安徽省部分校2023届高三上学期数学开学摸底考试试卷
一、单选题
1．（2022高三上·安徽开学考）若，则（ ）
A． B．2 C． D．1
2．（2022高三上·安徽开学考）设集合，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022高三上·安徽开学考）下图是国家统计局2022年6月发布的规模以上工业日均原油产量（单位：万吨）的月度走势情况，现有如下说法：
①2020年5月至2022年5月，规模以上工业原油的日均产量的极差为4；②从2021年5月至2021年12月中随机抽取1个月份，月增速超过2.9%的概率为；③2022年4月份，规模以上工业原油总产量约为1701万吨；则说法错误的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（2022高三上·安徽开学考）若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2022高三上·安徽开学考）已知数列 的前项和为，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2022高三上·安徽开学考）在正方体中，点在线段上，点为线段的中点，记平面平面 ，则下列说法一定正确的是（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．平面
7．（2022高三上·安徽开学考）已知函数为上的偶函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022高三上·安徽开学考）已知 的展开式只有第 5 项的二项式系数最大，设，若，则（ ）
A．63 B．64 C．247 D．255
9．（2022高三上·安徽开学考）已知函数的部分图象如图所示，其中，则下列说法错误的是（ ）
A．的最小正周期为
B．将的图象向右平移个单位长度后关于原点对称
C．在 上单调递减
D．直线为图象的一条对称轴
10．（2022高三上·安徽开学考）在四面体中，与都是边长为 2 的等边三角形，且点在底面的射影落在的中心上，则四面体的外接球的表面积为（ ）
A．4π B．6π C．8π D．
11．（2022高三上·安徽开学考）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的过第二、四象限的渐近线上，且，若，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．（2022高三上·安徽开学考）已知是函数的零点，设，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2022高三上·安徽开学考）已知某次考试的数学成绩服从正态分布，且，现从这次考试随机抽取 3 位同学的数学成绩，则这 3 位同学的数学成绩都在内的概率为 ．
14．（2022高三上·安徽开学考）已知向量满足，且，则与的夹角的余弦值为 ．
15．（2022高三上·安徽开学考）已知抛物线的焦点为，圆，过的直线与交于两点，与 交于 两点，且在同一象限，则的最小值为 ．
16．（2022高三上·安徽开学考）函数的值域是 ．
三、解答题
17．（2022高三上·安徽开学考）已知数列满足，且数列的前项和为．
（1）求数列的通项公式；
（2）已知，记数列的前项和为，求证：．
18．（2022高三上·安徽开学考）已知某校高三进行第一次摸底考试，从全校选考地理的高三学生中，随机抽取 100 名学生的地理成绩制成如图所示的频率分布直方图，满分为 100 分，其中 80 分及以上为优秀，其他为一般．已知成绩优秀的学生中男生有 10 名，成绩一般的学生中男生有 40 名，得到如下的列联表．
性别 考试成绩 合计
优秀 一般
男生 10 40
女生
合计
参考公式：，（其中）
0.10 0.05 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
（1）根据上述数据，完成上面列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析“考试成绩优秀”与 “性别” 是否有关
（2）从考试成绩在中，利用分层随机抽样抽取7名学生进行学习方法经验介绍，从抽取的学生中，再确定3名学生做学习经验的介绍，则抽取的3名学生中，考试成绩在的学生数为，求的分布列与数学期望．
19．（2022高三上·安徽开学考）在中，点分别在线段上，且，．
（1）求的长；
（2）求的面积．
20．（2022高三上·安徽开学考）在四棱锥中，四边形是直角梯形，且平面，，点在棱上．
（1）当 时，求证： 平面；
（2）若直线与平面所成的角为 ，二面角的余弦值为，求的值．
21．（2022高三上·安徽开学考）已知为坐标原点，椭圆过点 ，记线段的中点为．
（1）若直线的斜率为 3 ，求直线的斜率；
（2）若四边形为平行四边形，求的取值范围．
22．（2022高三上·安徽开学考）已知函数．
（1）讨论函数在上的单调性；
（2）若，求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】由题意得，，则．
故答案为：C．
【分析】 先对复数进行化简，然后结合复数模长公式即可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】由解得，所以，
所以，，
所以.
故答案为：A.
