湖南省邵阳市第二高级中学校2022-2023学年高二上学期9月入学考试数学试题（PDF版含解析）

2022-2023 学年度邵阳市第二中学高中数学试卷
高二一期入学试卷
考试分值：150 分；考试时间：120 分钟；命题人：
第 I卷（选择题）
一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5分,共 40 分,在每个小题给出的 4个选项中,只有
一项是符合题目要求的.
1．若集合M {x∣ x 4}, N {x∣3x 1}，则M N （ ）
1 A． x 0 x 2 B． x x 2 C． 1 x 3 x 16 D． x x 16
3 3
2．若复数 z满足 i z 3 4i ，则 z （ ）
A．1 B．5 C．7 D．25

3．已知向量a (3, 4),b (1,0),c a tb，若 a,c b,c ，则 t （ ）
A． 6 B． 5 C．5 D．6
4．已知正三棱锥P ABC的六条棱长均为 6，S是 ABC及其内部的点构成的集合．设
集合T Q S PQ 5 ，则 T表示的区域的面积为（ ）
3
A． B． C．2 D．3
4
5．如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，A1B1 的中点是 P，过点 A1作与截面
PBC1平行的截面，则该截面的面积为（ ）
A．2 2 B．2 3 C．2 6 D．4
6．在 ABC中， AC 3,BC 4, C 90 ．P为 ABC所在平面内的动点，且 PC 1，

则PA PB的取值范围是（ ）
A．[ 5,3] B．[ 3,5] C．[ 6,4] D．[ 4,6]
1
7．一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F 为 6 个开关，其闭合的概率为 ，且是相
2
互独立的，则灯亮的概率是( )
试卷第 1 页，共 5 页
1 55 1 1
A． B． C． D．
64 64 8 16
8．设函数 f x 的定义域为 R， f x 1 为奇函数， f x 2 为偶函数，当 x 1,2 时，
9
f (x) ax2 b．若 f 0 f 3 6，则 f （ ）
2
9 3 7 5
A． B． C． D．
4 2 4 2
二、多选题(4 个小题每个题 5分共计 20 分，在每个小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求。全部选对得 5分，部分对的得 2分，有选错的得 0分。)
9．已知事件A ， B，且P A 0.5，P B 0.2，则下列结论正确的是（ ）
A．如果B A，那么P A B 0.2，P AB 0.5
B．如果A 与 B互斥，那么P A B 0.7，P AB 0
C．如果A 与 B相互独立，那么P A B 0.7，P AB 0
D．如果A 与 B相互独立，那么 P AB 0.4 ，P AB 0.4
10．在 ABC中，角A ， B，C所对的边分别为a，b，c，已知
b c : c a : a b 4 :5 : 6 ，则下列结论正确的是（ ）
A．sin A : sinB : sinC 7 :5 :3

B．CA AB 0
C．若 c 6 ，则 ABC的面积是 15
D．若b c 8，则 ABC 7 3外接圆半径是
3

11．已知函数 f (x) Asin( x )

， A

0, 0, 部分图象如图所示，下列说法
2
不正确的是（ ）
试卷第 2 页，共 5 页
2 A． f x 的图象关于直线 x 对称
3
B． f x 5 的图象关于点 , 0 对称
12

C．将函数 y 3 sin 2x cos 2x的图象向左平移 个单位得到函数 f x 的图象
2
D．若方程 f x m 在 , 0 上有两个不相等的实数根，则 m的取值范围是 2, 3 2
1
12．如图直角梯形 ABCD中，AB//CD，AB BC，BC CD AB 2，E为 AB中点.
2
以DE 为折痕把△ADE 折起，使点 A到达点 P的位置，且PC 2 3 则（ ）
A．平面PED 平面PCD B．PC BD

C．二面角P DC B的大小为 D．PC与平面 PED所成角的正切值为 2
4
第 II 卷（非选择题）
三、填空题(本题共 4小题,每题 5分,共 20 分)
13．为了了解高一、高二、高三年级学生的身体状况，现用分层随机抽样的方法抽取一
个容量为1200的样本，三个年级学生人数之比依次为 k : 5 : 3 .已知高一年级共抽取了 240
人，则高三年级抽取的人数为___________人.

