2022-2023学年九年级人教版数学上册22.3.2 销售、投球、喷水问题 课时练习(含解析)

22.3.2 销售、投球、喷水问题（附解析）
一、单选题(共10个小题)
1．某商品现在的售价为每件35元，每天可卖出50件．市场调查反映：如果调整价格，每降价1元，每天可多卖出2件．请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，求最大销售额是（　 　）
A．2500元 B．2000元 C．1800元 D．2200元
2．某种产品按质量分为个档次，生产最低档次产品，每件获利润元，每提高一个档次，每件产品利润增加元，用同样工时，最低档次产品每天可生产件，提高一个档次将减少件．如果用相同的工时生产，总获利润最大的产品是第档次（最低档次为第一档次，档次依次随质量増加），那么等于（ ）
A． B． C． D．
3．某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获利润y（元）与降价x（元）之间的关系是y＝－2x2＋60x＋800，则利润获得最多为（ ）
A．15元 B．400元 C．800元 D．1250元
4．向上发射一枚炮弹，经秒后的高度为公尺，且时间秒与高度公尺的关系为、为常数，且若此炮弹在第秒与第秒时的高度相等，则下列哪一个时间的高度是最高的？（ ）
A．第秒 B．第秒 C．第秒 D．第秒
5．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（米）与运动时间t（秒）之间的关系式是h＝30t﹣5t2（0≤t≤6），则小球最高时，运动的时间是（　　 ）
A．1秒 B．2秒 C．3秒 D．4秒
6．如图所示，阳光中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，其解析式为y＝﹣（x﹣2）2+6，则水柱的最大高度是（ 　　）
A．2 B．4 C．6 D．2+
7．在某圆形喷水池的池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，若喷出的抛物线形水柱解析式为（0≤x≤3），则水管长为( )
A．1m B．2m C．m D．3m
8．如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米，水流喷射的最远水平距离是（ ）
A．20米 B．18米 C．10米 D．8米
9．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，O恰为水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.在过OA的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是，则下列结论：（1）柱子OA的高度为3m；（2）喷出的水流距柱子1m处达到最大高度；（3）喷出的水流距水平面的最大高度是4m；（4）水池的半径至少要3m才能使喷出的水流不至于落在池外.其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4
10．如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画．下列结论错误的是（ ）
A．小球落地点距O点水平距离为7米
B．小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势
C．当小球抛出高度达到7.5m时，小球距O点水平距离为3m
D．小球距斜坡的最大铅直高度为
二、填空题(共10个小题)
11．某商品的销售利润y与销售单价x的关系为y＝+2650，则当x=_______元时，y有最_______值，这个值为______元．
12．某果园有100棵苹果树，平均每棵树可结660个苹果，根据经验估计，在这个果园里每多种一棵树，平均每棵树就会少结6个苹果，则果园里增__________棵苹果树，所结苹果的总数最多．
13．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤24，且x为整数）出售，可卖出（30﹣x）件．若利润为y，则y关于x的解析式___________________，若利润最大，则最大利润为______元．
14．如图，若被击打的小球飞行高度（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有的关系为，则小球从飞出到落地所用的时间为______s．
15．根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是，当飞行时间t为___________s时，小球达到最高点．
16．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是y＝﹣，则他将铅球推出的距离是 _____m．
17．如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪，喷水口A距地面，喷出水流的运动路线是抛物线，如果水流的最高点P到喷水枪所在直线的距离为，且到地面的距离为，则水流的落地点C到水枪底部B的距离为__________m．
18．某大楼前广场有一喷水池，水从地面喷出，喷出水的路径是一条抛物线．如果以水平地面为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，水在空中画出的曲线是抛物线的一部分，则水喷出的水平距离最大为________米．