【分析】 利用对数函数性质以及二次函数相关知识解出P、Q，再利用交集的定义可解出答案.
3．【答案】B
【知识点】频率分布折线图、密度曲线
【解析】【解答】对于①，2021年5月至2022年5月，规模以上工业原油的日均产量的极差为，①正确；
对于②，2021年5月至2021年12月中，月增速超过超过2.9%的月份有5月、9月和10月，
随机抽取1个月，月增速超过超过2.9%的概率为，②错误；
对于③，2022年4月份，规模以上工业原油总产量约为万吨，③正确.
故答案为：B.
【分析】 根据统计图提供的数据，结合极差、古典概率等知识即可判断出答案.
4．【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；诱导公式
【解析】【解答】由题意知，
故，
故答案为：A．
【分析】 由题意利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，计算求得答案.
5．【答案】D
【知识点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】当时，，∴，当时，，两式相减可得，∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴．
故答案为：D．
【分析】由已知得数列是首项为，公比为的等比数列，再利用等比数列的求和公式求出答案.
6．【答案】D
【知识点】直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】由题意得，，平面，平面，则平面，又平面平面，∴，因为平面，平面，故平面，因此平面．D符合题意
而，平面，平面，则平面，故平面，A不符合题意，同理B不符合题意；
由于与相交不垂直，故与平面不垂直，因此不垂直平面，C不符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据线面平行可得两平面的交线满足，进而根据平面，逐项进行判断可得答案.
7．【答案】D
【知识点】函数的单调性及单调区间；奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】由函数为偶函数，则，可得恒成立，得，则函数.
又在上单调递增，则可以变为，则，解得．
故答案为：D．
【分析】结合函数的单调性及奇偶性即可直接求解出答案.
8．【答案】C
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】因为展开式只有第 5 项的二项式系数最大，所以展开式共9项，所以，，∴，
∴，令，得，令，得，
∴．
故答案为：C．
【分析】由题意，利用二项式系数的性质求得n，根据二项式展开式的通项公式以及a1=8，求得m，再令x=1，可求得答案.
9．【答案】C
【知识点】正弦函数的性质；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】由题意得，，则，而，
即，解得，∵，∴，
∴，A符合题意；
函数的图象向右平移个单位长度后，得到，
该函数图象关于原点对称，B符合题意；
∵，∴，则在上先增后减，C不符合题意；
∵，∴直线为图象的一条对称轴，D符合题意．
故答案为：C．
【分析】由周期求出，由五点作图求出，可得函数f (x)的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，逐项进行判断，可得出答案.
10．【答案】B
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】解：由点A的投影落在底面的中心上，得四面体为正四面体，且棱长为2，
设点A在底面的投影为，四面体的外接球的半径为R，球心为O，可得，
又，∴，
在中，即，解得，
∴四面体的外接球的表面积为，
故答案为：B．
【分析】根据题意可得到四面体ABCD为正四面体，设点A在底面的投影为O'，球心为O，根据图象关系可算出外接球半径，进而求出答案.
11．【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】，在双曲线的左半支上；
，即，为的中点；
由双曲线方程知：直线，又，，，
；
坐标原点为中点，且，
又，即，，，
又，，解得：，
双曲线的离心率.
故答案为：B.
【分析】 判断点B在双曲线C的左支上，点A为线段F2B的中点，转化推出b=2a，然后求解出双曲线的离心率.
12．【答案】A
【知识点】对数的性质与运算法则；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由可得进而得：，因此，故，
∵，∴，即，
∴．又，
∴，即，∴．综上，．
故答案为：A．
【分析】由可得，解得x0，根据对数函数的性质和运算性质比较大小，可得答案.
13．【答案】
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】由题意得，该正态曲线的对称轴为，∵，
∴，∴3位同学的数学成绩都在的概率为．
故答案为：
【分析】 根据正态分布的对称性求解出答案.
14．【答案】
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】∵，∴两边平方可得，又，
∴，∴．
故答案为：.
【分析】由题意利用两个向量的数量积的定义，求得 与的夹角的余弦值.
15．【答案】12
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】抛物线的焦点为以为圆心以3为半径，
由题意可知直线l不与y轴垂直，设直线，联立，
得，．
设，则，
∴，
当且仅当时，等号成立，
即的最小值为12，
故答案为：12
【分析】 设出直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定；理结合基本不等式，转化求解出答案.
