2022年秋沪教版（上海）数学八年级上学期 期末综合训练（含解析）

期末测试卷
一、单选题
1．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
2．下列方程中，没有实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知三点、和都在反比例函数的图像上，若，则m、n和t的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．三角形的外角大于三角形的任何一个内角
B．线段的垂直平分线上的任一点与该线段两个端点能构成等腰三角形
C．三角形一边的两个端点到这边上的中线所在的直线的距离相等
D．面积都相等的两个三角形一定全等
5．在中，，，，AD平分交BC于点D，那么点D到AB的距离是（ ）
A．4.8 B．4 C．3 D．
6．在中，、、的对应边分别是a、b、c，下列条件中不能说明是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
7．计算：_____．
8．函数的定义域是_________．
9．已知函数，则__________．
10．在实数范围内因式分解 _____________.
11．平面上经过A、B两点的圆的圆心的轨迹是_____．
12．命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是_________．
13．若关于x 的方程kx2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为_______．
14．直角坐标平面内的两点、的距离为__________．
15．边长为6的等边三角形的面积是__________．
16．小明的叔叔家承包了一个长方形的鱼池，这个长方形鱼池的面积为40平方米，其对角线长为10米．为建栅栏，那么这个长方形鱼池的周长是__________米．
17．如图，在中，，于点D，如果，，那么__________．
18．如图，已知正方形ABCD的面积为4，正方形FHIJ的面积为3，点D、C、G、J、I在同一水平面上，则正方形BEFG的面积为__________．
三、解答题
19．计算：．
20．解方程：x2﹣2x﹣4＝0．
21．已知y＝y1+y2，y1与x﹣2成反比例，y2与x+2成正比例，并且当x＝1时，y＝3；当x＝3时，y＝13．求：y关于x的函数解析式．
22．作图：已知和线段r，请在内部作点P，使得点P到AC和BC的距离相等，并且点A到点P的距离等于定长r．（不写作法，保留痕迹）
23．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，边AB的垂直平分线交边BC于点E，垂足为点D，取线段BE的中点F，联结DF．求证：AC＝DF．（说明：此题的证明过程需要批注理由）
24．如图，在△ABC中，AB＝7，BC＝8，AC＝5，求：△ABC的面积和∠C的度数．
25．如图，已知直线OA与反比例函数的图像在第一象限交于点A．若，直线OA与x轴的夹角为60°．
（1）求点A的坐标；
（2）求反比例函数的解析式；
（3）若点P是坐标轴上的一点，当是直角三角形时，直接写出点P的坐标．
26．如图，在中，，，，点P是AB上的动点，联结CP，并以CP为边作等边（点E在线段CP上方），M是线段AB的中点，联结EM．
（1）请猜想：线段EM与PB的数量关系？线段EM与CB的位置关系？
（2）请证明上题中你的猜想；
（3）请猜想：点P在BM上移动时，四边形ECPM的面积是否发生变化？并加以说明．
参考答案：
1．D【分析】根据最简二次根式的定义进行化简即可．
【详解】解：A．=2，故该选项不符合题意；
B．=，故该选项不符合题意；
C．=，故该选项不符合题意；
D．是最简二次根式，故该选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
2．B【分析】利用根的判别式逐项判断即可．
【详解】A．，所以原方程有两个不相等的实数根，故A不符合题意．
B．，所以原方程没有实数根，故B符合题意．
C．，所以原方程有一个实数根，故C不符合题意．