14．已知空间向量a,b,c满足a b c 0 ， a 3, b 1, c 4，则a b b c c a的值为
试卷第 3 页，共 5 页
________．
15．已知三棱锥P ABC内接于半径为 5 的球， ACB 90 ，AC 7 ，BC = 15 ，则
三棱锥P ABC体积的最大值为________

16．设e1 ，e2 为单位向量，满足 | 2e1 e2 | 2 ，a e1 e2 ，b 3e1 e2 ，设a，b的夹角
为 ，则cos2 的最小值为_______．
四、(解答题共 70 分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。)

17(10 分)．已知向量a 3,2 ,b x , 1 .

(1)当 2a b b时,求 a 2b ；

(2)当 c 8, 1 ，a// b c ，求向量a与b的夹角 .
sin A sin B sinC sin B
18．(12 分)已知 ABC的内角 A,B,C满足 .
sinC sin B sinC sin A
(1)求角A ；
(2)若 ABC的外接圆半径为 1，求 ABC的面积S 的最大值.
19．(12 分)进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土
地资源的消耗，具有社会 经济 生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事.
为了普及垃圾分类知识，某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知
甲同学答对每题的概率都为 p，乙同学答对每题的概率都为q p q ，且在考试中每人
1
各题答题结果互不影响.已知每题甲，乙同时答对的概率为 ，恰有一人答对的概率为
2
5
.
12
（1）求 p和q的值；
（2）试求两人共答对 3 道题的概率.
20．(12 分)如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出 40名，将其成绩（均．为．整．数．）整
理后画出的频率分布直方图如下：观察图形，回答下列问题：
试卷第 4 页，共 5 页
（1）80 ~ 90 这一组的频数 频率分别是多少？
（2）估计这次环保知识竞赛成绩的平均数 众数 中位数.
（3）从成绩是80分以上（包括80分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率.
21．(12 分)如图，直三棱柱 ABC A1B1C1的体积为 4，△A BC 的面积为2 2 ．
(1)求 A到平面 A1BC的距离；
(2)设 D为 A1C的中点，AA1 AB，平面 A1BC 平面 ABB1A1 ，求二面角 A BD C的正
弦值．
22．(12 分)已知函数 f (x) 2cos x 3 sin x cos x 1( 0) ， f (x) 的最小正周期为
.
(1)求 f (x) 单调递增区间；
(2)是否存在实数 m满足对任意 x1 ln 2, ln 2 ，任意 x2 R，使
e2x1 e 2x1 m(ex1 e x1 ) 5 f (x2 ) 成立.若存在，求 m的取值范围；若不存在，说明理由.
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参考答案：
1．D
【分析】求出集合M ,N后可求M N .
1 1
【详解】M {x∣0 x 16},N {x∣x }，故M N x x 16 ，
3 3
故选：D
2．B
【分析】利用复数四则运算，先求出 z，再计算复数的模．
3 4i 3 4i i
z 4 3i 2 2【详解】由题意有 ，故 | z | 4 3 5． i i i
故选：B．
3．C
4．B
【分析】求出以 P为球心，5 为半径的球与底面 ABC的截面圆的半径后可求区域的面积.
【详解】
设顶点 P在底面上的投影为O，连接BO，则O为三角形 ABC的中心，
2 3
且BO 6 2 3 ，故PO 36 12 2 6 .
3 2
因为PQ 5，故OQ 1，
故S 的轨迹为以O为圆心，1 为半径的圆，
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3
2 36
而三角形 ABC内切圆的圆心为O，半径为 4 ，
3 1
3 6
故S 的轨迹圆在三角形 ABC内部，故其面积为
故选：B
5．C
【分析】在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，A1B1 的中点是 P，过点 A1作与截面PBC1
平行的截面，则该截面是一个对角线分别为正方体体对角线和面对角线的菱形，进而得到答
案
【详解】在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，A1B1 的中点是 P，过点 A1作与截面PBC1
平行的截面，则该截面是一个对角线分别为正方体体对角线和面对角线的菱形，如下图所示：
则EF 2 2 ， A1C 2 3 ， EF A1C
1
则截面的面积 S EF A1C 2 6 2
故选C
【点睛】本题主要考查的知识点是空间立体几何中截面的形状的判断，面面平行性质，四棱
柱的结构特征，解答本题的关键是画出截面，并分析其几何特征，属于中档题．
6．D

