安徽省皖江名校联盟2022-2023学年高三上学期数学8月联考试卷
一、单选题
1．（2022高三上·安徽开学考）已知集合， 则（ ）
A． B．{1} C． D．
【答案】D
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】因为，
则.
故答案为：D.
【分析】 利用集合的并集运算求解出答案.
2．（2022高三上·安徽开学考）已知复数为纯虚数，则实数（ ）
A．-1 B．1 C．-2 D．2
【答案】C
【知识点】虚数单位i及其性质
【解析】【解答】是纯虚数，
所以且，，
故答案为：C．
【分析】 根据已知条件，结合复数的四则运算，以及纯虚数的定义，即可求解出a的值.
3．（2022高三上·安徽开学考）某农科院学生为研究某花卉种子的发芽率和温度（单位： ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图.由此散点图，在至之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率和温度的回归方程类型的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】散点图
【解析】【解答】根据图中散点图可知，散点大致分布在某一条对数型函数曲线周围，
A选项是直线型，B选项是抛物线型，D选项是指数型，只有C选项是对数型.
故答案为：C.
【分析】由散点图中的信息逐项进行判断，可得答案.
4．（2022高三上·安徽开学考）设抛物线上一点到轴的距离是1，则点到该抛物线焦点的距离是（ ）
A．3 B．4 C．7 D．13
【答案】B
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】因为，则准线方程为，
依题意，点到该抛物线焦点的距离等于点到其准线的距离，即.
故答案为：B.
【分析】可画出图形，由抛物线的标准方程，可得出抛物线的准线方程，从而可以求出点P到准线的距离，再根据抛物线的定义，可得出点P到该抛物线的焦点距离.
5．（2022高三上·安徽开学考）某小区因疫情需求，物业把招募的5名志原者中分配到3处核酸采样点，每处采样点至少分配一名，则不同的分配方法共有（ ）
A．150 种 B．180 种 C．200 种 D．280 种
【答案】A
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】先将5人分组，可能情况有1，2，2人与1，1，3人两种情况.
①分成1，2，2人的所有情况共种情况；
②分成1，1，3人的所有情况共种情况；
再将分好的组分配到3处核酸采样点，共种情况.
故答案为：A
【分析】 由分步原理可先分组，后排序求解出答案.
6．（2022高三上·安徽开学考）设直线经过点，则的最小值为（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
【答案】B
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为直线经过点，
所以，即.
所以
，
当且仅当且，即时取等号.
所以的最小值为8.
故答案为：B.
【分析】根据题意，得到，再根据基本不等式计算，可求出 的最小值 .
7．（2022高三上·安徽开学考）如图，某港口一天从6时到18时的水深曲线近似满足函数.据此可知当天12时的水深为（ ）
A．3.5 B．4 C． D．
【答案】A
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】由图象可知函数的最小值为2，所以，得，
周期，
所以，得，
所以，
因为函数图象过点，
所以，
所以，
所以或，
所以或，
因为，所以，
所以，
所以，
故答案为：A
【分析】 根据图象，依次求出A， ， φ，即可求出y的解析式，将x=12代入上式，即可求解出答案.
8．（2022高三上·安徽开学考）已知直线：（）被圆：所截的弦长是圆心到直线的距离的2倍，则（ ）
A．6 B．8 C．9 D．11
【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】由题设可知圆的圆心为，圆心到直线的距离，依据题意，即（舍去），
故答案为：C．
【分析】求出圆心为，利用圆心到直线的距离即，求解可得m的值.
9．（2022高三上·安徽开学考）在棱长均等的正三棱柱中，直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】设正三棱柱的棱长为2，取的中点，的中点，连接，则
∥，，
因为平面，平面，
所以，
所以，
所以两两垂直，
所以以为原点，所在的直线分别为建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
所以，
设直线与所成角为，则
，
所以直线与所成角的余弦值为，
故答案为：D
【分析】设正三棱柱的棱长为2，以为原点，所在的直线分别为建立空间直角坐标系，利用空间向量求解出直线与所成角的余弦值.
10．（2022高三上·安徽开学考）已知奇函数满足，当时，，则（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】A
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的周期性
【解析】【解答】是奇函数，则，
所以，函数是周期函数，4是它的一个周期，
．
故答案为：A．
【分析】先根据f (x)为奇函数且，进而知，再代入求值，即可得答案.
11．（2022高三上·安徽开学考）已知球的半径为3，其内接圆柱的体积最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】设圆柱底面半径为，高为，而圆柱的体积为，
又，则，且，
所以，则，
当时，递增；当时，递减；
所以当时，.
