福建省福州延安中学2021-2022学年高三上学期开学考试数学试卷（含答案）

2021-2022高三（上）福州延安中学开学考卷
一、选择题：
1．已知点，则角的终边在　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知的值是(　　
A． B． C． D．
3．算式，则　　
A． B．0 C．1 D．2
4．铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过，设携带品的外部尺寸长、宽、高分别为，，（单位：，这个规定用数学关系式可表示为　 　
A． B． C． D．
5．已知全集，2，4，6，8，，集合，4，，则等于　　
A．， B．， C．，4， D．，4，
6．若，则下列各式正确的是　　
A． B． C． D．
7．如图，在正六边形中，点为其中心，则下列判断错误的是　　
A． B． C． D．
8．在空间中，下列命题正确的是　　
A．平行于同一平面的两条直线平行 B．平行于同一直线的两个平面平行
C．垂直于同一直线的两条直线平行 D．垂直于同一平面的两条直线平行
9．圆心在上，半径为3的圆的标准方程为　　
A． B．
C． D．
10．若直线与直线平行，则实数等于　　
A． B． C． D．
11．下列向量中，与垂直的向量是　　
A． B． C． D．
12.为检查某校学生心理健康情况，市教委从该校1400名学生中随机抽查400名学生，检查他们心理健康程度，则下列说法正确的是　　
A．1400名学生的心理健康情况是总体 B．每个学生是个体
C．400名学生是总体的一个样本 D．400名学生为样本容量
13．容量100的样本数据，按从小到大的顺序分8组，如表：
组号 1 2 3 4 5 6 7 8
频数 10 13 14 15 13 12 9
第三组的频数和频率分别是　　
A．14和0.14 B．0.14和14 C．和0.14 D．和
14．已知函数若，则的取值范围是　　
A． B．或 C． D．或
15．已知，则的取值范围是　　
A． B．
C． D．
二．填空题（共5小题）
16．函数的最小正周期　　．
17．已知，，则与夹角的余弦值为　　．
18．正方体的全面积是，它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是　　．
19．在中，若，，，则等于　　．
20．为等差数列，，，则　 　．
三．解答题（共7小题）
21．已知，求：的值.
22．求到两个定点，的距离之比等于2的点的轨迹方程．
23．已知是各项为正数的等比数列，且，，求该数列前10项的和．
24．如图，在直三棱柱中，，，，求异面直线与所成角的度数．
25．某化工厂生产的某种化工产品，当年产量在150吨至250吨之间，其生产的总成本（万元）与年产量（吨之间的函数关系式可近似地表示为
问：
（1）年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低？并求出最低成本？
（2）若每吨平均出厂价为16万元，则年产量为多少吨时，可获得最大利润？并求出最大利润？
26．已知函数．
（Ⅰ）当时，求曲线则处的切线方程；
（Ⅱ）若恒成立，求的取值范围．
27．已知函数．
（1）当时，求证：；
（2）讨论函数在上的零点个数，并求出相对应的的取值范围．
2021-2022高三（上）福州延安中学开学考卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共13小题）
1．已知已知点，，则角的终边在　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】由题意利用三角函数在各个象限中的符号，得出结论．
【解答】送分题，
故选：．
【点评】本题主要考查三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．
2．已知的值是(　　
A． B． C． D．
【解答】二倍角公式，2sinAcosA=sin2A
故选：．
3．已知，则　　
A． B．0 C．1 D．2
【分析】根据函数的解析式，求出的值．
【解答】解：，
．
故选：．
【点评】本题考查了已知函数的解析式求函数值的问题，可以代入自变量的值计算即可，是基础题．
4．铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过，设携带品的外部尺寸长、宽、高分别为，，（单位：，这个规定用数学关系式可表示为　　
A． B． C． D．
【分析】根据题意列出不等式即可．
【解答】解：由题意可知．
故选：．
【点评】本题考查了不等关系与不等式，属于基础题．
5．已知全集，2，4，6，8，，集合，4，，则等于　　
A．， B．， C．，4， D．，4，
【分析】根据全集和集合先求出集合的补集.
