第19章 几何证明 复习与测试（含解析）

第19章 几何证明 单元检测卷
一、单选题
1．下列说法正确的是（ ）
A．命题一定有逆命题 B．所有的定理一定有逆定理
C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题
2．下列命题的逆命题正确的是( )
A．对顶角相等 B．直角三角形两锐角互余
C．全等三角形的对应角相等 D．全等三角形的面积相等
3．如图，是等腰直角三角形，点在边上，且，则是（ ）．
A． B． C． D．
4．下列命题是真命题的是（ ）．
A．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C．相等的两个角是对顶角
D．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离
5．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ ）．
A．6、8、10 B．1、1、
C．2、6、 D．7、24、25
6．如图，是的中线，，将沿直线翻折，点落在点的位置上，如果，求的长为（ ）．
A．10 B．5 C． D．
二、填空题
7．将命题“同角的补角相等”改写成“如果……，那么……”的形式为_________________．
8．命题：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，其逆命题是_____________．
9．到定点的跑离为的点的轨迹是______．
10．如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，DE是AB的中垂线，△BDC的周长为16cm，则BC的长为______．
11．如图，已知点P是∠AOB的角平分线上的一点，且PC⊥OA，垂足为C，如果PC=4，那么点P到射线OB的距离是______．
12．如图，在中，，，AB的垂直平分线MN交AC于D点，连接BD，则的度数是________．
13．已知点、，则线段的长为______．
14．如果一个三角形的三条边长分别为、、，那么这个三角形的面积为______．
15．如图，∠A＝∠D＝90°，请添加一个条件：_____，使得△ABC≌△DCB．
16．如果等腰三角形腰上的高是腰长的一半，那么它顶角的度数是_____．
17．如图，绕定点逆时针旋转后，得到，这时点恰好落在上，则____．
三、解答题
18．如图，求作一点，使，并且点到的两边距离相等（不写作法，保留作图痕迹）．
19．如图，已知，．求证：．
20．已知的三个顶点分别是、、，试判断的形状．
21．已知：如图，在中，，边的垂直平分线与分别交于点D和点E．
（1）作出边的垂直平分线（尺规作图，保留作图痕迹）；
（2）当时，求的度数．
22．如图，AD是ABC的中线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BE＝CF，求证：AD是ABC的平分线．
23．如图，在中，，点、分别是边、的中点，点在边上．若，，，求四边形的周长．
24．如图，在中，，，，点、、分别在边、、上（点、与顶点不重合），平分，，垂足为．
（1）求证：；
（2）设，，求与之间的函数解析式；
（3）当时，求出的长．
参考答案：
1．A【分析】根据命题的定义和定理及其逆定理之间的关系，分别举出反例，再进行判断，即可得出答案．
【详解】解：A、命题一定有逆命题，故此选项符合题意；
B、定理不一定有逆定理，如：全等三角形对应角相等没有逆定理，故此选项不符合题意；
C、真命题的逆命题不一定是真命题，如：对顶角相等的逆命题是：相等的两个角是对顶角，它是假命题而不是真命题，故此选项不符合题意；
D、假命题的逆命题定不一定是假命题，如：相等的两个角是对顶角的逆命题是：对顶角相等，它是真命题，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了命题与定理，掌握好命题的真假及互逆命题的概念是解题的关键．把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，所有的命题都有逆命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题．
2．B【分析】先分别写出第个选项的逆命题，再判断其是否正确．
【详解】解：A的逆命题是：相等的角是对顶角，假命题；
B的逆命题是：两锐角互余的三角形是直角三角形，真命题；
C的逆命题是：对应角相等的三角形是全等三角形，假命题；
D的逆命题是：面积相等的三角形是全等三角形，假命题；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了学生对逆命题以及真假命题的定义的理解，要求学生对常用的基础知识牢固掌握，比较简单．
3．C【分析】根据等腰直角三角形和直角三角形的性质进行解答即可.
【详解】∵是等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ACB=45°，∠BAC=90°，
∵，
∴∠ABD=30°，
∴=∠ABC-∠ABD=15°，
故选C.
【点睛】此题考查含30度角的直角三角形，等腰直角三角形，解题关键在于掌握运算法则.
