2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系 课时作业（含解析）

2．1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系
必备知识基础练
1．用配方法解方程x2＋4x＋1＝0，配方后的方程是(　　)
A．(x＋2)2＝3 B．(x－2)2＝3
C．(x－2)2＝5 D．(x＋2)2＝5
2．关于x的一元二次方程ax2－4x－1＝0有实数根，则a满足(　　)
A．a≥－4且a≠0 B．a＞4且a≠0
C．a≥4 D．a≠0
3．已知m，n是方程2x2－x－2＝0的两个实数根，则＋的值为(　　)
A．－1 B．
C．－ D．1
4．已知关于x的方程x2－mx＋m－1＝0的两根为x1，x2，且x＋x＝5，则m＝________．
5．若x1，x2是一元二次方程x2＋3x－5＝0的两个实数根，则xx2＋x1x的值是________．
6．已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋3)x＋2(k＋1)＝0 (k≠－).
(1)判断该一元二次方程根的情况；
(2)已知该一元二次方程的一根为－2，求k的值．
关键能力综合练
7．下列一元二次方程的解集为空集的是(　　)
A．x2＋2x＋1＝0 B．x2＋2x＋2＝0
C．x2－1＝0 D．x2－2x－1＝0
8．(多选)关于x的方程x2－ax＋2a＝0的两根的平方和为45，则a的值可能为(　　)
A．－9 B．－5
C．5 D．9
9．方程x－3＋2＝0的解集为(　　)
A．{，} B．{2，1}
C．{4，1} D．{，1}
10．(多选)关于x的方程mx2－4x－m＋5＝0，以下说法正确的是(　　)
A．当m＝0时，方程只有一个实数根
B．当m＝1时，方程有两个相等的实数根
C．当m＝－1时，方程没有实数根
D．当m＝2时，方程有两个不相等的实数根
11．关于x的一元二次方程x2＋2(m－1)x＋m2＝0的两个实数根分别是x1，x2且x1＋x2>0，x1x2>0，则m的取值范围是________．
12．已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋2k－4＝0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若x1，x2是该方程的两个根，且(x1－x2)2的值为12，求k的值．
核心素养升级练
13．在解方程x2＋px＋q＝0时，甲同学看错了p，解得方程的根为x1＝1，x2＝－3；乙同学看错了q，解得方程的根为x1＝4，x2＝－2，则方程中的p＝________，q＝________．
14．已知关于x的方程mx2－(m－1)x－1＝0.
(1)求证：对于任意实数m，方程总有实数根；
(2)若x1，x2是原方程的两根，且＋＝2x1x2＋1，求m的值．
2．1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系
必备知识基础练
1．解析：因为x2＋4x＋1＝(x＋2)2－3＝0，所以(x＋2)2＝3.
答案：A
2．解析：因为关于x的一元二次方程ax2－4x－1＝0有实数根，
则，解得a≥－4且a≠0.
答案：A
3．解析：由m，n是方程2x2－x－2＝0的两个实数根，则m＋n＝，mn＝－1，所以＋＝＝＝－.
答案：C
4．解析：根据根与系数的关系可得x1＋x2＝m，x1x2＝m－1，x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝m2－2m＋2＝5，解得m＝－1或m＝3，经检验m＝－1或m＝3都符合题意．
答案：－1或3
5．解析：由一元二次方程根与系数的关系，
根据题意，得x1＋x2＝－3，x1x2＝－5，
所以xx2＋x1x＝x1x2(x1＋x2)＝(－5)×(－3)＝15.
答案：15
6．解析：(1)因为Δ＝[－(2k＋3)]2－4×2(k＋1)
＝4k2＋12k＋9－8k－8
＝4k2＋4k＋1＝(2k＋1)2.
因为k≠－，所以Δ>0，
所以该方程有两个不相等的实数根．
(2)把x＝－2代入原方程，得(－2)2－(2k＋3)×(－2)＋2(k＋1)＝0，解得k＝－2.
关键能力综合练
7．解析：对于选项A：因为Δ＝22－4×1×1＝0，所以方程有两个相等的实数根，选项A不合题意；
对于选项B：Δ＝22－4×1×2<0 ，所以方程没有实数根，选项B符合题意；
对于选项C：因为方程有两个不相等的实数根x＝±1，选项C不符合题意；
对于选项D：因为Δ＝(－2)2－4×1×(－1)>0，方程有两个不相等的实数根，选项D不合题意．
答案：B
8．解析：设方程的两根为x1，x2，
由题意，得x＋x＝45.
所以(x1＋x2)2－2x1x2＝45.
因为x1＋x2＝a，x1x2＝2a，
所以a2－2×2a＝45.
解得a1＝－5，a2＝9.
又因为Δ＝a2－8a，
当a＝－5时，Δ>0，此时方程有两实数根．
当a＝9时，Δ>0，此时方程有两实数根．
答案：BD
9．解析：设＝y，则y≥0，且原方程可变为y2－3y＋2＝0，因此可得y＝2或y＝1，从而＝2或＝1，所以原方程的解集为{4，1}．
答案：C
10．解析：当m＝0时，方程化为－4x＋5＝0，解得x＝，此时方程只有一个实数根，A正确；
当m＝1时，方程化为x2－4x＋4＝0，因为Δ＝(－4)2－4×1×4＝0，所以此时方程有两个相等的实数根，B正确；
当m＝－1时，方程化为－x2－4x＋6＝0，因为Δ＝(－4)2－4×(－1)×6＝40>0，所以此时方程有两个不相等的实数根，C错误；
当m＝2时，方程化为2x2－4x＋3＝0，因为Δ＝(－4)2－4×2×3＝－8<0，所以此时方程无实数根，D错误．
答案：AB
11．解析：因为一元二次方程x2＋2(m－1)x＋m2＝0有实数根，
所以Δ＝b2－4ac＝4(m－1)2－4m2＝4－8m≥0，解得m≤，
又因为x1＋x2＝－2(m－1)>0，解得m<1，
因为x1x2＝m2>0，解得m≠0.
综上所述，m的取值范围是m≤且m≠0.
答案：(－∞，0)∪(0，]
12．解析：(1)由题意可得Δ＝4－4(2k－4)>0，
解得k<，即k的取值范围为(－∞，).
(2)∵x1，x2为该方程的两个实数根，
∴x1＋x2＝－2，x1x2＝2k－4，
∵(x1－x2)2＝12，
∴(x1＋x2)2－4x1x2＝12，
∴4－4(2k－4)＝12，解得k＝1.
∵k<，∴k＝1符合题意．
核心素养升级练
13．解析：p＝－[4＋(－2)]＝－2；q＝1·(－3)＝－3.
答案：－2　－3
14．解析：(1)证明：当m＝0时，方程化为x－1＝0，即x＝1，方程有一个实根；
当m≠0时，Δ＝[－(m－1)]2－4m×(－1)＝(m＋1)2≥0，方程有两个实根．
综上，对于任意实数m，方程总有实数根．
(2)因为x1，x2是方程mx2－(m－1)x－1＝0的两根，所以x1＋x2＝，x1x2＝－.
又因为＋＝2x1x2＋1，
所以＝2x1x2＋1，
所以＝2×＋1，
整理得m2＋m－1＝0，
解得m＝或m＝.
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