故答案为：C
【分析】设圆柱底面半径为r，高为h且，由题意可得，利用导数求其最大值，即可求出答案.
12．（2022高三上·安徽开学考）设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】设，
则，
是R上的增函数，
所以，即，，
设，则，
时，（只有），单调递增，
所以，即，，两边乘以得，
综上．
故答案为：D．
【分析】构造函数和，用导数确定其单调性，然后可分别比较a，c和b， c的大小得出答案.
二、填空题
13．（2022高三上·安徽开学考）已知等边三角形的边长为，则 .
【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为，所以点为的中点，
即，
则，
则.
故答案为：.
【分析】利用平面向量线性关系可得，从而可解出答案.
14．（2022高三上·安徽开学考）从2，3，4，5，6这5个数字中任取3个，则所取3个数之和为偶数的概率为
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】从2，3，4，5，6这5个数字中任取3个，共有，，，，，，，，，10种，
其中所得3个数之和为偶数为，，，共4种，
故所得3个数之和为偶数的概率为.
故答案为：.
【分析】一一列举所有的基本事件，再找到满足和为偶数的基本事件，根据古典概率公式计算，可得答案.
15．（2022高三上·安徽开学考）已知点为曲线上的动点，则到直线的最小距离为 .
【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：设与相切与点Q，
则，令，得，则切点，
代入，得，即直线方程为，
所以与直线间的距离为，
即为到直线的最小距离，
故答案为：
【分析】 对曲线y进行求导，求出点Q的坐标，可得过点P直线与直线y=x-1平行且与曲线相切于点P，根据点到直线的距离进行求解，可得到直线的最小距离.
16．（2022高三上·安徽开学考）若双曲线的焦点关于渐近线的对称点恰好在该双曲线上，则该双曲线的离心率为 .
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】不妨设双曲线方程为：，，离心率，根据对称性，取右焦点，一条渐近线.
设F关于l的对称点为，则，
则，代入双曲线方程得：.
故答案为：.
【分析】取右焦点，渐近线方程为，对称点为，运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为-1，求出对称点的坐标，代入双曲线的方程，由离心率公式计算即可得到双曲线的离心率 .
三、解答题
17．（2022高三上·安徽开学考）已知数列是公差不为0的等差数列，，且为与的等比中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1）解：设数列的公差为，则
由已知得，因为，所以，
故
（2）解：由（1）知.
所以①
②
由①②得：
，
所以.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】 (1)根据等比中项的定义结合等差数列的通项公式可求出数列的通项公式；
(2)根据错位相减法直接求出数列的前项和.
18．（2022高三上·安徽开学考）记的内角的对边分别为，且.
（1）求；
（2）若，求.
【答案】（1）解：因为 ，由正弦定理得
又，所以.
故.
（2）解：由余弦定理
将代入；解得
当时，， 满足
当时，不满足，故舍去.
综上：.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)由已知利用二倍角的正弦函数公式，正弦定理即可得解出 的值；
(2)由余弦定理可得 ，结合已知可求出c的值.
19．（2022高三上·安徽开学考）为了监控某一条生产线的生产过程， 从其产品中随机抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，其中质量指标值落在区间内的频率是公比为的等比数列.
（1）求这些产品质量指标值落在区间内的频率；
（2）若将频率视为概率，从该条生产线的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标位于区间内的产品件数为，求的分布列与数学期望.
【答案】（1）解：设这些产品质量指标值落在区间内的频率为，则在区间，内的频率分别为和．
依题意得，解得．
所以这些产品质量指标值落在区间内的频率为．
（2）解：由（1）得， 这此产品质量指标值落在区间内的频率为，将频率视为概率得.
从该企业生产的该种产品中随机抽取3件， 相当于进行了3次独立重复试验，
所以 其中.
因为的所有可能取值为0，1，2，3，
且，
，
，
.
所以的分布列为
0 1 2 3
0.064 0.288 0.432 0.216
根据二项分布期望公式可知，的数学期望为.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)由题意，质量指标值落在区间 内的频率之和，利用之比为4：2：1，即可求出这些产品质量指标值落在区间[75， 85]内的频率；
(2)求出每件产品质量指标值落在区间[45， 75)内的概率为0.6，利用题意可得：X~B(3，0.6)，根据概率分布知识求解可得的分布列与数学期望.
20．（2022高三上·安徽开学考）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面， .
（1）求证：；
（2）求与平面所成角的余弦值.
【答案】（1）证明：因为底面为正方形，且平面，
则可得两两垂直.