4．A【分析】利用平行线的性质、对顶角的性质及点到直线的距离的定义分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】A、经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，正确，是真命题；
B、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故错误，是假命题；
C、相等的两个角不一定是对顶角，故错误，是假命题；
D、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，故错误，是假命题；
故选A．
【点睛】此题考查命题与定理，解题的关键是了解平行线的性质、对顶角的性质及点到直线的距离的定义等知识，难度不大．
5．C【分析】分别把选项中的三边平方后，根据勾股定理逆定理即可判断能否构成直角三角形．
【详解】A、∵62+82=102，∴能构成直角三角形，故此选项错误．
B、∵12+12=（）2，∴能构成直角三角形，故此选项错误；
C、∵（）2+22≠62，∴不能构成直角三角形，故此选项正确；
D、∵72+242=252，∴能构成直角三角形，故此选项错误．
故选C．
【点睛】此题考查勾股定理逆定理．解题关键在于在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
6．C【分析】首先根据折叠的性质可得：∠ADC=∠ADC′=45°，即DC′⊥DC，且DC=DC′=BD，由此可得△BDC′是个直角边为5的等腰直角三角形，由此得解．
【详解】∵把△ABC沿直线AD折过来，点C落在点C′的位置，
∴△ADC≌△ADC′，
∴∠ADC=∠ADC′=45°，DC=DC′=BD，
∴△BDC′是等腰直角三角形，且直角边为5，
那么斜边BC′=．
故选C．
【点睛】此题考查图形的翻折变换，能够判断出△BDC′的形状是解题的关键．
7．如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等.【分析】每一个命题都是基于条件的一个判断，只要把条件部分和判断部分分开即可.
【详解】解：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等，
故答案为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等.
8．如果三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.【分析】命题都是由条件和结论两部分组成，逆命题是把原命题的条件和结论对调即可，先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题．
【详解】解：因为原命题的题设是“一个三角形是直角三角形”，结论是“两条直角边的平方和等于斜边的平方”，
所以“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”的逆命题是“如果三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形”．
【点睛】对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．
9．以点为圆心，为半径的圆【分析】根据到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆，据此即可解答．
【详解】到定点A的距离为9cm的点的轨迹是：以A为圆心，以9cm为半径的圆．
故答案是：以A为圆心，以9cm为半径的圆．
【点睛】此题考查点的轨迹，正确理解圆的定义是解题关键．
10．6【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=BD，然后推出△BDC的周长=AC+BC，代入数据进行计算即可得解．
【详解】∵DE是AB的中垂线，
∴AD=BD，
∴△BDC的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC，
∵△BDC的周长为16cm，AC=10cm，
∴10+BC=16，
解得BC=6．
故答案为6．
【点睛】此题考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
11．4【分析】过点P作PD⊥OB于D，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PD=PC．
【详解】如图，过点P作PD⊥OB于D，
∵点P是∠AOB的角平分线上的一点，PC⊥OA，
∴PD=PC=4．
故答案为4．
【点睛】此题考查角平分线的性质，熟记性质是解题的关键．
12．15°【分析】根据等腰三角形两底角相等，求出∠ABC的度数，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得AD=BD，根据等边对等角的性质，可得∠ABD=∠A，然后求∠DBC的度数即可．
【详解】∵AB=AC，∠A=50 ，
∴ ∠ABC=(180 ∠A)=(180 50 )=65 ，
∵MN垂直平分线AB，
∴AD=BD，
∴ ∠ABD=∠A=50 ，
∴ ∠DBC=∠ABC ∠ABD=65 50 =15 .
故答案为:15 .
【点睛】考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键.
13．10【分析】直接利用两点间的距离公式计算即可．
【详解】线段PQ的长= =10．
故答案为10．
【点睛】此题考查坐标与图形性质，利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系．解题的关键是记住两点间的距离公式．
14．30【分析】首先根据勾股定理逆定理证明三角形是直角三角形，然后在计算三角形的面积．
【详解】∵52+122=132，
∴此三角形是直角三角形，
∴×5×12=30，
故答案为30．
【点睛】此题考查勾股定理逆定理，解题关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
15．∠ABC＝∠DCB．【分析】有一个直角∠A＝∠D＝90°相等，有一个公共边相等，可以加角，还可以加边，都行，这里我们选择加角∠ABC＝∠DCB
【详解】解：因为∠A＝∠D＝90°，BC=CB，∠ABC＝∠DCB，所以△ABC≌△DCB，故条件成立
【点睛】本题主要考查三角形全等
16．30°或150°．【分析】利用等腰三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质，分三角形是锐角三角形和钝角三角形，两种情况，即可求解．
【详解】解：①如图，△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB且CD＝AB，
∵△ABC中，CD⊥AB且CD＝AB，AB＝AC，
∴CD＝AC，
∴∠A＝30°．
②如图，△ABC中，AB＝AC，CD⊥BA的延长线于点D，且CD＝AB，
∵∠CDA＝90°，CD＝AB，AB＝AC，
∴CD＝AC，
∴∠DAC＝30°，
∴∠A＝150°．
故答案为30°或150°．
【点睛】本题考查含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质，注意要分三角形是锐角三角形和钝角三角形两种情况.
