合题意．
故选C.
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理.
3．D【分析】题干中没有明确指出边长为4的边是直角边还是斜边，所以我们需要分类讨论，
（1）边长为4的边为直角边；（2）边长为4的边为斜边．
【详解】(1)边长为4的边为直角边，则第三边即为斜边，则第三边的长为=5；
(2)边长为4的边为斜边，则第三边即为直角边，则第三边的长为=.
故答案为5或 .则D正确.
【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是分情况讨论，掌握勾股定理.
4．A【详解】∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABD=24°，
∵∠A=60°，
∴∠ACB=180°﹣60°﹣24°×2=72°，
∵BC的中垂线交BC于点E，
∴BF=CF，
∴∠FCB=24°，
∴∠ACF=72°﹣24°=48°，
故选A．
5．C【详解】试题解析：∵AB⊥AC于A，BD⊥CD于D
∴∠A=∠D=90°（A正确）
又∵AC=DB，BC=BC
∴△ABC≌△DCB
∴∠ABC=∠DCB（B正确）
∴AB=CD
又∵∠AOB=∠C
∴△AOB≌△DOC
∴OA=OD（D正确）
C中OD、OB不是对应边，不相等．
故选C．
考点：1.直角三角形全等的判定；2.全等三角形的性质．
6．D【分析】由于4是三角形的直角边与斜边不能确定，故应分两种情况进行讨论．
【详解】解：由于4是三角形的直角边与斜边不能确定，故应分两种情况进行讨论：
（1）3、4都为直角边，由勾股定理得，斜边为5；
（2）3为直角边，4为斜边，由勾股定理得，直角边为．
∴第三边长的平方是25或7，
故选：D．
【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
7．C【详解】根据题意，可得图形如下图，因此可构成直角三角形，因此可得.
故选C
8．A【分析】因为，所以△ABC是直角三角形，算出面积即可。
【详解】∵，
∴△ABC是直角三角形，且5和12是两条直角边长，
∴△ABC的面积为．
故选A．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆应用，已知三边判定一个角是90°，关键是要认真计算．
9．B【分析】要求下滑的距离，显然需要分别放到两个直角三角形中，运用勾股定理求得AC和CE的长即可．
【详解】解：∵在Rt△ACB中，，
∴AC＝2米，
∵BD＝0.9米，
∴CD＝BD+BC=0.9+1.5=2.4（米），
∵在Rt△ECD中，EC2＝ED2﹣CD2＝2.52﹣2.42＝0.49，
∴EC＝0.7米，
∴AE＝AC﹣EC＝2﹣0.7＝1.3（米），故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
10．D【详解】试题分析:勾股定理：
解：，A是直角三角形；
，B是直角三角形；
，故C是直角三角形；
，故D不是直角三角形
考点： 本题考查了勾股定理
点评： 此类试题属于历年来的必考题，勾股定理及其逆定理是常见考点，也是交易的考点，把握好直角三角形的性质定理，两条直角边和斜边的公式定理即可．
11．C【详解】分两种情况：
在图①中，由勾股定理，得
；
；
∴BC＝BD＋CD＝8＋2＝10．
在图②中，由勾股定理，得
；
；
∴BC＝BD-CD＝8-2＝6．
故选C．
12．C【详解】试题分析：勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形.
，B、，D、，均不符合题意；
C、，是直角三角形的三边长，故本选项正确.
考点：本题考查的是勾股定理的逆定理
点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握勾股定理的逆定理，即可完成．
13．4【分析】首先证明BD=AD，然后再根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得CP=BD．
【详解】∵∠ACB=90°,∠ABC=60°，
∴∠A=30°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBA=30°，
∴∠A=∠DBA，
∴AD=BD=8，
∵P点是BD的中点,∠ACB=90°，
∴CP=BD=4，
故答案为4.
【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线和含30度角的直角三角形，解题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线和含30度角的直角三角形.
14．16【详解】根据勾股定理得：以斜边为边长的正方形的面积等于以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和， 即C=A+B，因为A=9，C=25，所以则以另一直角边为边长的正方形B的面积为25﹣9=16．
故答案为16．
15．45°【详解】∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵E在线段AB的垂直平分线上，
∴EA=EB，
∴∠ABE=∠A=2∠EBC，
∴∠ABC=∠ABE+∠EBC=∠A+∠A，
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴∠A+2(∠A+∠A)=180°，
∴∠A=45°，
故答案为45°.
16．4:3【分析】根据角平分线的性质，可得出△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高相等，估计三角形的面积公式，即可得出△ABD与△ACD的面积之比等于对应边之比．
【详解】∵AD是△ABC的角平分线，
∴设△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高分别为h1，h2，
∴h1=h2，
∴△ABD与△ACD的面积之比=AB：AC=4：3，
故答案为4：3．
17．能【详解】根据勾股定理可计算出长方体最大容纳长度=,
故答案为:能.
18．4.8cm【详解】如图，过点D作DF⊥BC于点F，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，
∴DF=DE.
∴S△ABC= S△ABD + S△BCD =ABDE+BCDF=(AB+BC)DE=144，
∴(36+24)DE=144，解得：DE=4.8（cm.）
19．14【分析】根据角平分线的性质得到BD=DE，求得AD+DB=AD+DE=AB=10，即可得到结论．
【详解】∵CD平分∠ACB,∠B=90°，DE⊥AC，
∴BD=DE，
∴AD+DB=AD+DE=AB=10，
∴△ADE的周长=AD+DE+AE=10+4=14.