16．【答案】[2，+∞)
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】，
令，易得当时，且为增函数.
记，则，
易知当时．为减函数；当时．为增函数．
∴，∴的值域为[2，+∞)．
故答案为：[2，+∞)
【分析】 根据题意，先换元令，记，再求导，根据导数判断单调性，求解出最值可得的值域.
17．【答案】（1）解：记数列的前n项和为，则．
当时．，
当时，，则，
∴．
（2）证明：由题意得，，
∴
．
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】 (1)易知 ， 再检验n=1的情形，从而得bn，然后代入中，化简运算，即可求出数列的通项公式；
(2)结合(1)中所得结论，可知 ， 然后裂项求和，即可得证 ．
18．【答案】（1）解：根据频率分布直方图可得考试成绩优秀的总人数为，
其中女生的人数为18，考试成绩一般的人数为72，其中女生的人数为，
则列联表为
性别 考试成绩 合计
优秀 一般
男生 10 40 50
女生 18 32 50
合计 28 72 100
零假设：考试成绩优秀与性别无关．
，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
即认为“考试成绩优秀”与“性别”无关．
（2）解：根据频率分布直方图可得考试成绩在的学生人数分别为20，8，
利用分层随机抽样抽取7名学生中的成绩在的人数分别为5，2，
则的所有可能取值为0，1，2，
则，
则的分布列为
0 1 2
P
∴．
【知识点】独立性检验的基本思想；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)根据已知条件完成 列联表，计算 ，即可求出结论；
(2)求得 的可能取值及对应概率，完成概率分布列，进而求得 的分布列与数学期望．
19．【答案】（1）解：由题意得，，
在中，由余弦定理得
∵，
∴，
即，则．
（2）解：由（1）知，为直角三角形，
∴，∴．
∵，∴，
∴，即的面积为．
【知识点】余弦定理
【解析】【分析】(1)直接利用余弦定理的应用和一元二次方程的解法的应用求出 的长；
(2)利用三角形的面积公式的应用求出 的面积．
20．【答案】（1）证明：连接交于点O，连接，
由 知，，∴，
∵，∴，∴，
又平面，平面，∴平面．
（2）解：∵平面，∴为与底面所成的角，
即，∴，
又四边形是直角梯形，
故以D为坐标原点，分别以为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
∴，，，
设平面法向量为，则 ，
即 ，令，则，
设，则，
设平面的法向量为，则，
即 ，令，则，
因为二面角的余弦值为
∴，解得，
∴．
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)连接AC交BD于点O，连接OM，利用几何性质证明 ，即可证明出 平面；
(2) 以D为坐标原点，分别以为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 求得相关点的坐标， 设， 求出平面PBD的法向量，用表示出平面MBD的法向量，利用向量的夹角公式计算，即可求得 的值．
21．【答案】（1）解：设，则，
两式相减可得，，而，
则有，又直线斜率，因此
所以直线的斜率.
（2）解：当直线不垂直于x轴时，设直线，，
由消去y并整理得：，
，，，
因四边形为平行四边形，即，则点，
而，即，
又点P在椭圆上，则，化简得，满足，
于是得，，，
则
，
当直线垂直于x轴时，得点或，若点，点M，N必在直线上，
由得，则，若点，同理可得，
综上，的取值范围为．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)设出点M， N， Q的坐标，结合已知利用点差法计算，可得直线的斜率；
(2)当直线MN斜率存在时，设出其方程，与椭圆方程联立，借助向量表示点P坐标，再利用弦长公式建立函数关系并求出值域，直线MN斜率不存在时，计算出 的取值范围．
22．【答案】（1）解：由题意得，，
当时，，则函数在上单调递增；
当时，令，解得；
当时，，则函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减，
综上，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减．
（2）解：由题意得，，即．
令，则，
当时，单调递减，∴．
①当时，，则恒成立，∴为增函数，∴；
②当时，，
∵，，
∴存在，使，且时，单调递减，
∴，与矛盾，舍去．
综上所述，实数a的取值范围是．
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】(1)求导数，分类讨论，根据导数的符号确定函数在上的单调性；
(2)由题意，原问题转化为 ，求导数后，分类讨论求函数的单调性，利用单调性证求函数的最值即可求解出的取值范围．
1 / 1安徽省部分校2023届高三上学期数学开学摸底考试试卷
一、单选题
1．（2022高三上·安徽开学考）若，则（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】C
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】由题意得，，则．
故答案为：C．
【分析】 先对复数进行化简，然后结合复数模长公式即可求出答案.