【分析】依题意建立平面直角坐标系，设P cosθ, sinθ ，表示出PA，PB，根据数量积的
坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；
【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则C 0,0 ， A 3,0 ，B 0,4 ，
答案第 2 页，共 15 页
因为PC 1，所以 P在以C为圆心，1为半径的圆上运动，
设P cosθ, sinθ ， 0,2 ，

所以PA 3 cos , sin ，PB cos , 4 sin ，

所以PA PB cos 3 cos 4 sin sin
cos2 3cos 4sin sin2
1 3cos 4sin
41 5sin ，其中 sin 3 ， cos ，
5 5

因为 1 sin 1，所以 4 1 5sin 6，即PA PB 4,6 ；
故选：D
7．B
【详解】设A 与 B中至少有一个不闭合的事件为T ,E与 F 至少有一个不闭合的事件为 R，则
1 1 3P T P R 1 ，所以灯亮的概率为P 1 P T P R
2 2 4
3 3 1 1 55P C P D 1 ， 故选 B.
4 4 2 2 64
【方法点睛】本题主要考查独立事件、对立事件的概率公式，属于难题.解答这类综合性的
概率问题一定要把事件的独立性、互斥性与对立性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进
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行分析，也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和，再把其中的每个事件拆成
若干个相互独立的事件的积，这种把复杂事件转化为简单事件，综合事件转化为单一事件的
思想方法在概率计算中特别重要.
8．D
【分析】通过 f x 1 是奇函数和 f x 2 是偶函数条件，可以确定出函数解析式
f x 2x2 2 ，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．
【详解】因为 f x 1 是奇函数，所以 f x 1 f x 1 ①；
因为 f x 2 是偶函数，所以 f x 2 f x 2 ②．
令 x 1，由①得： f 0 f 2 4a b ，由②得： f 3 f 1 a b，
因为 f 0 f 3 6，所以 4a b a b 6 a 2，
令 x 0，由①得： f 1 f 1 f 1 0 b 2，所以 f x 2x2 2 ．
思路一：从定义入手．
9 5 5 1
f f 2 f 2 f
2

2 2 2
1 3 3 5
f f 1 f 1 f
2 2

2 2
5 1 1 3 f f 2

f 2 = f
2 2 2 2

9 3 5
所以 f f ．
2 2 2
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数 f x 的周期T 4．
9 1 3 5
所以 f f f2
．
2 2 2
故选：D．
【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进
而达到简便计算的效果．
9．BD
【分析】A 选项在B A前提下，计算出P A B 0.5，P AB 0.2，即可判断；B 选项
在A 与 B互斥前提下，计算出P A B 0.7，P AB 0，即可判断；C、D 选项在A 与B
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相互独立前提下，计算出P A B 0.7， P AB 0.1， P AB P A P B 0.4，
P AB P A P B 0.4，即可判断.
【详解】解：A 选项：如果 B A，那么P A B 0.5，P AB 0.2，故 A 选项错误；
B 选项：如果A 与 B互斥，那么P A B 0.7，P AB 0，故 B 选项正确；
C 选项：如果A 与 B相互独立，那么P A B 0.7，P AB 0.1，故 C 选项错误；
D 选项：如果A 与 B相互独立，那么P AB P A P B 0.4，P AB P A P B 0.4，
故 D 选项正确.
故选：BD.
【点睛】本题考查在包含关系，互斥关系，相互独立的前提下的和事件与积事件的概率，是
基础题.
10．AD
【分析】根据题意可设b c 4k，c a 5k，a b 6k，进而有a 3.5k，b 2.5k，c 1.5k，
利用正弦定理、平面向量的数量积和余弦定理、三角形面积公式化简计算依次判断选项即可.
【详解】依题意，设b c 4k，c a 5k，a b 6k，所以a 3.5k，b 2.5k，c 1.5k，
A：由正弦定理得：sin A : sinB : sinC a :b : c 7 :5 :3，故选项 A 正确；
b2 c2 a2 b2 c2 a2 2.52 1.52 3.52 15
B： AB AC bccos A bc k 2 k 2 0 ，
2bc 2 2 8
15
所以CA AB AC AB k 2 0，故选项 B 错误；
8
102 62 142 1
C：若 c 6 ，则k 4，所以a 14，b 10，所以cos A ，
2 10 6 2
3 1 1 3
所以sin A ，故 ABC的面积是： bc sin A 6 10 15 3，
2 2 2 2
故选项 C 错误；
5
2 32 72 1
D：若b c 8，则k 2，所以a 7，b 5，c 3，所以cos A ，
2 5 3 2
3 1 a 7 3
所以sin A ，则利用正弦定理得： ABC的外接圆半径是： ，
2 2 sin A 3
故选项 D 正确.
故选：AD
11．ABC
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【分析】根据函数 f x Asin x 的部分图象求出函数解析式，然后根据正弦函数的性
质一一判断．
1 2
【详解】解:由函数的图象可得 A 2，由 ，求得 2．
4 3 12

