安徽省皖南八校2022-2023学年高三上学期数学开学考试试卷

安徽省皖南八校2022-2023学年高三上学期数学开学考试试卷
一、单选题
1．（2022高三上·安徽开学考）已知集合，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】因为，
所以，
故答案为：B.
【分析】 求出函数的值域得到集合M、N，再求交集，即可得答案.
2．（2022高三上·安徽开学考）若（为虚数单位），则复数（　　）
A． B． C．1 D．-1
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为，所以，
故答案为：A.
【分析】 根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解出答案.
3．（2022高三上·安徽开学考）已知向量，若，则的值为（　　）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
【答案】B
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】由题可知，，解得.
故答案为：B
【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解出 的值 .
4．（2020高三上·福建月考）设 ， ， ，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】根据指数函数的性质可得 ，由指数函数的性质可得， ， ，所以 ，
故答案为：A.
【分析】根据指数函数的性质和对数函数的性质进行判断可得答案。
5．（2022高三上·安徽开学考）某滑冰馆统计了2021年11月1日到30日某小区居民在该滑冰馆的锻炼天数，得到如图所示的频率分布直方图（将频率视为概率），则下列说法正确的是（　　）
A．该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数在区间内的最少
B．估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的中位数为16
C．估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的平均值大于14
D．估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数超过15天的概率为0.456
【答案】C
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【解答】频率分布直方图中，面积最小的矩形条所在的区间为，即样本中区间内的数据频率最小，频数也最小，A错误，
由频率分布直方图可得，前三个小矩形的面积之和为，所以估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的中位数小于15，B错误；
由频率分布直方图可得，，C正确；
由频率分布直方图可得，该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数超过15天的频率为，故锻炼天数超过15天的概率为0.465，D错误.
故答案为：C.
【分析】由频率分布直方图比较各区间的频率大小，由此确定各区间的频率大小，由此判断A；计算样本数据的中位数和平均数，判断B， C；再求锻炼天数超过15天的概率，由此估计概率，能判断D.
6．（2022高三上·安徽开学考）已知等差数列的前项和为，且，则（　　）
A．6 B．10 C．12 D．20
【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】由题意，设数列公差为，因为，
解得，所以.
故答案为：B.
【分析】 由已知结合等差数列的通项公式及求和公式，即可求解出答案.
7．（2022高三上·安徽开学考）“”是“直线与直线平行”的（　　）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；两条直线平行的判定
【解析】【解答】因为，所以直线，直线，则与平行，故充分条件成立；
当直线与直线平行时，，解得或，当时，直线与直线重合，当时，直线，直线平行，故必要条件成立.
综上知，“”是“直线与直线平行”的充要条件.
故答案为：A.
【分析】 先由直线平行求出相应的m的值，然后根据充分条件、必要条件的定义即可判断出答案.
8．（2022高三上·安徽开学考）若曲线的一条切线的斜率为3，则该切线的方程可能为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】设切线的切点坐标为，
，
所以或，所以切点坐标为或
所求的切线方程为或.
故答案为：C.
【分析】 求出原函数的导函数，利用导函数值为3，求解出切点坐标，再由直线方程的点斜式得切线方程.
9．（2022高三上·安徽开学考）函数的图象的一个对称中心为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】由，可得，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
所以为图象的一个对称中心，
故答案为：D
【分析】 由题意利用正切函数的图象的对称性，得出答案.
10．（2022高三上·安徽开学考）如图，在正方体中，为的中点，点在四边形内（包括边界）运动，若平面，则的最小值为（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线与平面平行的性质
【解析】【解答】取的中点分别为，连接，
四边形中，，且，则四边形为平行四边形，则，
同理易得四边形为平行四边形，则，
因为平面平面，所以平面，
又因为平面平面，所以平面，，平面，所以平面平面，
因为平面，则平面，
当时，有最小值，则易求出为的中点，，所以的最小值为，
故答案为：B.
【分析】取的中点分别为，连接，由面面平行判定定理可得平面平面，得平面，此时平面，当时，有最小值，求解可得答案.
11．（2022高三上·安徽开学考）已知点在抛物线上，若以点为圆心半径为5的圆与抛物线的准线相切，且与轴相交的弦长为6，则（　　）
A．2 B．8 C．2或8 D．6
【答案】C
【知识点】圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：设，因为点在抛物线上，所以，又抛物线的准线为，
以点为圆心的圆与的准线相切，所以，
圆与轴相交的弦长为6，所以，
所以，解得或.