【解答】解：由全集，2，4，6，8，，集合，4，，
则，8，，
故选：C．
【点评】此题考查了补集及并集的运算，是一道基础题，学生在求补集时应注意全集的范围．
6．若，则下列各式正确的是　　
A． B． C． D．
【分析】由不等式的基本性质，逐一检验即可．
【解答】解：因为，所以，故选项正确，
，故选项错误，
，故选项错误，
，无法比较大小，故选项错误，
故选：．
【点评】本题考查了不等式的基本性质，属简单题．
7．如图，在正六边形中，点为其中心，则下列判断错误的是　　
A． B． C． D．
【分析】根据正六边形性质及相等向量的定义可得答案．
【解答】解：由图可知，，但不共线，故，
故选：．
【点评】本题考查平行向量与共线向量、相等向量的意义，属基础题．
8．在空间中，下列命题正确的是　　
A．平行于同一平面的两条直线平行 B．平行于同一直线的两个平面平行
C．垂直于同一直线的两条直线平行 D．垂直于同一平面的两条直线平行
【分析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论．
【解答】解：对于，平行于同一平面的两条直线平行、相交或异面，不正确；
对于，平行于同一直线的两个平面平行或相交，不正确；
对于，垂直于同一直线的两条直线平行、相交或异面，不正确；
对于，垂直于同一平面的两条直线平行，正确．
故选：．
【点评】本题考查线面位置关系的运用，考查学生的计算能力，比较基础．
9．圆心在上，半径为3的圆的标准方程为　　
A． B．
C． D．
【分析】直接根据圆心为，半径为3，可得圆的标准方程．
【解答】解：根据圆心为，半径为3，可得圆的标准方程为，
故选：．
【点评】本题主要考查圆的标准方程的特征，属于中档题．
10．若直线与直线平行，则实数等于　　
A． B． C． D．
【分析】两直线平行，它们的斜率相等，解方程求出实数的值．
【解答】解：因为两直线平行，所以，它们的斜率相等，即，即．
故选：．
【点评】本题考查两直线平行的性质，斜率都存在的两直线平行时，他们得斜率一定相等．
11．下列向量中，与垂直的向量是　　
A． B． C． D．
【分析】分别求出向量和，，，四个备选向量的乘积，如果乘积等于0，则这两个向量垂直，否则不垂直．
【解答】解：对于，，，成立；
对于，，，不成立；
对于，，，不成立；
对于，，，不成立；
故选：．
【点评】本题考查向量的数量积和两个平面垂直的条件的灵活运用，解题时要认真审题，仔细解答，属基础题．
【点评】本题考查频率分布，这种问题通常以选择和填空的形式出现，是能得分的题目．
12.为检查某校学生心理健康情况，市教委从该校1400名学生中随机抽查400名学生，检查他们心理健康程度，则下列说法正确的是　　
A．1400名学生的心理健康情况是总体 B．每个学生是个体
C．400名学生是总体的一个样本 D．400名学生为样本容量
【解答】解：考察对总体、个体、样本以及样本容量概念的理解．
故选：．
13．容量100的样本数据，按从小到大的顺序分8组，如表：
组号 1 2 3 4 5 6 7 8
频数 10 13 14 15 13 12 9
第三组的频数和频率分别是　　
A．14和0.14 B．0.14和14 C．和0.14 D．和
【分析】由容量100的样本数据知有100个数字，而其他组的数字个数都是已知，得到要求的结果，根据样本容量和本组数据的个数得到本组数据的频率．
【解答】解：由容量100的样本数据知有100个数字，
而其他组的数字个数都是已知，
频数为
频率为．
故选：．
14．已知函数若，则的取值范围是　　
A． B．或 C． D．或
【解答】解： 数形结合，在时，不存在;在时，根据，解得
故选：A
15．已知，则的取值范围是　　
A． B．
C． D．
【解答】
二．填空题（共5小题）
16．函数的最小正周期　　．
【分析】直接利用余弦函数的周期的求法，求出函数的周期即可．
【解答】解：因为函数，所以函数的最小正周期为：．
故答案为：．
【点评】本题是基础题，考查三角函数的周期的求法，送分题．
17．已知，，则与夹角的余弦值为　　．
【分析】直接利用向量的夹角公式求出结果．
【解答】解：因为，，
所以，，，
所以．
【点评】本题考查的知识要点：向量的数量积和向量的夹角公式，向量的模，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
18．正方体的全面积是，它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是　　．
【分析】设球的半径为，则正方体的对角线长为，正方体的棱长为，利用正方体的表面积求出与球的半径的等式，然后求出球的表面积．
【解答】解：设球的半径为，则正方体的对角线长为，
依题意知
即，
．
故答案为：．
【点评】本题考查球的表面积，球的内接体问题，考查计算能力，是基础题．
19．在中，若，，，则等于　　．
【分析】根据三角形内角和求得，进而根据正弦定理求得．
【解答】解：根据三角形内角和定理知
．
根据正弦定理得，
即，．
故答案为：
【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．考查了学生对基础知识的运用．
20．为等差数列，，，则　99　．
【分析】两式相加结合等差数列的性质可得，而，代入可得．
【解答】解：在等差数列中，由，，
两式相加可得，
而由等差数列的性质可得，
故可得，解得，
故，
故答案为：99．
【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．
三．解答题（共7小题）
21．已知，求：的值.