再根据五点法作图可得2 2k ，又 ，求得 ，
3 2 3

∴ 函数 f x 2sin 2x ，
3
2 5
当 x 时， f x 2sin
3 3
2sin 3 ，不是最值，故 A 不成立；
3
5
当 x 时， f x 2sin 2，不等于零，故 B 不成立；
12 2

将函数 y 3 sin 2x cos 2x 2sin 2x 的图象向左平移 个单位得到函数
6 2
5
y sin 2

x

sin

2x

的图象，故 C 不成立；
2 6

6
2
当 x

,0 时，2x , ， 2 3 3 3
∵
2

3
sin sin 3 3
，sin 1，
2 2

故方程 f x m在 ,0 上有两个不相等的实数根时，则m的取值范围是 2, 3 ，故 2
D 成立．
故选:ABC.
【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，解答的关键是由函数 f x Asin x 的部分
图象求出函数解析式，属于基础题．
12．ABC
【解析】先证明 PE 平面DEBC，得 PE DC，再结合DC DE，即证DC 平面 PED，
所以平面PED 平面PCD，判断A正确；利用投影判断PC BD，判断B正确；先判断 PDE

即为二面角P DC B的平面角，再等腰直角三角形判断 PDE ，即 C 正确；先判断
4
CD
CPD为PC与平面 PED所成的角，再求正切 tan CPD ，即知 D 错误.
PD
【详解】由题易知EC 2 2 ，又PE 2， PC 2 3 ，
所以 PE2 EC2 PC2 ，所以PE EC，
答案第 6 页，共 15 页
又 PE ED，ED EC E，所以PE 平面DEBC，
所以PE DC，又DC DE，PE DE E，
所以DC 平面 PED，
又DC 平面PCD，所以平面PED 平面PCD，故 A 正确；
PC在平面EBCD内的射影为 EC，
又 EBCD为正方形，所以BD EC， PC BD，故 B 正确；
易知 PDE 即为二面角P DC B的平面角，