故答案为：C.
【分析】 设，由条件结合直线与圆的位置关系，列方程求解出p的值.
12．（2022高三上·安徽开学考）已知函数的图象关于直线对称，且对都有当时，.则（　　）
A．-1 B．1 C．2 D．-2
【答案】D
【知识点】函数的周期性；函数的值
【解析】【解答】函数的图象关于直线对称，
函数的图象关于直线对称，
，
取可得，
∴
又对有，
取可得，
所以.，，
，
，即，
的周期.
故答案为：D.
【分析】 根据条件分析出对称轴和对称中心，进而得到周期，可以把f (2022)转化到 时进行求解，可得答案.
二、填空题
13．（2017·大连模拟）（x﹣ ）4的展开式中的常数项为　 　．
【答案】6
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解： 的通项为 =（﹣1）rC4rx4﹣2r
令4﹣2r=0得r=2
∴展开式的常数项为T3=C42=6
故答案为6
【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0得常数项．
14．（2022高三上·安徽开学考）已知，则　 　.
【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】因为，所以，所以.
因为，
所以
故答案为：
【分析】 由同角三角函数的基本关系式，可得，再结合两角差的正切公式，展开运算求解出 的值 .
15．（2022高三上·安徽开学考）已知正四棱锥的底面边长为3，高为2，若该四棱锥的五个顶点都在一个球面上，则球心到四棱锥侧面的距离为　 　.
【答案】
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】如图所示，该四棱锥为，底面中心为，外接球球心为，
设，由题意，所以
所以，解得，
因为是等腰三角形，，边上的高为，
所以，
又，，
设点到平面的距离为，则三棱锥的体积为，即，解得，
故答案为：.
【分析】 由条件确定球心位置，再由等体积法求球心到四棱锥侧面的距离，即可求出球心到四棱锥侧面的距离 .
16．（2022高三上·安徽开学考）已知双曲线的右焦点为，过点斜率为的直线与双曲线的右支交于两点，点，若的外心的横坐标为0，则直线的方程为　 　.
【答案】或
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】由知，设直线的方程为，
联立方程组得，
由直线与双曲线右支交于两点可得
解得，即或.
设，则，
因为，
所以线段的中点为，
且.
设，因为在线段的垂直平分线上，所以，
得，即，故.
因为，且，
所以，
化简得，
得或（舍去），
所以直线的方程为，
即直线的方程为或.
故答案为：或
【分析】设直线的方程为，与双曲线方程联立，根据直线与双曲线C的右支交于A、B两点，求得k的范围，设线段AB的中点为M，利用弦长公式和求解出直线的方程 .
三、解答题
17．（2022高三上·安徽开学考）已知数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）证明：.
【答案】（1）解：由，得，
则是等比数列，首项为1，公比为3，
所以.
（2）证明：由（1）知，
，
又因为，
所以.
【知识点】等比数列概念与表示；数列的求和
【解析】【分析】(1)由题意可得 是以3为公比的等比数列，从而结合a1=1，即可得到的通项公式；
(2) 由（1）知， 从而可得 ，即可证得结论.
18．（2022高三上·安徽开学考）已知的内角所对的边分别是，满足.
（1）求角；
（2）若，且外接圆的直径为，求的面积.
【答案】（1）解：由正弦定理得，
因为，所以，即，
因为，所以，
所以，解得.
（2）解：设的外接圆半径为，则，
根据正弦定理，得，所以，
由余弦定理得，即，
所以，
所以的面积为.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)根据题意，把条件进行化简整理，利用辅助角公式化为单角表示，由角的取值范围，求解出角的大小；
(2)结合正余弦定理，整理化简得bc的值，根据(1)代入面积公式计算求出 的面积.
19．（2022高三上·安徽开学考）产品的质量是一个企业在市场中获得消费者信赖的重要因素，某企业对出厂的每批次产品都进行性能测试.某检验员在某批次的产品中抽取5个产品进行性能测试，现有甲 乙两种不同的测试方案，每个产品随机选择其中的一种进行测试，已知选择甲方案测试合格的概率为，选择乙方案测试合格的概率为，且每次测试的结果互不影响.
（1）若3个产品选择甲方案，2个产品选择乙方案.
（i）求5个产品全部测试合格的概率；
（ii）求4个产品测试合格的概率.
（2）若测试合格的产品个数的期望不小于3，求选择甲方案进行测试的产品个数.