2．（2022高三上·安徽开学考）设集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】由解得，所以，
所以，，
所以.
故答案为：A.
【分析】 利用对数函数性质以及二次函数相关知识解出P、Q，再利用交集的定义可解出答案.
3．（2022高三上·安徽开学考）下图是国家统计局2022年6月发布的规模以上工业日均原油产量（单位：万吨）的月度走势情况，现有如下说法：
①2020年5月至2022年5月，规模以上工业原油的日均产量的极差为4；②从2021年5月至2021年12月中随机抽取1个月份，月增速超过2.9%的概率为；③2022年4月份，规模以上工业原油总产量约为1701万吨；则说法错误的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】频率分布折线图、密度曲线
【解析】【解答】对于①，2021年5月至2022年5月，规模以上工业原油的日均产量的极差为，①正确；
对于②，2021年5月至2021年12月中，月增速超过超过2.9%的月份有5月、9月和10月，
随机抽取1个月，月增速超过超过2.9%的概率为，②错误；
对于③，2022年4月份，规模以上工业原油总产量约为万吨，③正确.
故答案为：B.
【分析】 根据统计图提供的数据，结合极差、古典概率等知识即可判断出答案.
4．（2022高三上·安徽开学考）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；诱导公式
【解析】【解答】由题意知，
故，
故答案为：A．
【分析】 由题意利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，计算求得答案.
5．（2022高三上·安徽开学考）已知数列 的前项和为，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】当时，，∴，当时，，两式相减可得，∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴．
故答案为：D．
【分析】由已知得数列是首项为，公比为的等比数列，再利用等比数列的求和公式求出答案.
6．（2022高三上·安徽开学考）在正方体中，点在线段上，点为线段的中点，记平面平面 ，则下列说法一定正确的是（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．平面
【答案】D
【知识点】直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】由题意得，，平面，平面，则平面，又平面平面，∴，因为平面，平面，故平面，因此平面．D符合题意
而，平面，平面，则平面，故平面，A不符合题意，同理B不符合题意；
由于与相交不垂直，故与平面不垂直，因此不垂直平面，C不符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据线面平行可得两平面的交线满足，进而根据平面，逐项进行判断可得答案.
7．（2022高三上·安徽开学考）已知函数为上的偶函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的单调性及单调区间；奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】由函数为偶函数，则，可得恒成立，得，则函数.
又在上单调递增，则可以变为，则，解得．
故答案为：D．
【分析】结合函数的单调性及奇偶性即可直接求解出答案.
8．（2022高三上·安徽开学考）已知 的展开式只有第 5 项的二项式系数最大，设，若，则（ ）
A．63 B．64 C．247 D．255
【答案】C
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】因为展开式只有第 5 项的二项式系数最大，所以展开式共9项，所以，，∴，
∴，令，得，令，得，
∴．
故答案为：C．
【分析】由题意，利用二项式系数的性质求得n，根据二项式展开式的通项公式以及a1=8，求得m，再令x=1，可求得答案.
9．（2022高三上·安徽开学考）已知函数的部分图象如图所示，其中，则下列说法错误的是（ ）
A．的最小正周期为
B．将的图象向右平移个单位长度后关于原点对称
C．在 上单调递减
D．直线为图象的一条对称轴
【答案】C
【知识点】正弦函数的性质；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】由题意得，，则，而，
即，解得，∵，∴，
∴，A符合题意；
函数的图象向右平移个单位长度后，得到，
该函数图象关于原点对称，B符合题意；
∵，∴，则在上先增后减，C不符合题意；
∵，∴直线为图象的一条对称轴，D符合题意．
故答案为：C．
【分析】由周期求出，由五点作图求出，可得函数f (x)的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，逐项进行判断，可得出答案.