又 PE ED，PE ED，所以 PDE ，故 C 正确；
4
易知 CPD为PC与平面 PED所成的角，
又PD 2 2 ，CD 2，CD PD，
CD 2 2
所以 tan CPD ，故 D 错误.
PD 2 2 2
【点睛】求空间中直线与平面所成角的常见方法为：
（1）定义法：直接作平面的垂线，找到线面成角；
（2）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离，距离与斜线长的比值即线
面成角的正弦值；
（3）向量法：利用平面法向量与斜线方向向量所成的余弦值的绝对值，即是线面成角的正
弦值.本题使用了定义法.
13．360
【分析】根据高一年级学生所占的比例，求出 k，得到高三年级抽取的人数．
240 1 k 1
【详解】由已知高一年级抽取的比例为 ，所以 ，得k 2，
1200 5 k 5 3 5
3
故高三年级抽取的人数为1200 360 ．
2 5 3
故答案为：360
14．－13
【分析】结合空间向量的数量积的定义以及运算律即可求出结果.
2 2 2 2
【详解】因为a b c 0 ，所以 a b c 0，则a b c 2 a b b c c a 0
32 12 42
因此a b b c c a 13
2
故答案为： 13
答案第 7 页，共 15 页
15 28 15．
3
【分析】要使三棱锥P ABC的体积最大，则平面PAB 平面 ABC，且 P在底面 ABC上的
射影为 AB中点O，利用已知条件求出三棱锥的高，再由棱锥体积公式求解即可．
【详解】解：如图，在三角形 ABC中，由 ACB 90 ， AC 7 ， BC = 15 ，
得 AB 49 15 8，
要使三棱锥P ABC的体积最大，则平面 PAB 平面 ABC，且 P在底面 ABC上的射影为 AB
中点O，
连接PO并延长，交三棱锥P ABC的外接球于D，则PD为球的直径，
设PO h，则 h(10 h) 4 4 16，解得h 2（舍 )或 h 8．
1 1 28 15三棱锥的体积的最大值为 7 15 8 ．
3 2 3
28 15
故答案为： ．
3
【点睛】本题考查三棱锥的体积的求法，考查空间想象能力与运算求解能力，属于中档题.
28
16．
29
ur ur 3
【分析】利用向量模的平方等于向量的平方化简条件得 e1 e2 ，再根据向量夹角公式求4
cos2 函数关系式，根据函数单调性求最值.
ur ur
【详解】Q| 2e1 e2 | 2 ，
ur ur
4 4e1 e2 1 2，
ur ur 3
e1 e2 ， 4
r r ur ur ur ur
(a b)2 (4 4e e )2 4(1 e e )
cos2 r 2 r 2 ur ur
1 2 ur ur ur1 ur2
a b (2 2e1 e2 )(10 6e1 e2 ) 5 3e1 e2
答案第 8 页，共 15 页
4 2 4 2 28
(1 ur ur ) (1 )
3 5 3e1 e 3 32 5 29 . 3
4
28
故答案为： .
29
【点睛】本题考查利用模求向量数量积、利用向量数量积求向量夹角、利用函数单调性求最
值，考查综合分析求解能力，属中档题.
17．(1)5或13

(2)
4

【解析】（1）向量a 3,2 ,b x , 1 ，则2a b 6 x,5 ，a 2b 3 2x,0 .由 2a b b ,
可得 2a b b 0即 6 x,5 x, 1 0，即 x2 6x 5 0，解得 x 1或 x 5 ,当 x 1 ,则,则

a 2b 5,0 ,所以 a 2b 5，当 x 5，a 2b 13,0 ， a 2b 13 ，综上

a 2b 5或13 .