【答案】（1）解：（i）因为3个产品选择甲方案，2个产品选择乙方案，
所以5个产品全部测试合格的概率为；
（ii）4个产品测试合格分两种情况，
第一种情况，3个产品甲方案测试合格和1个产品乙方案测试合格，
此时概率为；
第二种情况，2个产品甲方案测试合格和2个产品乙方案测试合格，
此时概率为；
所以4个产品测试合格的概率为
（2）解：设选择甲方案测试的产品个数为，则选择乙方案测试的产品个数为，并设通过甲方案测试合格的产品个数为，通过乙方案测试合格的产品个数为，
当时，此时所有产品均选择方案乙测试，则，
所以，符合题意；
当时，此时所有产品均选择方案甲测试，则，
所以，不符合题意；
当时，，
所以，
若使，，解得，则，
综上，选择甲方案测试的产品个数为时，测试合格的产品个数的期望不小于3.
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】(1) (i)利用乘法公式即可求解出 5个产品全部测试合格的概率；
(ii) 4个样品测试合格分两种情况： 第一种情况，3个产品甲方案测试合格和1个产品乙方案测试合格， 第二种情况2个样品甲方案测试合格和2个样品乙方案测试合格，利用互斥的加法公式即可求解出 4个产品测试合格的概率；
(2)设通过甲方案测试合格的样品个数为 ，通过乙方案测试合格的样品个数为Y，则 ，分类讨论即可求解出选择甲方案进行测试的产品个数.
20．（2022高三上·安徽开学考）如图，在三棱锥中，为的中点.
（1）证明：平面；
（2）若为棱的中点，求二面角的正弦值.
【答案】（1）证明：为的中点，
.
为的中点，.
平面，平面，
平面.
（2）解：，为的中点，，
.
又平面，
平面.
分别以为轴 轴 z轴建立空间直角坐标系，如图.
所以，，，，，
所以.
记为平面的法向量，
则，即，不妨令，则
而平面的法向量，
易知二面角的平面角为锐角记为，则.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)由已知证明OP⊥AC，OB⊥AC，由直线与平面垂直的判定可证得 平面；
(2) 以为轴 轴 z轴建立空间直角坐标系， 分别求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法即可求出二面角的正弦值.
21．（2022高三上·安徽开学考）已知椭圆的左 右焦点为，，且左焦点坐标为，为椭圆上的一个动点，的最大值为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若过点的直线与椭圆交于两点，点，记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：.
【答案】（1）解：因为左焦点坐标为，所以，
当点在上 下顶点时，最大，又的最大值为.
所以，
由得，
所以椭圆的标准方程为；
（2）解：当直线的斜率为0时，直线的方程为，
直线与椭圆没有交点，与条件矛盾，
故可设直线的方程为，
联立直线的方程与椭圆方程可得，，
化简可得，
所以，
由已知方程的判别式，
又直线过点，所以，
所以，所以，
设，
则，，
因为
所以，
所以
方法二：设直线的方程为，
由椭圆的方程，得.
联立直线的方程与椭圆方程，得，
即，
，
所以.
因为直线过定点，所以，代入，
得.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由题意可得c，b，进而可求a，可求出椭圆的标准方程；
(2)当直线斜率为0时，直线方程为y=-4，与椭圆无交点，与条件矛盾， 故可设直线的方程为， 设， 联立方程可得 ，进而有 ，， 可求出 的值，证得结论.
22．（2022高三上·安徽开学考）已知函数.
（1）若有两个极值点，求实数的取值范围；
（2）当时，求函数的零点个数.
【答案】（1）解：的定义域为，由题意得在上有两解，
即有两解.
令，即的图象与直线有两个交点.
，得，当时，单调递增；
当时，单调递减，
，，
当趋于正无穷时，趋于零，
，，
∴的取值范围是.
（2）解：，，
令，则，
当时，，
所以在上单调递增
因为，，
存在唯一的，使得，
当时，单调递减；
当时，单调递增，.
又，
.
又，在上单调递减，
在上有一个零点.
在上单调递增，且，
在上有一个零点.
综上可知，函数在上有两个零点.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1) )根据函数有两个极值点转化为导函数等于0有两不相等的根，分离参数后，转化为分析 大致图象，根据数形结合求解出实数的取值范围；
(2) 对函数 求导，确定函数 的单调性，结合零点存在性定理即可求解出函数的零点个数.