D．，所以原方程有两个不相等的实数根，故D不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查判断一元二次方程根的情况．熟记判别式公式是解答本题的关键．
3．C【分析】反比例函数的图象分布在第一、三象限，根据图象每个分支的增减性解题即可．
【详解】反比例函数图象分布在第一、三象限，
且在每个分支，y随x的增大而减小，
，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数图象的增减性，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
4．C【分析】A、B、D均可举反例说明错误，C选项可构造图形证明．
【详解】解：A.钝角三角形与钝角相邻的外角小于该角，原命题是假命题，故该选项不符合题意；
B.如果该点在线段上，那么不能构成等腰三角形，原命题是假命题，故该选项不符合题意；
C.当该中线为等腰三角形底边上的中线时，根据三线合一即可得出这两个端点到这边上的中线所在的直线的距离相等，
当三角形不是等腰三角形或中线不是等腰三角形底边上的中线时，
如图所示，AD为△ABC的中线，BF⊥AD，CE⊥AD，
∵AD为△ABC的中线，
∴BD=CD，
∵BF⊥AD，CE⊥AD，
∴∠BFD=∠CED=90°，
∵∠ADB=∠EDC，
∴△BDF≌△CDE（AAS），
∴BF=CE，
综上，三角形一边的两个端点到这边上的中线所在的直线的距离相等，原命题是真命题，故该选项符合题意；
D.如果是一个钝角三角形和锐角三角形，某边相等且该边上的高相等，但它们不全等，原命题是假命题，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查判断命题的真假，主要考查三角形外角的性质，等腰三角形的性质和判定，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质．说明一个命题是假命题只需要举一个反例，判断一个命题是真命题需要证明它．
5．C【分析】如图，过作于，先证明：再证明：，再利用面积比证明：，再求解，即可得到答案．
【详解】解：如图，过作于，
AD平分，
故选：
【点睛】本题考查的是勾股定理逆定理的应用，角平分线的性质，掌握以上知识是解题的关键．
6．C【分析】根据直角三角形的定义和勾股定理逆定理逐项判断即可．
【详解】A．，即，根据勾股定理逆定理可知是直角三角形，故A不符合题意．
B．根据三角形内角和与，得出，即，所以是直角三角形，故B不符合题意．
C．设，则，，根据三角形内角和，即，解得，即、、．所以不是直角三角形，故C符合题意．
D．设，则，，由可知，根据勾股定理逆定理可知是直角三角形，故D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查直角三角形的判定，利用勾股定理逆定理判断是否为直角三角形是解题的关键．
7．【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式即可．
【详解】．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简以及同类二次根式的合并，掌握二次根式的化简以及同类二次根式的合并方法是解题关键．
8．【分析】根据二次根式的被开方数非负且分母不等于0列出不等式即可得解．
【详解】解：由题意得，
则
故答案为：
【点睛】本题考查了函数的定义域，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
9．【分析】二次根式的混合运算，将x=代入原式求值计算，注意计算顺序，先算乘除，然后算加减．
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，注意计算顺序，先算乘除，然后算加减．
10．【分析】当要求在实数范围内进行因式分解时，分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．2x2+4x-3不是完全平方式，所以只能用求根公式法分解因式．
【详解】2x2+4x-3=0的解是x1=，x2=-，
所以可分解为2x2+4x-3=2（x-）（x-）．
即: 2x2+4x-3=.
故答案为:.