10．（2022高三上·安徽开学考）在四面体中，与都是边长为 2 的等边三角形，且点在底面的射影落在的中心上，则四面体的外接球的表面积为（ ）
A．4π B．6π C．8π D．
【答案】B
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】解：由点A的投影落在底面的中心上，得四面体为正四面体，且棱长为2，
设点A在底面的投影为，四面体的外接球的半径为R，球心为O，可得，
又，∴，
在中，即，解得，
∴四面体的外接球的表面积为，
故答案为：B．
【分析】根据题意可得到四面体ABCD为正四面体，设点A在底面的投影为O'，球心为O，根据图象关系可算出外接球半径，进而求出答案.
11．（2022高三上·安徽开学考）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的过第二、四象限的渐近线上，且，若，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】，在双曲线的左半支上；
，即，为的中点；
由双曲线方程知：直线，又，，，
；
坐标原点为中点，且，
又，即，，，
又，，解得：，
双曲线的离心率.
故答案为：B.
【分析】 判断点B在双曲线C的左支上，点A为线段F2B的中点，转化推出b=2a，然后求解出双曲线的离心率.
12．（2022高三上·安徽开学考）已知是函数的零点，设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】对数的性质与运算法则；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由可得进而得：，因此，故，
∵，∴，即，
∴．又，
∴，即，∴．综上，．
故答案为：A．
【分析】由可得，解得x0，根据对数函数的性质和运算性质比较大小，可得答案.
二、填空题
13．（2022高三上·安徽开学考）已知某次考试的数学成绩服从正态分布，且，现从这次考试随机抽取 3 位同学的数学成绩，则这 3 位同学的数学成绩都在内的概率为 ．
【答案】
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】由题意得，该正态曲线的对称轴为，∵，
∴，∴3位同学的数学成绩都在的概率为．
故答案为：
【分析】 根据正态分布的对称性求解出答案.
14．（2022高三上·安徽开学考）已知向量满足，且，则与的夹角的余弦值为 ．
【答案】
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】∵，∴两边平方可得，又，
∴，∴．
故答案为：.
【分析】由题意利用两个向量的数量积的定义，求得 与的夹角的余弦值.
15．（2022高三上·安徽开学考）已知抛物线的焦点为，圆，过的直线与交于两点，与 交于 两点，且在同一象限，则的最小值为 ．
【答案】12
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】抛物线的焦点为以为圆心以3为半径，
由题意可知直线l不与y轴垂直，设直线，联立，
得，．
设，则，
∴，
当且仅当时，等号成立，
即的最小值为12，
故答案为：12
【分析】 设出直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定；理结合基本不等式，转化求解出答案.
16．（2022高三上·安徽开学考）函数的值域是 ．
【答案】[2，+∞)
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】，
令，易得当时，且为增函数.
记，则，
易知当时．为减函数；当时．为增函数．
∴，∴的值域为[2，+∞)．
故答案为：[2，+∞)
【分析】 根据题意，先换元令，记，再求导，根据导数判断单调性，求解出最值可得的值域.
三、解答题
17．（2022高三上·安徽开学考）已知数列满足，且数列的前项和为．
（1）求数列的通项公式；
（2）已知，记数列的前项和为，求证：．
【答案】（1）解：记数列的前n项和为，则．
当时．，
当时，，则，
∴．
（2）证明：由题意得，，
∴
．
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】 (1)易知 ， 再检验n=1的情形，从而得bn，然后代入中，化简运算，即可求出数列的通项公式；
(2)结合(1)中所得结论，可知 ， 然后裂项求和，即可得证 ．
18．（2022高三上·安徽开学考）已知某校高三进行第一次摸底考试，从全校选考地理的高三学生中，随机抽取 100 名学生的地理成绩制成如图所示的频率分布直方图，满分为 100 分，其中 80 分及以上为优秀，其他为一般．已知成绩优秀的学生中男生有 10 名，成绩一般的学生中男生有 40 名，得到如下的列联表．
性别 考试成绩 合计
优秀 一般
男生 10 40
女生
合计
参考公式：，（其中）
0.10 0.05 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
（1）根据上述数据，完成上面列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析“考试成绩优秀”与 “性别” 是否有关