1 / 1安徽省皖南八校2022-2023学年高三上学期数学开学考试试卷
一、单选题
1．（2022高三上·安徽开学考）已知集合，则（　　）
A． B．
C． D．
2．（2022高三上·安徽开学考）若（为虚数单位），则复数（　　）
A． B． C．1 D．-1
3．（2022高三上·安徽开学考）已知向量，若，则的值为（　　）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
4．（2020高三上·福建月考）设 ， ， ，则（　　）
A． B． C． D．
5．（2022高三上·安徽开学考）某滑冰馆统计了2021年11月1日到30日某小区居民在该滑冰馆的锻炼天数，得到如图所示的频率分布直方图（将频率视为概率），则下列说法正确的是（　　）
A．该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数在区间内的最少
B．估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的中位数为16
C．估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的平均值大于14
D．估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数超过15天的概率为0.456
6．（2022高三上·安徽开学考）已知等差数列的前项和为，且，则（　　）
A．6 B．10 C．12 D．20
7．（2022高三上·安徽开学考）“”是“直线与直线平行”的（　　）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要
8．（2022高三上·安徽开学考）若曲线的一条切线的斜率为3，则该切线的方程可能为（　　）
A． B．
C． D．
9．（2022高三上·安徽开学考）函数的图象的一个对称中心为（　　）
A． B．
C． D．
10．（2022高三上·安徽开学考）如图，在正方体中，为的中点，点在四边形内（包括边界）运动，若平面，则的最小值为（　　）
A．1 B． C． D．
11．（2022高三上·安徽开学考）已知点在抛物线上，若以点为圆心半径为5的圆与抛物线的准线相切，且与轴相交的弦长为6，则（　　）
A．2 B．8 C．2或8 D．6
12．（2022高三上·安徽开学考）已知函数的图象关于直线对称，且对都有当时，.则（　　）
A．-1 B．1 C．2 D．-2
二、填空题
13．（2017·大连模拟）（x﹣ ）4的展开式中的常数项为　 　．
14．（2022高三上·安徽开学考）已知，则　 　.
15．（2022高三上·安徽开学考）已知正四棱锥的底面边长为3，高为2，若该四棱锥的五个顶点都在一个球面上，则球心到四棱锥侧面的距离为　 　.
16．（2022高三上·安徽开学考）已知双曲线的右焦点为，过点斜率为的直线与双曲线的右支交于两点，点，若的外心的横坐标为0，则直线的方程为　 　.
三、解答题
17．（2022高三上·安徽开学考）已知数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）证明：.
18．（2022高三上·安徽开学考）已知的内角所对的边分别是，满足.
（1）求角；
（2）若，且外接圆的直径为，求的面积.
19．（2022高三上·安徽开学考）产品的质量是一个企业在市场中获得消费者信赖的重要因素，某企业对出厂的每批次产品都进行性能测试.某检验员在某批次的产品中抽取5个产品进行性能测试，现有甲 乙两种不同的测试方案，每个产品随机选择其中的一种进行测试，已知选择甲方案测试合格的概率为，选择乙方案测试合格的概率为，且每次测试的结果互不影响.
（1）若3个产品选择甲方案，2个产品选择乙方案.
（i）求5个产品全部测试合格的概率；
（ii）求4个产品测试合格的概率.
（2）若测试合格的产品个数的期望不小于3，求选择甲方案进行测试的产品个数.
20．（2022高三上·安徽开学考）如图，在三棱锥中，为的中点.
（1）证明：平面；
（2）若为棱的中点，求二面角的正弦值.
21．（2022高三上·安徽开学考）已知椭圆的左 右焦点为，，且左焦点坐标为，为椭圆上的一个动点，的最大值为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若过点的直线与椭圆交于两点，点，记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：.
22．（2022高三上·安徽开学考）已知函数.
（1）若有两个极值点，求实数的取值范围；
（2）当时，求函数的零点个数.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】因为，
所以，
故答案为：B.
【分析】 求出函数的值域得到集合M、N，再求交集，即可得答案.
2．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为，所以，
故答案为：A.
【分析】 根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解出答案.
3．【答案】B
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】由题可知，，解得.
故答案为：B
【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解出 的值 .
4．【答案】A
【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】根据指数函数的性质可得 ，由指数函数的性质可得， ， ，所以 ，
故答案为：A.
【分析】根据指数函数的性质和对数函数的性质进行判断可得答案。
5．【答案】C
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【解答】频率分布直方图中，面积最小的矩形条所在的区间为，即样本中区间内的数据频率最小，频数也最小，A错误，
由频率分布直方图可得，前三个小矩形的面积之和为，所以估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的中位数小于15，B错误；
由频率分布直方图可得，，C正确；
由频率分布直方图可得，该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数超过15天的频率为，故锻炼天数超过15天的概率为0.465，D错误.