以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
设，
则，
因为， 所以
所以.
故，
所以.
（2）解：由（1）可知：
设平面的法向量为，
则，
即取，则.
所以.且
设与平面所成角为，
则.
所以.
即与平面所成角的余弦值.
【知识点】用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】 (1) 以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 将线线垂直的证明转化成两直线的方向向量垂直的证明，然后再转化成证明向量数量积等于零，可证得 ；
(2)将线面角转成直线的方向向量与平面的法向量所成角，然后再利用空间向量的夹角公式，即可求解出 与平面所成角的余弦值.
21．（2022高三上·安徽开学考）已知线段的长度为3，其端点分别在轴与轴上滑动，动点满足.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）当点坐标为 ，且点在第一象限时，设动直线与相交于两点，且两直线 的斜率互为相反数， 求直线的斜率.
【答案】（1）解：设，则
由已知得 ， 故
代入上式整理得： .
所以动点的轨迹C 的方程为.
（2）解：因为， 故点的横坐标为，又点在第一象限，故
设的方程为代入整理得
由已知， 设，
则 ①
由已知直线的斜率互为相反数，则
将代入上式整理得
②
将①代入②化简 ，
由已知不经过点， 故， 所以．.
故直线的斜率为.
【知识点】轨迹方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1) 设， 由MN的长度为3，得出 ，由向量的线性运算可把把m， n用x， y表示，代入上式可得轨迹方程；
(2)求出P点坐标， 设的方程为 代入椭圆方程后应用韦达定理得 代入kPA+kPB=0整理后，根据直线 不过点P求出直线的斜率.
22．（2022高三上·安徽开学考）已知函数.
（1）求的单调性；
（2）证明：.
【答案】（1）解：定义域为，
，
当或时，，当 时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增；
（2）证明：令，
当时，，当 时，，
所以函数在上递减，在上递增，
所以的最小值为，
故当时，， 即，
当时，，
因为，
所以，
所以，
所以.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1)先写出f (x)的定义域，求导分析f' (x)的符号，即可求出 的单调性；
(2) 令， 求导分析函数单调性，进而可得函数g (x))的最小值，则 ， 即 ， 又 ， 利用放缩法，即可证出 .
1 / 1安徽省皖江名校联盟2022-2023学年高三上学期数学8月联考试卷
一、单选题
1．（2022高三上·安徽开学考）已知集合， 则（ ）
A． B．{1} C． D．
2．（2022高三上·安徽开学考）已知复数为纯虚数，则实数（ ）
A．-1 B．1 C．-2 D．2
3．（2022高三上·安徽开学考）某农科院学生为研究某花卉种子的发芽率和温度（单位： ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图.由此散点图，在至之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率和温度的回归方程类型的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022高三上·安徽开学考）设抛物线上一点到轴的距离是1，则点到该抛物线焦点的距离是（ ）
A．3 B．4 C．7 D．13
5．（2022高三上·安徽开学考）某小区因疫情需求，物业把招募的5名志原者中分配到3处核酸采样点，每处采样点至少分配一名，则不同的分配方法共有（ ）
A．150 种 B．180 种 C．200 种 D．280 种
6．（2022高三上·安徽开学考）设直线经过点，则的最小值为（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
7．（2022高三上·安徽开学考）如图，某港口一天从6时到18时的水深曲线近似满足函数.据此可知当天12时的水深为（ ）
A．3.5 B．4 C． D．
8．（2022高三上·安徽开学考）已知直线：（）被圆：所截的弦长是圆心到直线的距离的2倍，则（ ）
A．6 B．8 C．9 D．11
9．（2022高三上·安徽开学考）在棱长均等的正三棱柱中，直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022高三上·安徽开学考）已知奇函数满足，当时，，则（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
11．（2022高三上·安徽开学考）已知球的半径为3，其内接圆柱的体积最大值为（ ）
A． B． C． D．
12．（2022高三上·安徽开学考）设，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2022高三上·安徽开学考）已知等边三角形的边长为，则 .
14．（2022高三上·安徽开学考）从2，3，4，5，6这5个数字中任取3个，则所取3个数之和为偶数的概率为
15．（2022高三上·安徽开学考）已知点为曲线上的动点，则到直线的最小距离为 .
16．（2022高三上·安徽开学考）若双曲线的焦点关于渐近线的对称点恰好在该双曲线上，则该双曲线的离心率为 .
三、解答题
17．（2022高三上·安徽开学考）已知数列是公差不为0的等差数列，，且为与的等比中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
18．（2022高三上·安徽开学考）记的内角的对边分别为，且.