【点睛】本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．
求根公式法分解因式：ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2），其中x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两个根．
11．线段AB的垂直平分线【分析】要求作经过已知点A和点B的圆的圆心，则圆心应满足到点A和点B的距离相等，从而根据线段的垂直平分线性质即可求解．
【详解】解：根据同圆的半径相等，则圆心应满足到点A和点B的距离相等，即经过已知点A和点B的圆的圆心的轨迹是线段AB的垂直平分线．
故答案为：线段AB的垂直平分线．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质．掌握线段垂直平分线上的点到该线段两端点的距离相等是解题关键．
12．有两个角相等的三角形是等腰三角形；【分析】先找到原命题的题设和结论，在将题设和结论互换，即可得到答案．
【详解】解：原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是：“这个三角形两底角相等”，
所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“有两个角相等的三角形是等腰三角形”．
【点睛】本题考查命题的转化，准确找到命题的题设和结论进行转化是解题的关键．
13．且【分析】根据一元二次方程的定义、根的判别式即可得．
【详解】解：关于的方程有两个不相等的实数根，
方程根的判别式，且，
解得且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义、根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．
14．10【分析】根据两点间的距离公式直接计算即可．
【详解】由两点间的距离公式可得：，
故答案为：10．
【点睛】本题考查两点间的距离公式，理解公式并熟练运用是解题关键．
15．【分析】作出相应图形中，作，由三线合一性质解得DC=3，继而根据勾股定解得AD的长，最后根据三角形面积公式解题．
【详解】如图，在中，作，
故答案为：．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、三线合一性质、勾股定理、三角形面积公式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
16．【分析】根据长方形的面积公式得到长与宽的积，再根据勾股定理得到长与宽的平方和．联立解方程组求得长与宽的和可．
【详解】解：设长方形的长是a，宽是b，
根据题意，得：
（2）+（1）×2，得，
即a+b=，
所以长方形的周长是×2=m．
【点睛】注意根据题意结合勾股定理联立解方程组，只需求得长与宽的和即可．熟练掌握掌握长方形的面积计算公式和勾股定理是解题的关键．
17．9【分析】证明△ACD和△CBD相似得到对应线段成比例，根据勾股定理求出CD的长，再把AD、CD的值代入比例式中，即可求出结论；
【详解】解：∵CD⊥AB，
∴∠CDA=∠CDB=90°，
∴∠ACD+∠A=90°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠DCB=90°,
∴∠DCB=∠A
在△ACD和△CBD中，
∴△ACD∽△CBD
∴
∵AC=6，AD=3，
∴由勾股定理得，CD==3，
∴
∴BD=9
故答案为：9．
【点睛】本题考查三角形相似性质和判定、勾股定理等知识点，熟练运用相似的判定定理，判定三角形相似是解题的关键．
18．7【分析】由正方形的性质及“一线三等角“得出条件，判定△BCG≌△GJF（AAS），则BC=GJ，根据正方形ABCD的面积为4，正方形FHIJ的面积为3，以及勾股定理可得答案．
【详解】解：∵∠BGC+∠FGJ=90°，∠GFJ+∠FGJ =90°
∴∠BGC =∠GFJ
∵∠BCG=∠GJF，BG=GF
∴△BCG≌△GJF
∴CG=FJ，BC=GJ，
∴BG2=BC2+CG2=BC2+FJ2
∴正方形DEFG的面积=正方形ABCD的面积+正方形FHIJ的面积=4+3=7．
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查了勾股定理在几何图形中的应用，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
19．．【分析】先去括号和分母，再进行二次根式的加减运算即可．
【详解】原式
．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，正确化简二次根式是计算本题的关键．
20．x1＝+3，x2＝﹣3【分析】先找出各项系数，求出判别式，根据一元二次方程的求根公式计算即可．
【详解】解：a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4，
Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣4）＝36＞0，
方程有两个不等的实数根，x＝，
即x1＝+3，x2＝﹣3．
【点睛】本题考查用公式法求解一元二次方程，熟练掌握根据方程的特点，选择恰当解法是解题的关键．