故答案为：C.
【分析】由频率分布直方图比较各区间的频率大小，由此确定各区间的频率大小，由此判断A；计算样本数据的中位数和平均数，判断B， C；再求锻炼天数超过15天的概率，由此估计概率，能判断D.
6．【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】由题意，设数列公差为，因为，
解得，所以.
故答案为：B.
【分析】 由已知结合等差数列的通项公式及求和公式，即可求解出答案.
7．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；两条直线平行的判定
【解析】【解答】因为，所以直线，直线，则与平行，故充分条件成立；
当直线与直线平行时，，解得或，当时，直线与直线重合，当时，直线，直线平行，故必要条件成立.
综上知，“”是“直线与直线平行”的充要条件.
故答案为：A.
【分析】 先由直线平行求出相应的m的值，然后根据充分条件、必要条件的定义即可判断出答案.
8．【答案】C
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】设切线的切点坐标为，
，
所以或，所以切点坐标为或
所求的切线方程为或.
故答案为：C.
【分析】 求出原函数的导函数，利用导函数值为3，求解出切点坐标，再由直线方程的点斜式得切线方程.
9．【答案】D
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】由，可得，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
所以为图象的一个对称中心，
故答案为：D
【分析】 由题意利用正切函数的图象的对称性，得出答案.
10．【答案】B
【知识点】直线与平面平行的性质
【解析】【解答】取的中点分别为，连接，
四边形中，，且，则四边形为平行四边形，则，
同理易得四边形为平行四边形，则，
因为平面平面，所以平面，
又因为平面平面，所以平面，，平面，所以平面平面，
因为平面，则平面，
当时，有最小值，则易求出为的中点，，所以的最小值为，
故答案为：B.
【分析】取的中点分别为，连接，由面面平行判定定理可得平面平面，得平面，此时平面，当时，有最小值，求解可得答案.
11．【答案】C
【知识点】圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：设，因为点在抛物线上，所以，又抛物线的准线为，
以点为圆心的圆与的准线相切，所以，
圆与轴相交的弦长为6，所以，
所以，解得或.
故答案为：C.
【分析】 设，由条件结合直线与圆的位置关系，列方程求解出p的值.
12．【答案】D
【知识点】函数的周期性；函数的值
【解析】【解答】函数的图象关于直线对称，
函数的图象关于直线对称，
，
取可得，
∴
又对有，
取可得，
所以.，，
，
，即，
的周期.
故答案为：D.
【分析】 根据条件分析出对称轴和对称中心，进而得到周期，可以把f (2022)转化到 时进行求解，可得答案.
13．【答案】6
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解： 的通项为 =（﹣1）rC4rx4﹣2r
令4﹣2r=0得r=2
∴展开式的常数项为T3=C42=6
故答案为6
【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0得常数项．
14．【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】因为，所以，所以.
因为，
所以
故答案为：
【分析】 由同角三角函数的基本关系式，可得，再结合两角差的正切公式，展开运算求解出 的值 .
15．【答案】
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】如图所示，该四棱锥为，底面中心为，外接球球心为，
设，由题意，所以
所以，解得，
因为是等腰三角形，，边上的高为，
所以，
又，，
设点到平面的距离为，则三棱锥的体积为，即，解得，
故答案为：.
【分析】 由条件确定球心位置，再由等体积法求球心到四棱锥侧面的距离，即可求出球心到四棱锥侧面的距离 .
16．【答案】或
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】由知，设直线的方程为，
联立方程组得，
由直线与双曲线右支交于两点可得
解得，即或.
设，则，
因为，
所以线段的中点为，
且.
设，因为在线段的垂直平分线上，所以，
得，即，故.
因为，且，
所以，
化简得，
得或（舍去），
所以直线的方程为，
即直线的方程为或.
故答案为：或
【分析】设直线的方程为，与双曲线方程联立，根据直线与双曲线C的右支交于A、B两点，求得k的范围，设线段AB的中点为M，利用弦长公式和求解出直线的方程 .
17．【答案】（1）解：由，得，
则是等比数列，首项为1，公比为3，
所以.
（2）证明：由（1）知，
，
又因为，
所以.
【知识点】等比数列概念与表示；数列的求和
【解析】【分析】(1)由题意可得 是以3为公比的等比数列，从而结合a1=1，即可得到的通项公式；
(2) 由（1）知， 从而可得 ，即可证得结论.
