2.1.1等式的性质与方程的解集 课时作业（含解析）

2．1.1　等式的性质与方程的解集
必备知识基础练
1．(多选)下列由等式的性质进行的变形，正确的是(　　)
A．如果a＝3，那么＝
B．如果a＝3，那么a2＝9
C．如果a＝3，那么a2＝3a
D．如果a2＝3a，那么a＝3
2．下列分解因式错误的是(　　)
A．a2－5a＋6＝(a－2)(a－3)
B．1－4m2＋4m＝(1－2m)2
C．－4x2＋y2＝－(2x＋y)(2x－y)
D．3ab＋a2b2＋9＝(3＋ab)2
3．方程x2＋2x－3＝0的解集为(　　)
A．{－1，3} B．{1，－3}
C．{－1，－3} D．{1，3}
4．要在二次三项式x2＋(　　)x－6的括号中填上一个整数，使它能按公式x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)分解因式，那么括号中的数可以是________.
5．关于x的一元二次方程(m－2)x2＋x＋m2－4＝0有一个根为0，则m的值应为________．
6．把下列各式分解因式：
(1)x2－4mx－8mn－4n2；
(2)x2－y2＋4x＋6y－5；
(3)x3－11x2＋31x－21；
(4)x3－4xy2－2x2y＋8y3.
关键能力综合练
7．(多选)下列解方程过程中，错误的是(　　)
A．将10－2(3x－1)＝8x＋5去括号，得10－6x＋1＝8x＋5
B．由＋＝1，得＋＝100
C．由－x＝3，得x＝－
D．将3－＝去分母，得3－3(5x－1)＝2(x＋2)
8．(多选)下列式子中变形正确的是(　　)
A．若3x－1＝2x＋1，则x＝0
B．若ac＝bc，则a＝b
C．若＝，则＝
D．若＝，则y＝x
9．如果x＝y，a为有理数，那么下列等式不一定成立的是(　　)
A．1－y＝1－x B．x2＝y2
C．＝D．ax＝ay
10．整式－(an＋1)(an－1)＋(an)2(n∈N)化简的结果是(　　)
A．1 B．0
C．－1 D．±1
11．若m＋n＝5，m－n＝2，则m2－n2的值为________，m3－n3＝________．
12．已知：a，b，c为△ABC的三边长，
(1)当a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc时，试判断△ABC的形状，并证明你的结论．
(2)判断代数式a2－b2＋c2－2ac值的符号．
核心素养升级练
13．解下列一元二次方程：
(1)x2－(m2＋m)x＋m3＝0(m为常数)；
(2)x2－x－a2＋a＝0(a为常数)；
(3)x2－(k＋3)x＋3k＝0 (k为常数).
14．关于x的方程mx＋4＝3x－n，分别求m，n为何值时，原方程的解集为：(1)单元素集；(2)R；(3) .
2．1.1　等式的性质与方程的解集
必备知识基础练
1．解析：如果a＝3，那么＝，A正确；
如果a＝3，那么a2＝9，B正确；
如果a＝3，那么a2＝3a，C正确；
如果a＝0，两边都除以a，无意义，如果a≠0，那么a＝3.故D错误．
答案：ABC
2．解析：A选项根据十字相乘分解因式可知正确；
B选项中的1＋4m2－4m＝(1－2m)2，左右两边不相等，所以B是错的；
C选项根据平方差公式可知正确；
D选项根据完全平方公式可知正确．
答案：B
3．解析：因为x2＋2x－3＝0，所以(x－1)(x＋3)＝0，x1＝1，x2＝－3.
答案：B
4．解析：－6可以分成－2×3，2×(－3)，－1×6，1×(－6)，所以括号内填上的整数应该是－6的两个因数的和，即1，－1，5，－5.
答案：1，－1，5，－5
5．解析：因为关于x的一元二次方程(m－2)x2＋x＋m2－4＝0有一个根为0，
所以m2－4＝0且m－2≠0，
解得m＝－2.
答案：－2
6．解析：(1)原式＝(x2－4n2)－4m(x＋2n)＝(x＋2n)(x－2n)－4m(x＋2n)＝(x＋2n)(x－2n－4m).
(2)原式＝(x2＋4x＋4)－(y2－6y＋9)＝(x＋2)2－(y－3)2＝(x＋y－1)(x－y＋5).