故答案为14.
【点睛】本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质.
20．HL【分析】需证△BCD和△CBE是直角三角形，可证的依据是HL.
【详解】解: ∵BE、CD是△ABC的高，
∴，
在Rt△BCD和Rt△CBE中，BD=EC，BC=CB，
∴Rt△BCD≌Rt△CBE（HL），
故答案为：HL.
【点睛】本题考查全等三角形判定定理中的判定直角三角形全等的HL定理.
21．1【详解】由角平分线的性质定理，可得，则点P到射线OB的距离为1.
22．10或90【详解】根据题意作出图形分为高线在三角形内和高线在三角形外两种情况：
如图1，AC=5，CD=3，CD⊥AB，根据勾股定理可知：AD==4，
∴BD=1．
∴BC2=12+32=10．
如图2，AC=5，CD=3，CD⊥AB，根据勾股定理可知：AD==4，
∴BD=9，
∴BC2=92+32=90．
故答案是：10或90．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，作出图形利用三角形知识求解即可．注意：需要分类讨论．
23．折断点A离地高度4米【详解】试题分析：设出AC长度，AB用AC表示，利用勾股定理列方程，求出AC.
试题解析：
由题意可得：BC=3m，设AC=xm，则AB=（9﹣x）m，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2 ，
即x2+32=（9﹣x）2 ，
解得：x=4，
答：折断点A离地高度4米.
点睛：（1）勾股定理
直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.这就是勾股定理.
（2）勾股定理逆定理
在一个三角形中,两条边的平方和等于另一条边的平方,那么这个三角形就是直角三角形. 这就是勾股定理的逆定理.
（3）勾股定理的应用一定要在直角三角形中，如果没有直角三角形，需要构造直角三角形，才可以使用.
24．(1)详见解析;(2) ;(3)详见解析>【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证；
（2）已知两直角边，利用勾股定理求出斜边长，再利用面积法即可求出斜边上的高．
（3）已知图形面积的表达式，即可根据表达式得出图形的边长的表达式，即可画出图形．
【详解】解：（1）梯形ABCD的面积为（a+b）（a+b）=a2+ab+b2 ，
也利用表示为ab+c2+ab，
∴a2+ab+b2=ab+c2+ab，即a2+b2=c2
（2）∵直角三角形的两直角边分别为3，4，
∴斜边为5，
∵设斜边上的高为h，直角三角形的面积为×3×4=×5×h，
∴h=．
（3）∵图形面积为：（a+b）（a+2b）=a2+3ab+2b2 ，
∴边长为（a+2b）（a+b），
由此可画出的图形为：
【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理.
25．(1)详见解析;(2)详见解析【分析】（1）根据平行线的性质、平角的定义证明；
（2）根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理证明
【详解】（1）证明：已知：△ABC， 求证：∠BAC+∠B+∠C=180°，
证明：过点A作EF∥BC，
∵EF∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠C，
∵∠1+∠2+∠BAC=180°，
∴∠BAC+∠B+∠C=180°．
即知三角形内角和等于180°
（2）解：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是一个三角形一边上的中线是这边的一半，那么这个三角形是直角三角形，是真命题． 已知，如图，△ABC中，D是AB边的中点，且CD= AB
求证：△ABC是直角三角形，
证明：∵D是AB边的中点，且CD= AB，
∴AD=BD=CD，
∵AD=CD，
∴∠ACD=∠A，
∵BD=CD，
∴∠BCD=∠B，
又∵∠ACD+∠BCD+∠A+∠B=180°，
∴2（∠ACD+∠BCD）=180°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形．
【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握平行线的性质、平角的定义等腰三角形的性质、三角形内角和定理证明.
26．（1）结论：AE2+BF2=EF2 ,理由详见解析;(2) 结论不变, AE2+BF2=EF2,证明详见解析．【分析】（1）结论：AE2+BF2=EF2．如图1中，延长FD到M，使得DM=DF，连接AM，EM．首先证明△ADM≌△BDF，得到AM=FB，再证明△AEM是直角三角形，理由勾股定理即可解决问题．
（2）结论不变，证明方法类似（1）．
【详解】（1）结论：AE2+BF2=EF2 ．
理由：如图1中，延长FD到M，使得DM=DF，连接AM，EM．
在△ADM和△BDF中，
，
∴△ADM≌△BDF，
∴AM=BF，∠B=∠MAD，
∵∠C=90°，
∴∠B+∠CAB=90°，
∴∠CAB+∠MAD=90°，即∠EAM=90°，
∵∠EDF=90°，
∴ED⊥FM，∵DM=DF，
∴EM=EF，
在Rt△AEM中，∵AE2+AM2=EM2 ，
∴AE2+BF2=EF2 ．
（2）如图2中，结论不变．AE2+BF2=EF2
理由：延长FD到M，使得DM=DF，连接AM，EM．
在△ADM和△BDF中，
，
∴△ADM≌△BDF，
∴AM=BF，∠B=∠MAD，
∵∠C=90°，
∴∠B+∠CAB=90°，
∴∠CAB+∠MAD=90°，即∠EAM=∠CAM=90°，
∵∠EDF=90°，
∴ED⊥FM，∵DM=DF，
∴EM=EF，
在Rt△AEM中，∵AE2+AM2=EM2 ，
∴AE2+BF2=EF2 ．
【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线，解题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线.
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