（1）求；
（2）若，求.
19．（2022高三上·安徽开学考）为了监控某一条生产线的生产过程， 从其产品中随机抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，其中质量指标值落在区间内的频率是公比为的等比数列.
（1）求这些产品质量指标值落在区间内的频率；
（2）若将频率视为概率，从该条生产线的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标位于区间内的产品件数为，求的分布列与数学期望.
20．（2022高三上·安徽开学考）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面， .
（1）求证：；
（2）求与平面所成角的余弦值.
21．（2022高三上·安徽开学考）已知线段的长度为3，其端点分别在轴与轴上滑动，动点满足.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）当点坐标为 ，且点在第一象限时，设动直线与相交于两点，且两直线 的斜率互为相反数， 求直线的斜率.
22．（2022高三上·安徽开学考）已知函数.
（1）求的单调性；
（2）证明：.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】因为，
则.
故答案为：D.
【分析】 利用集合的并集运算求解出答案.
2．【答案】C
【知识点】虚数单位i及其性质
【解析】【解答】是纯虚数，
所以且，，
故答案为：C．
【分析】 根据已知条件，结合复数的四则运算，以及纯虚数的定义，即可求解出a的值.
3．【答案】C
【知识点】散点图
【解析】【解答】根据图中散点图可知，散点大致分布在某一条对数型函数曲线周围，
A选项是直线型，B选项是抛物线型，D选项是指数型，只有C选项是对数型.
故答案为：C.
【分析】由散点图中的信息逐项进行判断，可得答案.
4．【答案】B
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】因为，则准线方程为，
依题意，点到该抛物线焦点的距离等于点到其准线的距离，即.
故答案为：B.
【分析】可画出图形，由抛物线的标准方程，可得出抛物线的准线方程，从而可以求出点P到准线的距离，再根据抛物线的定义，可得出点P到该抛物线的焦点距离.
5．【答案】A
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】先将5人分组，可能情况有1，2，2人与1，1，3人两种情况.
①分成1，2，2人的所有情况共种情况；
②分成1，1，3人的所有情况共种情况；
再将分好的组分配到3处核酸采样点，共种情况.
故答案为：A
【分析】 由分步原理可先分组，后排序求解出答案.
6．【答案】B
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为直线经过点，
所以，即.
所以
，
当且仅当且，即时取等号.
所以的最小值为8.
故答案为：B.
【分析】根据题意，得到，再根据基本不等式计算，可求出 的最小值 .
7．【答案】A
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】由图象可知函数的最小值为2，所以，得，
周期，
所以，得，
所以，
因为函数图象过点，
所以，
所以，
所以或，
所以或，
因为，所以，
所以，
所以，
故答案为：A
【分析】 根据图象，依次求出A， ， φ，即可求出y的解析式，将x=12代入上式，即可求解出答案.
8．【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】由题设可知圆的圆心为，圆心到直线的距离，依据题意，即（舍去），
故答案为：C．
【分析】求出圆心为，利用圆心到直线的距离即，求解可得m的值.
9．【答案】D
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】设正三棱柱的棱长为2，取的中点，的中点，连接，则
∥，，
因为平面，平面，
所以，
所以，
所以两两垂直，
所以以为原点，所在的直线分别为建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
所以，
设直线与所成角为，则
，
所以直线与所成角的余弦值为，
故答案为：D
【分析】设正三棱柱的棱长为2，以为原点，所在的直线分别为建立空间直角坐标系，利用空间向量求解出直线与所成角的余弦值.
10．【答案】A
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的周期性
【解析】【解答】是奇函数，则，
所以，函数是周期函数，4是它的一个周期，
．
故答案为：A．
【分析】先根据f (x)为奇函数且，进而知，再代入求值，即可得答案.
11．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】设圆柱底面半径为，高为，而圆柱的体积为，
又，则，且，
所以，则，
当时，递增；当时，递减；
所以当时，.
故答案为：C
【分析】设圆柱底面半径为r，高为h且，由题意可得，利用导数求其最大值，即可求出答案.
12．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】设，
则，
是R上的增函数，
所以，即，，
设，则，
时，（只有），单调递增，
所以，即，，两边乘以得，
综上．
故答案为：D．
【分析】构造函数和，用导数确定其单调性，然后可分别比较a，c和b， c的大小得出答案.
13．【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为，所以点为的中点，
即，
则，
则.
故答案为：.
【分析】利用平面向量线性关系可得，从而可解出答案.