17．30【分析】根据旋转的性质得∠EAC=30°，∠E=∠C，然后根据三角形内角和可得到∠EDC=∠EAC=30°．
【详解】∵△ABC绕点A逆时针旋转50°得到△ADE，其中点D恰好落在BC边上，
∴∠EAC=30°，∠E=∠C，∠AOE=∠DOC（对顶角）
∴∠EDC=∠EAC=30°，
故答案为30°．
【点睛】此题考查旋转的性质，解题关键在于掌握对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等．
18．见解析【分析】作∠AOB的平分线OM，作线段CD的垂直平分线EF，直线OM交EF于点P，点P即为所求．
【详解】解：如图，点P即为所求．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
19．详见解析【分析】先连接，根据等腰三角形的现在，即可解答．
【详解】连接，
∵，
∴△DBC为等腰三角形，
∴．
∵，
∴．
∴．
【点睛】此题考查等腰三角形的判定与性质，解题关键在于需要熟练掌握判定定理．
20．是等腰直角三角形，理由详见解析【分析】分别利用勾股定理计算：AB，AC,BC，即可判断出结论．
【详解】，
，
，得．
∵，，∴．得．
∴是等腰直角三角形．
【点睛】此题考查勾股定理的逆定理，解题关键在于掌握推理能力与计算能力，属于基础题．
21．（1）如图所示，见解析；（2）．【分析】（1）利用线段垂直平分线的作法得出即可；
（2）连接CE，利用垂直平分线的性质证明出，再通过计算∠ACB的角度得出∠A的度数．
【详解】（1）如图所示，即为所求作的边的垂直平分线；

（2）如图，连接，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
则，
在中，，
∴，
解得，
即．
【点睛】本题考查了垂直平分线的作法和性质，等腰三角形等边对等角，以及三角形内角之间的关系，熟练掌握这些知识是解题的关键．
22．见解析【分析】要证AD平分∠BAC，只需证明△EBD≌△FCD，得到DE＝DF，利用角平分线的性质的逆定理即可解答．
【详解】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD．
在Rt△EBD和Rt△FCD中，
∴Rt△EBD≌Rt△FCD（HL）．
∴DE＝DF，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴AD是∠BAC的平分线．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法以及角平分线的有关性质．
23．【分析】先由SSS证明△ADE≌△ADF，得出∠DAE=∠DAF，即AD平分∠BAC，再由等腰三角形的三线合一性质得出BD=CD=BC=3，AD⊥BC，根据勾股定理求出AB，由直角三角形斜边上的中线性质得出DE=AB，DF=AC，证出AE=AF=DE=DF，即可求出结果．
【详解】∵点E，F分别是边AB，AC的中点，
∴AE=BE=AB，AF=CF=AC，
∵AB=AC，
∴AE=AF，
在△ADE和△ADF中，
，
∴△ADE≌△ADF（SSS），
∴∠DAE=∠DAF，
即AD平分∠BAC，
∴BD=CD=BC=3，AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴，
∵在Rt△ABD和Rt△ACD中，E，F分别是边AB，AC的中点，
∴DE=AB，DF=AC，
∴AE=AF=DE=DF，
∴四边形AEDF的周长=4AE=2AB=．
【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
24．（1）详见解析；（2）y=9+x（0＜x＜6）．（3）BF的长为10．【分析】（1）求出∠CAB、∠DAB，推出∠DAB=∠B即可；
（2）求出AE=6-x，AF=AE＝ (6 x)，根据勾股定理求出AB，即可求出答案；
（3）求出DE=2x，求出AE=DE=6-x，得到方程，求出方程的解，即可求出答案．
【详解】（1）证明：在△ABC中，∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
又∵AD平分∠CAB，
∴∠DAB=∠DAC=∠CAB=30°，
∴∠DAB=∠B，
∴AD=DB．
（2）解：在△AEF中，∵∠AFE=90°，∠EAF=60°，
∴∠AEF=30°，
∴AE=AC-EC=6-x，AF=AE＝ (6 x)，
在Rt△ABC中，∵∠B=30°，AC=6，
∴AB=12，
∴BF=AB-AF=12- (6 x)＝9+x，
∴y=9+x，
答：y关于x的函数解析式是y=9+x（0＜x＜6）．
（3）解：当∠DEF=90°时，∠CED=180°-∠AEF-∠FED=60°，
∴∠EDC=30°，ED=2x，
∵∠C=90°，∠DAC=30°，
∴∠ADC=60°，
∴∠EDA=60°-30°=30°=∠DAE，
∴ED=AE=6-x．
∴有2x=6-x，得x=2，
此时，y=9+×2=10，
答：BF的长为10．
【点睛】此题考查等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，勾股定理，三角形的角平分线性质，含30度角的直角三角形，综合运用这些性质进行推理是解题的关键．