19．公园要建造一个如图1的圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，OA＝0.8米，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如图2所示．为使水流形状较为漂亮，设计成水流在与OA水平距离为1米时，达到距水面最大高度1.44米（不计其他因素）．则水池的半径至少要________米，才能使喷出的水流不致落到池外．
20．某游乐园有一圆形喷水池（如图），中心立柱AM上有一喷水头A，其喷出的水柱距池中心3米处达到最高，最远落点到中心M的距离为9米，距立柱4米处地面上有一射灯C，现将喷水头A向上移动1.5米至点B（其余条件均不变），若此时水柱最高处D与A，C在同一直线上，则水柱最远落点到中心M的距离增加了___________米．
三、解答题(共3个小题)
21．某市城建公司新建了一个购物中心，共有商铺30间，据调查分析，当每间的年租金为10万元时，可全部租出，若每间的年租金每增加1万元，则少租出商铺2间，为提供优质服务，城建公司引入物业公司代为管理，租出的商铺每间每年需向物业公司缴纳物业费1万元，未租出的商铺不需要向物业公司缴纳物业费．
(1)当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益最大，最大收益为多少？
(2)当每间商铺的年租金满足什么条件时，该公司的年收益不低于280万元？
22．掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投掷实心球，实心求行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度为，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)根据兰州市高中阶段学校招生体有考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
23．如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度为（单位：）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到的距离为（单位：）．
(1)若，；
①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
②求下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围；
(2)若．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的最小值．
22.3.2 销售、投球、喷水问题解析
1．
【答案】C
【详解】解：设每件商品降价x元，每天的销售额为y元．
依题意有：
y＝（35﹣x）（50+2x）
＝﹣2x2+20x+1750
＝﹣2（x﹣5）2+1800，
∵﹣2＜0，
∴当x＝5时，y最大，最大值为1800，
∴最大销售额为1800元．
故选：C．
2．
【答案】C
【详解】解：设总利润为y元，
∵第档次产品比最低档次产品提高了个档次，
∴每天利润为，
∴当时，产品利润最大，每天获利864元，
故选C．
3．
【答案】D
【详解】解：y＝－2x2＋60x＋800＝－2（x－15）2＋1250
∵－2＜0
故当x＝15时，y有最大值，最大值为1250
即利润获得最多为1250元
故选：D．
4．
【答案】B
【详解】解：此炮弹在第秒与第秒时的高度相等，
抛物线的对称轴是：，
炮弹所在高度最高时：
时间是第8.5秒，
最接近，
故选B．
5．
【答案】C
【详解】解：h＝30t﹣5t2＝﹣5（t﹣3）2+45，
∵﹣5＜0，0≤t≤6，
∴当t＝3时，h有最大值，最大值为45，
∴小球运动3秒时，小球最高，
故选：C．
6．
【答案】C
【详解】解：∵抛物线形水柱，其解析式为y＝﹣（x﹣2）2+6，
∵a=-1＜0
∴当x=2时，水柱的最大高度是：6．
故选C．
7．
【答案】C
【详解】解：函数解析式
令，则
则水管的长度为
故选：C．
8．
【答案】A
【详解】解：∵喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米，
设抛物线解析式为，将点代入，得
解得
∴抛物线解析式为
令，解得（负值舍去）
即，
故选：A
9．
【答案】D
【详解】解：当x=0时，y=3，故柱子OA的高度为3m；（1）正确；
∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴顶点是（1，4），
故喷出的水流距柱子1m处达到最大高度，喷出的水流距水平面的最大高度是4米；故（2）（3）正确；
解方程-x2+2x+3=0，
得x1=-1，x2=3，
故水池的半径至少要3米，才能使喷出的水流不至于落在水池外，（4）正确．
故选D．
10．
【答案】C
【详解】解：联立两函数解析式，得
，解得：或，
则小球落地点距O点水平距离为7米，
故A选项不符合题意；
∵，
则抛物线的对称轴为x=4，
∵<0，
∴当x＞4时，y随x的增大而减小，
即小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势，
故B选项不符合题意；
当y=7.5时，7.5=4x-x2，
整理得x2-8x+15=0，
解得，x1=3，x2=5，
∴当小球抛出高度达到7.5m时，小球水平距O点水平距离为3m或5m，故此选项符合题意；
如图，设抛物线上一点A(x, 4x-x2)，过点A作AB⊥x轴于C，交直线y=x于B，
∴B(x,)，
∴AB=4x-x2-=-x2x=-(x-)2+，
∵<0，
∴当x=时，AB有最大值，最大值=，
即小球距斜坡的最大铅直高度为，
故D选项不符合题意．
故选：C．
11．
【答案】 50 大 2650
【详解】解：∵<0，
∴抛物线开口向下，
∵销售利润y与销售单价x的关系为y＝﹣+2650，