14．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】从2，3，4，5，6这5个数字中任取3个，共有，，，，，，，，，10种，
其中所得3个数之和为偶数为，，，共4种，
故所得3个数之和为偶数的概率为.
故答案为：.
【分析】一一列举所有的基本事件，再找到满足和为偶数的基本事件，根据古典概率公式计算，可得答案.
15．【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：设与相切与点Q，
则，令，得，则切点，
代入，得，即直线方程为，
所以与直线间的距离为，
即为到直线的最小距离，
故答案为：
【分析】 对曲线y进行求导，求出点Q的坐标，可得过点P直线与直线y=x-1平行且与曲线相切于点P，根据点到直线的距离进行求解，可得到直线的最小距离.
16．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】不妨设双曲线方程为：，，离心率，根据对称性，取右焦点，一条渐近线.
设F关于l的对称点为，则，
则，代入双曲线方程得：.
故答案为：.
【分析】取右焦点，渐近线方程为，对称点为，运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为-1，求出对称点的坐标，代入双曲线的方程，由离心率公式计算即可得到双曲线的离心率 .
17．【答案】（1）解：设数列的公差为，则
由已知得，因为，所以，
故
（2）解：由（1）知.
所以①
②
由①②得：
，
所以.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】 (1)根据等比中项的定义结合等差数列的通项公式可求出数列的通项公式；
(2)根据错位相减法直接求出数列的前项和.
18．【答案】（1）解：因为 ，由正弦定理得
又，所以.
故.
（2）解：由余弦定理
将代入；解得
当时，， 满足
当时，不满足，故舍去.
综上：.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)由已知利用二倍角的正弦函数公式，正弦定理即可得解出 的值；
(2)由余弦定理可得 ，结合已知可求出c的值.
19．【答案】（1）解：设这些产品质量指标值落在区间内的频率为，则在区间，内的频率分别为和．
依题意得，解得．
所以这些产品质量指标值落在区间内的频率为．
（2）解：由（1）得， 这此产品质量指标值落在区间内的频率为，将频率视为概率得.
从该企业生产的该种产品中随机抽取3件， 相当于进行了3次独立重复试验，
所以 其中.
因为的所有可能取值为0，1，2，3，
且，
，
，
.
所以的分布列为
0 1 2 3
0.064 0.288 0.432 0.216
根据二项分布期望公式可知，的数学期望为.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)由题意，质量指标值落在区间 内的频率之和，利用之比为4：2：1，即可求出这些产品质量指标值落在区间[75， 85]内的频率；
(2)求出每件产品质量指标值落在区间[45， 75)内的概率为0.6，利用题意可得：X~B(3，0.6)，根据概率分布知识求解可得的分布列与数学期望.
20．【答案】（1）证明：因为底面为正方形，且平面，
则可得两两垂直.
以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
设，
则，
因为， 所以
所以.
故，
所以.
（2）解：由（1）可知：
设平面的法向量为，
则，
即取，则.
所以.且
设与平面所成角为，
则.
所以.
即与平面所成角的余弦值.
【知识点】用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】 (1) 以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 将线线垂直的证明转化成两直线的方向向量垂直的证明，然后再转化成证明向量数量积等于零，可证得 ；
(2)将线面角转成直线的方向向量与平面的法向量所成角，然后再利用空间向量的夹角公式，即可求解出 与平面所成角的余弦值.
21．【答案】（1）解：设，则
由已知得 ， 故
代入上式整理得： .
所以动点的轨迹C 的方程为.
（2）解：因为， 故点的横坐标为，又点在第一象限，故
设的方程为代入整理得
由已知， 设，
则 ①
由已知直线的斜率互为相反数，则
将代入上式整理得
②
将①代入②化简 ，
由已知不经过点， 故， 所以．.
故直线的斜率为.
【知识点】轨迹方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1) 设， 由MN的长度为3，得出 ，由向量的线性运算可把把m， n用x， y表示，代入上式可得轨迹方程；
(2)求出P点坐标， 设的方程为 代入椭圆方程后应用韦达定理得 代入kPA+kPB=0整理后，根据直线 不过点P求出直线的斜率.
22．【答案】（1）解：定义域为，
，
当或时，，当 时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增；
（2）证明：令，
当时，，当 时，，
所以函数在上递减，在上递增，
所以的最小值为，
故当时，， 即，
当时，，
因为，
所以，
所以，
所以.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1)先写出f (x)的定义域，求导分析f' (x)的符号，即可求出 的单调性；
(2) 令， 求导分析函数单调性，进而可得函数g (x))的最小值，则 ， 即 ， 又 ， 利用放缩法，即可证出 .
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