（2）由 c ( 8, 1),b (x, 1) , a (3,2) ,则b c (x 8, 2)由 a / /(b c) ,可得

3 ( 2) 2 (x 8) 0 ,解得 x 5 ,所以 | a | 13,| b | 26 , a b 3 5 2 ( 1) 13 ,

a b 13 2cos 又 0,

,所以 .
| a | |b | 13 26 2 4
2
18．(1) A . (2) 3
3 4
【分析】（1）先设内角 A,B,C所对的边分别为a,b,c，由题意中条件，根据正弦定理得到
b2 c2 a2 bc，再由余弦定理，即可求出角A ；
（2）先由 ABC的外接圆半径为 1，结合正弦定理得到a 2sin A 3 ，再由余弦定理，结
合基本不等式，可得bc 1，从而可得三角形面积的最大值.
【详解】（1）设内角 A,B,C所对的边分别为a,b,c，
sin A sin B sinC sin B a b c b
由 可得 b2 c2 a2 bc，
sinC sin B sinC sin A c b c a
b2 c2 a2 bc 1
所以cos A ，
2bc 2bc 2
2
又因为0 A ，所以 A .
3
答案第 9 页，共 15 页
（2）因为 ABC的外接圆半径为 1，
a 2
所以有 = 2R = 2，即a 2sin A 2sin 3 ，
sin A 3
由余弦定理可得a2 b2 c2 2bccos A
即3 b 2 c 2 bc 2bc bc 3bc ，
1 1 3 3即bc 1，所以 S bc sin A 1 （当且仅当b c时取等号）.
2 2 2 4
【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理与余弦定理，以及基本不等式即可，属于常
考题型.
3 2 5
19．（1） p ，q ；（2） .
4 3 12
【解析】（1）由互斥事件和对立事件的概率公式列方程组可解得 p,q；
（2）分别求出两人答对 1 道的概率，答对两道题的概率，两人共答对 3 道题，则是一人答
对 2 道题另一人答对 1 道题，由互斥事件和独立事件概率公式可得结论．
【详解】解：（1）设 A {甲同学答对第一题}，B {乙同学答对第一题}，则P A p，
P B q .
设C {甲、乙二人均答对第一题}，D = {甲、乙二人中恰有一人答对第一题}，
则C AB，D AB AB .
由于二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，所以A 与 B相互独立，AB与 AB相
互互斥，所以P C P AB P A P B ，P D P AB AB
P AB P AB P A P B P A P B P A 1 P B 1 P A P B .
1
pq , 2
由题意可得
5p 1 q q 1 p ,
12
1 3 2
pq , p , p , 2 4 3
即 解得 或
17 2 3p q . q , q .
12 3 4
由于 p q
3 2
，所以 p ，q .
4 3
（2）设 Ai {甲同学答对了 i道题}，Bi {乙同学答对了 i道题}， i 0，1，2.
1 3 3 1 3由题意得，P A1 ，P A
3 3 9
，
4 4 4 4 8 2 4 4 16
答案第 10 页，共 15 页
2 1 1 2 4 2 2 4P B1 ，P B . 3 3 3 3 9 2 3 3 9
设 E {甲乙二人共答对 3 道题}，则E A1B2 A2B1 .
由于 Ai和Bi相互独立， A1B2 与 A2B1相互互斥，
所以P E P A1B2
3 4 9 4 5
P A2B1 P A1 P B2 P A2 P B1 . 8 9 16 9 12
5
所以，甲乙二人共答对 3 道题的概率为 .
12
【点睛】关键点点睛：本题考查互斥事件与独立事件的概率公式，解题关键是把所求概率事
件用互斥事件表示，然后求概率，如设 A {甲同学答对第一题}，B {乙同学答对第一题}，
设C {甲、乙二人均答对第一题}，D = {甲、乙二人中恰有一人答对第一题}，则C AB，
D AB AB．同样两人共答对 3 题分拆成甲答对 2 题乙答对 1 题与甲答对 1 题乙答对 2 题
两个互斥事件．
7
20．（1）4，0.1；（2）68.5，75，70 ；（3） .
15
【分析】（1）根据频率分步直方图的意义，计算可得 40～50、50～60、60～70、70～80、
90～100 这 5 组的频率，由频率的性质可得 80～90 这一组的频率，进而由频率、频数的关
系，计算可得答案；
（2）根据频率分步直方图中计算平均数、众数、中位数的方法，计算可得答案；
（3）记“取出的 2 人在同一分数段”为事件 E，计算可得 80～90 之间与 90～100 之间的人数，
并设为 a、b、c、d，和 A、B，列举可得从中取出 2 人的情况，可得其情况数目与取出的 2
人在同一分数段的情况数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案．
【详解】（1）根据题意，40 ~ 50的这一组的频率为0.01 10 0.1，
50 ~ 60的这一组的频率为0.015 10 0.15，
60 ~ 70 的这一组的频率为0.025 10 0.25，
70 ~ 80的这一组的频率为0.035 10 0.35，
90 ~ 100的这一组的频率为0.005 10 0.05，
则80 ~ 90 这一组的频率为1 0.1 0.15 0.25 0.35 0.05 0.1，
其频数为 40 0.1 4；
（2）这次竞赛的平均数为 45 0.1 55 0.15 65 0.25 75 0.35 85 0.1 95 0.05 68.5，
70 ~ 80一组的频率最大，人数最多，则众数为75，
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70 分左右两侧的频率均为0.5，则中位数为70 ；
（3）记“取出的2 人在同一分数段”为事件E，
因为80 ~ 90 之间的人数为 40 0.1 4，设为a b c d ，
90 ~ 100之间有 40 0.05 2人，设为A B，
从这6人中选出2 人，有
a,b 、 a,c 、 a,d 、 a, A a,B 、 b,c 、 b,d 、
b, A 、 b,B 、 c,d 、 c, A c,B 、 d , A 、 d ,B 、
A,B ，共15个基本事件，
其中事件 E包括 a,b 、 a,c 、 a,d 、 b,c 、 b,d 、 c,d 、 A,B ，共 7 个基本事件，
则 P 7E .
15
21．(1) 2
(2) 3
2
【分析】（1）由等体积法运算即可得解；
（2）由面面垂直的性质及判定可得BC 平面 ABB1A1，建立空间直角坐标系，利用空间向
量法即可得解.
（1）
在直三棱柱 ABC A1B1C1中，设点 A到平面 A1BC的距离为 h，
1 2 2 1 1 4
则VA A BC S A BC h h VA ABC S A A V ， 1 3 1 3 1 3 ABC 1 3 ABC A