∴当单价定价为每件50元时，可获得最大利润2650元．
故答案为：50，大，2650．
12．
【答案】5
【详解】解：设果园里增x棵苹果树，所结苹果的总数为y，
根据题意得y＝（100+x）（660﹣6x）
＝﹣6x2+60x+66000
＝﹣6（x﹣5）2+66150，
∵a＝﹣6，
∴当x＝5时，y有最大值66150，
即果园里增5棵苹果树，所结苹果的总数最多．
故答案为5．
13．
【答案】 y＝﹣（x﹣25）2+25 24
【详解】解：设最大利润为元，
则，
∵20≤x≤24，
当时，二次函数有最大值24，
故答案是：；24．
14．
【答案】5
【详解】解：由题意可知，当时，，
整理得，解得或，
小球飞出时间为s，落地时间为s，
小球从飞出到落地所用的时间为s，
故答案为：．
15．
【答案】2
【详解】根据题意，有，
当时，有最大值．
故答案为：2．
16．
【答案】10
【详解】解：当y=0时，-=0，
解之得x1=10，x2=-2（不合题意，舍去），
所以推铅球的距离是10米．
故答案为10
17．
【答案】
【详解】解：如图，以所在直线为轴、所在直线为轴建立直角坐标系，
由题意知，抛物线的顶点的坐标为、点，
设抛物线的解析式为，
将点代入，得：，
解得：，
则抛物线的解析式为：，
当时，有，
解得：（舍或，
m，
答：水流的落地点到水枪底部的距离为．
故答案为：．
18．
【答案】4
【详解】解：∵喷出水的路径是抛物线，
∴水喷出的最大水平距离为抛物线顶点横坐标的2倍．
∵，
∴顶点坐标为（2，4）．
∴水喷出的最大水平距离为：（千米）．
故答案为：4．
19．
【答案】2.5
【详解】根据题意可得抛物线的顶点坐标为，且图象过点，
，
，
，则，
当时，，即，
解得，（舍去），故水池半径至少为2.5米．
故答案为：2.5．
20．
【答案】
【详解】解：如图，以地面为x轴，中心立柱为y轴建立平面直角坐标系．
根据题意可知水柱可以看成抛物线（只考虑第一象限）．
由题意可知C点坐标为(-4，0)．
∵喷水头A喷出的水柱距池中心3米处达到最高，
故该抛物线的对称轴为．
∴设该抛物线解析式为，
又∵水柱最远落点到中心M的距离为9米，
∴该抛物线又经过点(9，0)．
∴，即，
∴该抛物线解析式为．
当x=0时，
故点A坐标为(0，-27a)．
由题意可知将喷水头A向上移动1.5米至点B，即将抛物线向上平移1.5．
∴平移后的抛物线为．
∴点D坐标为(3，)．
设经过点A、C的直线解析式为，
∴，解得．
即经过点A、C的直线解析式为．
又∵该直线经过点D．
∴．
解得：．
故平移后的抛物线解析式为，
整理得：．
当时，即，
解得：（舍）．
∴移动后最远落点到中心M的距离为米，
∴移动后水柱最远落点到中心M的距离增加了（米）．
故答案为：．
21．
【答案】(1)当每间商铺的年租金定为13万元时，该公司的年收益最大，最大收益为288万元
(2)当每间商铺的年租金定在11到15万元时（含11万和15万），该公司的年收益不低于280万元．
【详解】（1）解：（1）设每间商铺的年租金定比10万增加x万元时，该公司的年收益为 万元，
根据题意得，出租的商铺数量为，且，
∴，
∵,
∴
∵﹣2＜0，抛物线的开口向下，
∴当x＝3时，y有最大值，最大值为288，此时，年租金为13万元，
答：当每间商铺的年租金定为13万元时，该公司的年收益最大，最大收益为288万元；
（2）由（1）得，
当时，，
∴，
∴，
由于抛物线开口向下，
∴当时，，
∴当每间商铺的年租金定在11到15万元时（含11万和15万），该公司的年收益不低于280万元．
22．
【答案】(1)y关于x的函数表达式为；
(2)该女生在此项考试中是得满分，理由见解析．
【详解】（1）解∶∵当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处，
∴设，
∵经过点(0， )，
∴
解得∶
∴，
∴y关于x的函数表达式为；
（2）解：该女生在此项考试中是得满分，理由如下∶
∵对于二次函数，当y=0时，有
∴，
解得∶， (舍去)，
∵>6.70，
∴该女生在此项考试中是得满分．
23．
【答案】(1)①,；②；③；(2)
【详解】（1）（1）①如图1，由题意得是上边缘抛物线的顶点，
设．
又∵抛物线经过点，
∴，
∴．
∴上边缘抛物线的函数解析式为．
当时，，
∴，（舍去）．
∴喷出水的最大射程为．
图1
②∵对称轴为直线，
∴点的对称点的坐标为．
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
即点是由点向左平移得到，则点的坐标为．
③如图2，先看上边缘抛物线，
∵，
∴点的纵坐标为0.5．
抛物线恰好经过点时，
．
解得，
∵，
∴．
当时，随着的增大而减小，
∴当时，要使，
则．
∵当时，随的增大而增大，且时，，
∴当时，要使，则．
∵，灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带，
∴的最大值为．
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，
∴的最小值为2．
综上所述，的取值范围是．
（2）的最小值为．
由题意得是上边缘抛物线的顶点，
∴设上边缘抛物线解析式为．
∵上边缘抛物线过出水口（0，h）
∴
解得
∴上边缘抛物线解析式为
∵对称轴为直线，
∴点的对称点的坐标为．
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
∴下边缘抛物线解析式为．
当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点，恰好分别在两条抛物线上，
∵DE=3
∴设点，，，
∵D在下边缘抛物线上，
∴
∵EF=1
∴
∴，
解得，
代入，得．
所以的最小值为．