高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册《行天下周测卷》4.3等比数列（含解析）
文档属性
| 名称 | 高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册《行天下周测卷》4.3等比数列（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 704.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-23 08:03:34 | ||
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文档简介
一、单选题
1．设是椭圆的左 右焦点，若椭圆上存在一点P，使（O为坐标原点），且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．已知椭圆，过M的右焦点作直线交椭圆于A，B两点，若AB中点坐标为，则椭圆M的方程为（ ）
A． B． C． D．
3．已知数列的前n项和为，，对任意的都有，则（ ）
A． B． C． D．
4．设等比数列的公比为，前项和为.若，，且，，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与抛物线的一个交点，若，则（ ）
A． B． C． D．或
6．已知点和，是椭圆上的动点，则最大值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．计算机病毒危害很大，一直是计算机学家研究的对象.当计算机内某文件被病毒感染后，该病毒文件就不断地感染其他未被感染文件.计算机学家们研究的一个数字为计算机病毒传染指数即一个病毒文件在一分钟内平均所传染的文件数，某计算机病毒的传染指数若一台计算机有个可能被感染的文件，如果该台计算机有一半以上文件被感染，则该计算机将处于瘫痪状态.该计算机现只有一个病毒文件，如果未经防毒和杀毒处理，则下列说法中正确的是（ ）
A．在第3分钟内，该计算机新感染了18个文件
B．经过5分钟，该计算机共有243个病毒文件
C．10分钟后，该计算机处于瘫痪状态
D．该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为2的等比数列
8．已知等比数列的前n项和为，且，是与的等差中项，数列满足，数列的前n项和为，则下列命题正确的是（ ）
A．数列的通项公式
B．
C．数列的通项公式为
D．的取值范围是
三、填空题
9．在等比数列中，，，则______．
10．已知数列是等比数列，为其前项和，若，，则______．
11．若抛物线上一点到焦点的距离为6，P、Q分别为抛物线与圆上的动点，则的最小值为______．
12．已知椭圆的右顶点为P，右焦点F与抛物线的焦点重合，的顶点与的中心O重合.若与相交于点A，B，且四边形为菱形，则的离心率为___________.
四、解答题
13．在①S3＝17，②S1+S2＝4，③S2＝4S1这三个条件中任选一个，补充到下面的横线上，并解答相应问题：已知数列{Sn}满足Sn≥0，且Sn+1＝3Sn+2．
（1）证明：数列{Sn+1}为等比数列；
（2）若_____，是否存在等比数列{an}的前n项和为Sn？若存在，求{an}的通项公式；若不存在，说明理由．
14．已知各项都为正数的数列{an}满足an＋2＝2an＋1＋3an.
(1)证明：数列{an＋an＋1}为等比数列；
(2)若a1＝，a2＝，求{an}的通项公式.
15．已知数列的前n项和为，，且.
（1）求数列的通项；
（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
16．已知M，N是椭圆的左、右顶点，F是椭圆的右焦点，且，点是C上一点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)记知过F的直线l与椭圆交于A，B（异于M，N）两点，过点N且垂直于x轴的直线与线，分别交于P，Q两点，证明：为定值.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】由向量的关系可得，由椭圆的定义及，可得，的值，在直角三角形中，由勾股定理可得，的关系，进而求出椭圆的离心率．
【详解】解：设的中点为，由，即，所以，
连接可得，所以，
可得，
又因为，
所以，，
在中，，
即，可得：，
解得，
故选：．
2．D
【解析】设以及中点坐标，利用“点差法”得到之间的关系，从而得到之间的关系，结合即可求解出椭圆的方程.
【详解】设，的中点，所以，
又，所以，即，
而，，所以，又，
∴，即椭圆方程为：.
故选：D.
【点睛】本题考查了已知焦点、弦中点求椭圆方程，应用了韦达定理、中点坐标公式，属于基础题.
3．C
【解析】由，可得，数列为常数列，令，可得，进而可得，利用裂项求和即可求解.