(3)原式＝x3－7x2－4x2＋28x＋3x－21＝x2(x－7)－4x(x－7)＋3(x－7)＝(x－7)(x2－4x＋3)＝(x－7)(x－1)(x－3).
(4)方法一　原式＝x3＋8y3－2xy(x＋2y)
＝(x＋2y)(x2－2xy＋4y2)－2xy(x＋2y)＝(x＋2y)(x2－4xy＋4y2)＝(x＋2y)(x－2y)2.
方法二　原式＝(x3－2x2y)＋(－4xy2＋8y3)＝x2(x－2y)－4y2(x－2y)＝(x－2y)(x2－4y2)＝(x＋2y)(x－2y)2.
关键能力综合练
7．解析：对于A项，将10－2(3x－1)＝8x＋5去括号，得10－6x＋2＝8x＋5，故A错误；
对于B项，由＋＝1，得＋＝1，故B错误；
对于C项，由－x＝3，得x＝－，故C正确；
对于D项，将3－＝去分母，得18－3(5x－1)＝2(x＋2)，故D错误．
答案：ABD
8．解析：对于A选项，两边同时减(2x－1)，得到x＝2，故A不正确；对于B选项，没有说明c≠0，故B不正确；对于C选项，在等式两边同时乘以a(a≠0)，得到＝，故C正确；对于D选项，在等式两边同时乘以5得到y＝x，故D正确．
答案：CD
9．解析：A.因为x＝y，所以－x＝－y.所以－x＋1＝－y＋1，即1－y＝1－x，故A一定成立，与要求不符；
B．如果x＝y，则x2＝y2，故B一定成立，与要求不符；
C．当a＝0时，＝无意义，故C不一定成立，与要求相符；
D．由等式的性质可知：ax＝ay，故D一定成立，与要求不符．
答案：C
10．解析：－(an＋1)(an－1)＋(an)2＝－(a2n－1)＋a2n＝－a2n＋1＋a2n＝1.
答案：A
11．解析：m2－n2＝(m＋n)(m－n)＝5×2＝10，
由m＋n＝5平方得m2＋n2＋2mn＝25　①，
由m－n＝2平方得m2＋n2－2mn＝4　②，
①－②得mn＝，
故m3－n3＝(m－n)(m2＋mn＋n2)
＝(m－n)[(m＋n)2－mn]
＝2×(25－)
＝2×＝.
答案：10　
12．解析：(1)△ABC为等边三角形
证明：因为a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ac，
所以2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac＝0，
所以(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝0，
所以a＝b，b＝c，a＝c，△ABC为等边三角形．
(2)a2－b2＋c2－2ac＝(a2－2ac＋c2)－b2＝(a－c)2－b2＝(a－c＋b)(a－c－b)
＝[(a＋b)－c][a－(b＋c)]，
又因为a＋b>c，a所以[(a＋b)－c][a－(b＋c)]<0，
所以a2－b2＋c2－2ac值的符号为负．
核心素养升级练
13．解析：(1)因为x2－(m2＋m)x＋m3＝(x－m2)(x－m)，
所以原方程化为(x－m2)(x－m)＝0，解得x＝m2或x＝m，
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当m＝0或1时，m2＝m，此时原方程的解集为{0}或{1}；
当m≠0且m≠1时，m2≠m，此时原方程的解集为{m，m2}．
(2)因为x2－x－a2＋a＝x2－x－a(a－1)＝(x－a)[x＋(a－1)]，所以原方程化为(x－a)[x＋(a－1)]＝0，解得x＝a或x＝1－a.
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当a＝时，a＝1－a，此时原方程的解集为{}；
当a≠时，此时原方程的解集为{a，1－a}．
(3)原方程可化为(x－3)(x－k)＝0，
当k≠3时，方程的解集为{3，k}，
当k＝3时，方程的解集为{3}．
14．解析：由题意知(m－3)x＝－n－4.
(1)当m－3≠0，即m≠3，n为任意实数时，方程的解集为单元素集，即{}．
(2)当m－3＝0且－n－4＝0，即m＝3且n＝－4时，方程的解集为R.
(3)当m－3＝0且－n－4≠0，即m＝3且n≠－4时，方程的解集为 .
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