（2）从考试成绩在中，利用分层随机抽样抽取7名学生进行学习方法经验介绍，从抽取的学生中，再确定3名学生做学习经验的介绍，则抽取的3名学生中，考试成绩在的学生数为，求的分布列与数学期望．
【答案】（1）解：根据频率分布直方图可得考试成绩优秀的总人数为，
其中女生的人数为18，考试成绩一般的人数为72，其中女生的人数为，
则列联表为
性别 考试成绩 合计
优秀 一般
男生 10 40 50
女生 18 32 50
合计 28 72 100
零假设：考试成绩优秀与性别无关．
，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
即认为“考试成绩优秀”与“性别”无关．
（2）解：根据频率分布直方图可得考试成绩在的学生人数分别为20，8，
利用分层随机抽样抽取7名学生中的成绩在的人数分别为5，2，
则的所有可能取值为0，1，2，
则，
则的分布列为
0 1 2
P
∴．
【知识点】独立性检验的基本思想；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)根据已知条件完成 列联表，计算 ，即可求出结论；
(2)求得 的可能取值及对应概率，完成概率分布列，进而求得 的分布列与数学期望．
19．（2022高三上·安徽开学考）在中，点分别在线段上，且，．
（1）求的长；
（2）求的面积．
【答案】（1）解：由题意得，，
在中，由余弦定理得
∵，
∴，
即，则．
（2）解：由（1）知，为直角三角形，
∴，∴．
∵，∴，
∴，即的面积为．
【知识点】余弦定理
【解析】【分析】(1)直接利用余弦定理的应用和一元二次方程的解法的应用求出 的长；
(2)利用三角形的面积公式的应用求出 的面积．
20．（2022高三上·安徽开学考）在四棱锥中，四边形是直角梯形，且平面，，点在棱上．
（1）当 时，求证： 平面；
（2）若直线与平面所成的角为 ，二面角的余弦值为，求的值．
【答案】（1）证明：连接交于点O，连接，
由 知，，∴，
∵，∴，∴，
又平面，平面，∴平面．
（2）解：∵平面，∴为与底面所成的角，
即，∴，
又四边形是直角梯形，
故以D为坐标原点，分别以为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
∴，，，
设平面法向量为，则 ，
即 ，令，则，
设，则，
设平面的法向量为，则，
即 ，令，则，
因为二面角的余弦值为
∴，解得，
∴．
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)连接AC交BD于点O，连接OM，利用几何性质证明 ，即可证明出 平面；
(2) 以D为坐标原点，分别以为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 求得相关点的坐标， 设， 求出平面PBD的法向量，用表示出平面MBD的法向量，利用向量的夹角公式计算，即可求得 的值．
21．（2022高三上·安徽开学考）已知为坐标原点，椭圆过点 ，记线段的中点为．
（1）若直线的斜率为 3 ，求直线的斜率；
（2）若四边形为平行四边形，求的取值范围．
【答案】（1）解：设，则，
两式相减可得，，而，
则有，又直线斜率，因此
所以直线的斜率.
（2）解：当直线不垂直于x轴时，设直线，，
由消去y并整理得：，
，，，
因四边形为平行四边形，即，则点，
而，即，
又点P在椭圆上，则，化简得，满足，
于是得，，，
则
，
当直线垂直于x轴时，得点或，若点，点M，N必在直线上，
由得，则，若点，同理可得，
综上，的取值范围为．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)设出点M， N， Q的坐标，结合已知利用点差法计算，可得直线的斜率；
(2)当直线MN斜率存在时，设出其方程，与椭圆方程联立，借助向量表示点P坐标，再利用弦长公式建立函数关系并求出值域，直线MN斜率不存在时，计算出 的取值范围．
22．（2022高三上·安徽开学考）已知函数．
（1）讨论函数在上的单调性；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）解：由题意得，，
当时，，则函数在上单调递增；
当时，令，解得；
当时，，则函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减，
综上，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减．
（2）解：由题意得，，即．
令，则，
当时，单调递减，∴．
①当时，，则恒成立，∴为增函数，∴；
②当时，，
∵，，
∴存在，使，且时，单调递减，
∴，与矛盾，舍去．
综上所述，实数a的取值范围是．
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】(1)求导数，分类讨论，根据导数的符号确定函数在上的单调性；
(2)由题意，原问题转化为 ，求导数后，分类讨论求函数的单调性，利用单调性证求函数的最值即可求解出的取值范围．
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