【详解】数列满足，对任意的都有，
则有，可得数列为常数列，
有，得，得，
又由，
所以．
故选：C
【点睛】方法点睛：数列求和的方法
（1）倒序相加法：如果一个数列的前项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可以用倒序相加法
（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可以用错位相减法来求；
（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；
（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；
（5）并项求和法：一个数列的前项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如类型，可采用两项合并求解.
4．B
【分析】先利用条件求出公比的值，然后利用等比数列求和公式以及可求出正整数的值.
【详解】因为，
所以，得到，
因为，所以.
由，得，又，
所以，
因为，则，
所以，解得，
故选：B
5．B
【分析】设点，利用求得点的横坐标，利用抛物线的定义可求得.
【详解】抛物线的焦点为，准线的方程为.
设点、，则，，
，可得，解得，
由抛物线的定义可得.
故选：B.
【点睛】本题考查利用抛物线的定义求焦半径，求出点的坐标是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
6．A
【分析】设左焦点为，为椭圆右焦点，利用椭圆定义转化，然后利用平面几何的性质得最大值．
【详解】解：椭圆，所以为椭圆右焦点，设左焦点为，
则由椭圆定义，
于是.
当不在直线与椭圆交点上时， 三点构成三角形，于是，
而当在直线与椭圆交点上时，在第一象限交点时，有，
在第三象限交点时有.
显然当在直线与椭圆第三象限交点时有最大值，其最大值为
.
故选：A.
7．ABC
【解析】设第分钟之内新感染的文件数为，前分钟内新感染的病毒文件数之和为，则，且，可得，即可判断四个选项的正误.
【详解】设第分钟之内新感染的文件数为，前分钟内新感染的病毒文件数之和为，则，且，
由可得，两式相减得：，
所以，所以每分钟内新感染的病毒构成以为首项，为公比的等比数列，
所以，
在第3分钟内，该计算机新感染了个文件，故选项A正确；
经过5分钟，该计算机共有个病毒文件，故选项B正确；
10分钟后，计算机感染病毒的总数为，
所以计算机处于瘫痪状态，故选项C正确；
该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为3的等比数列，故选项D不正确；
故选：ABC
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是读懂题意，得出第分钟之内新感染的文件数为与
前分钟内新感染的病毒文件数之和为之间的递推关系为，从而求得.
8．ABD
【分析】根据已知条件求出等比数列的公比和首项，进而可以求得和；利用裂项相消法可得和，讨论数列的单调性，即可得出的范围.
【详解】A：由可得，所以等比数列的公比，所以.
由是与的等差中项，可得，即，解得，所以，所以A正确；
B：，所以B正确；
C：，所以C不正确；
D：所以数列是递增数列，得，所以，所以D正确.
故选：ABD.
9．31
【分析】设，则，
利用等比数列的性质进行求解，
【详解】设，则
，
所以．
故答案为：31
10．60
【分析】由等比数列的性质，可知，，，，也构成等比数列，由等比数列求和公式可求．
【详解】为等比数列，
，，，，也构成等比数列，
又，，
该等比数列首项为4，公比为2，项数为4，
则，
故答案为：60
11．##
【分析】根据抛物线定义有，即可求参数p，再将问题转化为求圆心到抛物线上点最小距离，结合两点距离公式及二次函数性质即可求的最小值.
【详解】由题设及抛物线定义知：，可得，故，
而的圆心为，半径为1，
所以最小，则共线且，故只需最小，
令，则，且，
当时，，故的最小值为.
故答案为：
12．
【分析】设抛物线的方程为得到，把代入椭圆的方程化简即得解.
【详解】
设抛物线的方程为.
由题得，代入椭圆的方程得，
所以，
所以，
所以
因为，
所以.
故答案为：
【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率常用的方法有：（1）公式法（根据已知求出代入离心率的公式即得解）；（2）方程法（直接由已知得到关于离心率的方程解方程即得解）. 要根据已知条件灵活选择方法求解.