【分析】弦化切，代入计算，即可得出结论．
【解答】
【点评】本题考查同角三角函数基本关系的运用，考查学生的计算能力，比较基础．
22．求到两个定点，的距离之比等于2的点的轨迹方程．
【分析】设出的坐标，利用到两个定点，的距离之比等于2，通过两点的距离公式列出方程，化简即可．
【解答】解：设，为所求轨迹上任一点，则有，
，整理得．
【点评】本题是基础题，考查曲线轨迹方程的求法，注意正确审题，考查分析问题解决问题的能力，计算能力．
23．已知是各项为正数的等比数列，且，，求该数列前10项的和．
【分析】根据题意，设等比数列的公比为，由等比数列的性质可得，解可得或，分析可得的值，结合等比数列的前项和公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，设等比数列的公比为，
若，，则，
解可得或，
又由是各项为正数的等比数列，则，
则；
故该数列前10项的和．
【点评】本题考查等比数列的前项和公式的应用，关键求出等比数列的公比．
24．如图，在直三棱柱中，，，，求异面直线与所成角的度数．
【解答】
【点评】本题考查异面直线所成角的大小的求法
25．某化工厂生产的某种化工产品，当年产量在150吨至250吨之间，其生产的总成本（万元）与年产量（吨之间的函数关系式可近似地表示为
问：
（1）年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低？并求出最低成本？
（2）若每吨平均出厂价为16万元，则年产量为多少吨时，可获得最大利润？并求出最大利润？
【分析】（1）利用总成本除以年产量表示出平均成本，利用基本不等式求出平均成本的最小值．
（2）利用收入减去总成本表示出年利润，通过配方求出二次函数的对称轴，由于开口向下，对称轴处取得最大值．
【解答】解：（1）设每吨的平均成本为（万元，
则，（4分）
当且仅当，时每吨平均成本最低，且最低成本为10万元．（6分）
（2）设年利润为（万元），
则．（11分）
所以当年产量为230吨时，最大年利润1290万元．（12分）
【点评】本题考查将实际问题的最值问题转化为函数的最值问题、考查利用基本不等式求函数的最值需满足：正、二定、三相等、考查求二次函数的最值关键看对称轴．
26．已知函数．
（Ⅰ）当时，求曲线则处的切线方程；
（Ⅱ）若恒成立，求的取值范围．
【分析】（1）求出切点坐标，切线的斜率，然后求解切线方程．
（2）函数恒成立，即恒成立．分离变量，得，恒成立，则只需大于等于的最大值即可．用导数求出的最大值即可．
【解答】解：（1）时，函数，可得，
所以（1），时，（1）．
曲线在处的切线方程；
即：；
（2）由条件可得，
则当时，恒成立，
令，则，
令，
则当时，，所以在上为减函数．
又（1），
所以在上，；在上，．
所以在上为增函数；在上为减函数．
所以（1），所以．
27．已知函数．
（1）当时，求证：；
（2）讨论函数在上的零点个数，并求出相对应的的取值范围．
【分析】（1）当时，构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性和最值进行证明即可．
（2）求函数的导数，研究函数的单调性和极值，结合极值与0的关系进行判断即可．
【解答】（1）证明：当时．．
令．
则．令．得．
当时，，当时，
所以在，内是减函数．
在内是增函数，
所以是的极小值点，也是最小值，
即．
故当时，成立
（2）解：，由．得．
当时，；当时，
所以在上是减函数，在．内是增函数，
所以是函数的极小值同时也是最小值点，
即，
当，即时，在上没有零点，
当，即时，在上只有1个零点，
当，即时，因为．
所以在内只有一个零点，由（1）得，令，则得．
所以（a）．
于是在内有一个零点；
因此．当时，在上有两个零点．
综上当时，函数在上没有零点，
当时，函数在上有一个零点；
当时，函数在上有两个零点．