21．y＝+2x+4【分析】设y1＝，y2＝b（x+2），由y＝y1+y2，可得y＝+b（x+2），把x＝1，y＝3和x＝3，y＝13代入得出方程组，求出方程组的解即可．
【详解】解：设y1＝，y2＝b（x+2），
∵y＝y1+y2，
∴y＝+b（x+2），
把x＝1，y＝3和x＝3，y＝13代入得：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式是：y＝+2x+4．
【点睛】本题主要考查了反比例函数和正比例函数的图象和性质，利用待定系数解答是解题的关键．
22．图见解析．【分析】根据题意点P到AC和BC的距离相等，可知点P在的角平分线上，点A到点P的距离等于定长r，可知点P在以点A为圆心，以定长r为半径的圆上，由此作图即可．
【详解】如图，先作的角平分线，再以点A为圆心，以定长r为半径作圆弧，圆弧与角平分线的交点即为点P．
【点睛】本题主要考查角平分线的画法，属于基础题，需要有一定的画图能力，熟练掌握角平分线的画法是解题的关键．
23．见解析【详解】先根据线段垂直平分线的性质得：AE＝BE，再利用直角三角形斜边中线的性质得：DF与BE的关系，最后根据直角三角形30度的性质得AC和AE的关系，从而得出结论．
【解答】证明：连接AE，
∵DE是AB的垂直平分线（已知），
∴AE＝BE，∠EDB＝90°（线段垂直平分线的性质），
∴∠EAB＝∠EBA＝15°（等边对等角），
∴∠AEC＝30°（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
Rt△EDB中，
∵F是BE的中点（已知），
∴DF＝BE（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
Rt△ACE中，∵∠AEC＝30°（已知），
∴AC＝AE（直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半），
∴AC＝DF（等量代换）．
【点睛】本题考查中垂线的性质，直角三角形斜边中线的性质，直角三角形30°角所对的边与斜边之间的关系，能够熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键．
24．面积为，∠C＝60°【分析】作AD⊥BC于D，取的中点，连接，利用勾股定理构建方程求出x，即可求出AD，证明是等边三角形，即可求得，进而解答即可．
【详解】解：作AD⊥BC于D，取的中点，连接
设CD＝x，则BD＝8﹣x，
由勾股定理可得：，
解得：x＝2.5，
即CD＝2.5，
，
是的中点，
，
是等边三角形，
∴．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，等边三角形的性质与判定，掌握勾股定理是解题的关键．
25．（1） （2） （3）或或或【分析】（1）作AD⊥x轴于点D，根据30°角所对的直角边是斜边的一半得出OD=，再根据勾股定理得出AD，即可得A的坐标；
（2）把点A的坐标代入反比例函数即可得出答案；
（3）分点P在x轴上和y轴上两种情况，再分别分∠OPA=90°或∠OAP=90°两种情况考虑即可．
【详解】解：（1）作AD⊥x轴于点D，则，
∵，∴，
∴OD=，
∴，
∴点A的坐标为；
（2）∵点A在的图像上，
∴，
∴反比例函数的解析式为：；
（3）点P在x轴上时，
①∠OPA=90°时，点P与点D重合，OP=OD=2，
∴点P坐标为(2，0)；
②∠OAP=90°时，设P（x，0），
∵，
∴，
∴x=8，
∴点P坐标为(8，0)；
点P在y轴上时，
①∠OPA=90°时，OP=AD=，
∴点P坐标为(0，)，
②∠OAP=90°时，设P（0，y），
∵，
∴，
∴，
∴点P坐标为．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，函数图象上点的坐标特征，两点间的距离公式．难度适中．
26．（1）；；（2）见解析；（3）面积不变；见解析【分析】（1）连接CM，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质可得CM=CB，然后根据题意运用SAS定理证明△ECM≌△PCB，从而求得EM与PB的数量及位置关系；
（2）利用（1）中的思路进行推理证明；
（3）结合全等三角形的的性质可得△ECM与△PCB面积相等，从而四边形ECPM的面积即△MCB的面积，根据题意可求其面积为定值，从而得出结论
【详解】解：（1）；
（2）连接CM
∵在中，，，M是线段AB的中点
∴CM=，∠B=60°
∴△CBM是等边三角形
∴CM=CB，∠MCB=60°
又∵以CP为边作等边
∴CE=CP，∠ECP=60°
∴∠ECM+∠MCP=∠PCB+∠MCP
∴∠ECM =∠PCB
在△ECM和△PCB中
∴△ECM≌△PCB
∴EM=PB，∠EMC=∠B=60°
又∵∠MCB=60°
∴∠EMC=∠MCB
∴
（3）过点M作MN⊥BC
由（2）已证△MCB为等边三角形
∴MB=BC=2
∵MN⊥BC
∴∠BMN=
∴BN=
∴在Rt△MCB中，
∴
又∵△ECM≌△PCB
∴点P在BM上移动时，
即四边形ECPM的面积不会发生变化．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线及含30°的直角三角形的性质，题目难度不大有一定的综合性，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键．