18．【答案】（1）解：由正弦定理得，
因为，所以，即，
因为，所以，
所以，解得.
（2）解：设的外接圆半径为，则，
根据正弦定理，得，所以，
由余弦定理得，即，
所以，
所以的面积为.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)根据题意，把条件进行化简整理，利用辅助角公式化为单角表示，由角的取值范围，求解出角的大小；
(2)结合正余弦定理，整理化简得bc的值，根据(1)代入面积公式计算求出 的面积.
19．【答案】（1）解：（i）因为3个产品选择甲方案，2个产品选择乙方案，
所以5个产品全部测试合格的概率为；
（ii）4个产品测试合格分两种情况，
第一种情况，3个产品甲方案测试合格和1个产品乙方案测试合格，
此时概率为；
第二种情况，2个产品甲方案测试合格和2个产品乙方案测试合格，
此时概率为；
所以4个产品测试合格的概率为
（2）解：设选择甲方案测试的产品个数为，则选择乙方案测试的产品个数为，并设通过甲方案测试合格的产品个数为，通过乙方案测试合格的产品个数为，
当时，此时所有产品均选择方案乙测试，则，
所以，符合题意；
当时，此时所有产品均选择方案甲测试，则，
所以，不符合题意；
当时，，
所以，
若使，，解得，则，
综上，选择甲方案测试的产品个数为时，测试合格的产品个数的期望不小于3.
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】(1) (i)利用乘法公式即可求解出 5个产品全部测试合格的概率；
(ii) 4个样品测试合格分两种情况： 第一种情况，3个产品甲方案测试合格和1个产品乙方案测试合格， 第二种情况2个样品甲方案测试合格和2个样品乙方案测试合格，利用互斥的加法公式即可求解出 4个产品测试合格的概率；
(2)设通过甲方案测试合格的样品个数为 ，通过乙方案测试合格的样品个数为Y，则 ，分类讨论即可求解出选择甲方案进行测试的产品个数.
20．【答案】（1）证明：为的中点，
.
为的中点，.
平面，平面，
平面.
（2）解：，为的中点，，
.
又平面，
平面.
分别以为轴 轴 z轴建立空间直角坐标系，如图.
所以，，，，，
所以.
记为平面的法向量，
则，即，不妨令，则
而平面的法向量，
易知二面角的平面角为锐角记为，则.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)由已知证明OP⊥AC，OB⊥AC，由直线与平面垂直的判定可证得 平面；
(2) 以为轴 轴 z轴建立空间直角坐标系， 分别求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法即可求出二面角的正弦值.
21．【答案】（1）解：因为左焦点坐标为，所以，
当点在上 下顶点时，最大，又的最大值为.
所以，
由得，
所以椭圆的标准方程为；
（2）解：当直线的斜率为0时，直线的方程为，
直线与椭圆没有交点，与条件矛盾，
故可设直线的方程为，
联立直线的方程与椭圆方程可得，，
化简可得，
所以，
由已知方程的判别式，
又直线过点，所以，
所以，所以，
设，
则，，
因为
所以，
所以
方法二：设直线的方程为，
由椭圆的方程，得.
联立直线的方程与椭圆方程，得，
即，
，
所以.
因为直线过定点，所以，代入，
得.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由题意可得c，b，进而可求a，可求出椭圆的标准方程；
(2)当直线斜率为0时，直线方程为y=-4，与椭圆无交点，与条件矛盾， 故可设直线的方程为， 设， 联立方程可得 ，进而有 ，， 可求出 的值，证得结论.
22．【答案】（1）解：的定义域为，由题意得在上有两解，
即有两解.
令，即的图象与直线有两个交点.
，得，当时，单调递增；
当时，单调递减，
，，
当趋于正无穷时，趋于零，
，，
∴的取值范围是.
（2）解：，，
令，则，
当时，，
所以在上单调递增
因为，，
存在唯一的，使得，
当时，单调递减；
当时，单调递增，.
又，
.
又，在上单调递减，
在上有一个零点.
在上单调递增，且，
在上有一个零点.
综上可知，函数在上有两个零点.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1) )根据函数有两个极值点转化为导函数等于0有两不相等的根，分离参数后，转化为分析 大致图象，根据数形结合求解出实数的取值范围；
(2) 对函数 求导，确定函数 的单调性，结合零点存在性定理即可求解出函数的零点个数.
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