1B1C1 3
解得h 2 ，
所以点 A到平面 A1BC的距离为 2 ；
（2）
取 A1B的中点 E,连接 AE,如图，因为 AA1 AB，所以 AE A1B ,
又平面 A1BC 平面 ABB1A1，平面 A1BC 平面 ABB1A1 A1B，
且 AE 平面 ABB1A1，所以 AE⊥平面 A1BC，
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在直三棱柱 ABC A1B1C1中， BB1 平面 ABC，
由BC 平面 A1BC，BC 平面 ABC可得 AE BC， BB1 BC ，
又 AE,BB1 平面 ABB1A1且相交，所以BC 平面 ABB1A1 ，
所以BC,BA,BB1 两两垂直，以 B为原点，建立空间直角坐标系，如图，
由（1）得 AE 2 ，所以 AA1 AB 2， A1B 2 2 ，所以BC 2，
则 A 0, 2,0 , A1 0, 2, 2 ,B 0,0,0 ,C 2,0,0 ,所以 A1C的中点D 1,1,1 ，

则BD 1,1,1 ，BA 0,2,0 ,BC 2,0,0 ,
m BD x y z 0
设平面 ABD的一个法向量m x, y, z ，则 ，
m BA 2y 0

可取m 1,0, 1 ，

m BD a b c 0
设平面BDC的一个法向量n a,b,c ，则 ，
m BC 2a 0
r
可取n 0,1, 1 ，

m n 1 1
则 cos m,n ，
m n 2 2 2
2
1 3
所以二面角 A BD C的正弦值为 1 .
2 2
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22．(1) k ,k ， k Z 6 3
29 29
(2)存在， ,

6 6


【分析】（1）由二倍角和辅助角公式化简后，根据题意可求得解析式，然后利用正弦函数性
质可得单调增区间；
（2）将问题转化为e2x1 e 2x1 m(ex1 e x1 ) 5 f (x)，然后令ex1max e x1 t ，将问题转化为
一元二次不等式恒成立问题，利用二次函数性质可解.
(1)
f x 3 sin 2 x 2cos2 x 1 3 sin 2 x cos 2 x 2sin 2 x 6
2
∵ f (x) 的最小正周期为 ， 0，∴ ，∴ 1
2

∴ f (x) 的解析式为 f (x)

2sin 2x
6



由题意得：2k 2x 2k ， k Z ∴ k - ＃x k + ，k Z
2 6 2 6 3

故函数 f (x) 2sin 2x 的单调递增区间为 k ，k ， k Z. 6 6 3
(2)

由（1）可知 f (x) 2sin 2x ， f (x2 )max 2
6
∴ 实数 m满足对任意 x1 ln 2, ln 2 ，
x R e2x1 e 2x1 m(ex1 e x任意 2 ，使得 1 ) 5 f (x2 ) 成立
即 e2x1 e 2x1 m(ex1 e x1 ) 5 2成立
令 y e2x1 e 2x1 m(ex1 e x1 ) 3，设ex1 e x 2x 2x1 t ，那么e 1 e 1 (ex1 e x1 )2 2 t 2 2
3 3
∵ x1 ln 2, ln 2 ，∴ t , ， 2 2
3 3
可等价转化为： t2 mt 5 0 在 t

, 上恒成立
2 2
m 3 3
令 g(t) t2 mt 5，其对称轴 t ，∵ t , 上，
2 2 2
m 3 3 29 3m 29
∴ ①当 时，即m 3， g(t) g

min 0，解得3 m ； 2 2 2 4 2 6
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3 m 3 m m2
②当 ，即 33 m 3 29 3m 29
③当

，即m 3时， g(t)min g 0，解得 m 3； 2 2 2 4 2 6
29 29
综上可得，存在 m，可知 m的取值范围是 , .
6 6


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