13．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）利用和的关系式进行变形；（2）利用和的关系式得到通项，即可得到结果；
【详解】（1）数列中，，且，
所以，
数列是公比的等比数列；
（2）选择条件①，不存在，
因为，所以，
因为是公比为3的等比数列，所以，
解得，，
；
，
，因为，不符合上式，
所以数列不是等比数列，所以不存在．
选择条件②，不存在，
因为是公比为3的等比数列，所以，
又，得，所以，
，所以，
所以，因为，不符合上式，
所以数列不是等比数列，所以不存在．
选择条件③，存在，
因为是公比为3的等比数列，所以，
又，得，所以，
，所以，
所以，因为，符合上式，
所以数列是等比数列，所以存在，此时．
14．(1)证明见解析
(2)an＝×3n－1
【分析】（1）将an＋2＝2an＋1＋3an，变形为an＋2＋an＋1＝3(an＋1＋an)，利用等比数列的定义证明；
（2）由（1）得到an＋an＋1＝2×3n－1，再由an＋2＝2an＋1＋3an，得到an＋2－3an＋1＝－(an＋1－3an)，结合求解.
（1）
证明：因为an＋2＝2an＋1＋3an，
所以an＋2＋an＋1＝3(an＋1＋an)，
因为{an}中各项均为正数，
所以an＋1＋an＞0，
所以＝3，
所以数列{an＋an＋1}是公比为3的等比数列.
（2）
由题意及（1）知，an＋an＋1＝(a1＋a2)3n－1＝2×3n－1，
因为an＋2＝2an＋1＋3an，
所以an＋2－3an＋1＝－(an＋1－3an)，a2＝3a1，
所以a2－3a1＝0，
所以an＋1－3an＝0，
故an＋1＝3an，
所以4an＝2×3n－1，即an＝×3n－1.
15．（1）；（2）.
【分析】（1）由，结合与的关系，分讨论，得到数列为等比数列，即可得出结论；
（2）由结合的结论，利用错位相减法求出，对任意恒成立，分类讨论分离参数，转化为与关于的函数的范围关系，即可求解.
【详解】（1）当时，，
，
当时，由①，
得②，①②得
，
又是首项为，公比为的等比数列，
；
（2）由，得，
所以，
，
两式相减得
，
所以，
由得恒成立，
即恒成立，
时不等式恒成立；
时，，得；
时，，得；
所以.
【点睛】易错点点睛：（1）已知求不要忽略情况；（2）恒成立分离参数时，要注意变量的正负零讨论，如（2）中恒成立，要对讨论，还要注意时，分离参数不等式要变号.
16．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）由已知条件可得，结合椭圆参数关系及点在椭圆上列方程组求椭圆参数，即可得方程.
（2）由题设可设直线l为、、，联立椭圆方程应用韦达定理求、，代入并化简，即可证结论.
(1)
由，可得，则.
因为，所以.
因为是C上一点，则，
综上，可得，.
所以椭圆C的方程为.
(2)
，，，依题意直线l与x轴不平行，设直线l的方程为，
，消去x并化简得.
设，，则，，
直线的方程为，则，
直线的方程为，则，
，得证.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
1．设是椭圆的左 右焦点，若椭圆上存在一点P，使（O为坐标原点），且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．已知椭圆，过M的右焦点作直线交椭圆于A，B两点，若AB中点坐标为，则椭圆M的方程为（ ）
A． B． C． D．
3．已知数列的前n项和为，，对任意的都有，则（ ）
A． B． C． D．
4．设等比数列的公比为，前项和为.若，，且，，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与抛物线的一个交点，若，则（ ）
A． B． C． D．或
6．已知点和，是椭圆上的动点，则最大值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．计算机病毒危害很大，一直是计算机学家研究的对象.当计算机内某文件被病毒感染后，该病毒文件就不断地感染其他未被感染文件.计算机学家们研究的一个数字为计算机病毒传染指数即一个病毒文件在一分钟内平均所传染的文件数，某计算机病毒的传染指数若一台计算机有个可能被感染的文件，如果该台计算机有一半以上文件被感染，则该计算机将处于瘫痪状态.该计算机现只有一个病毒文件，如果未经防毒和杀毒处理，则下列说法中正确的是（ ）
A．在第3分钟内，该计算机新感染了18个文件
B．经过5分钟，该计算机共有243个病毒文件
C．10分钟后，该计算机处于瘫痪状态
D．该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为2的等比数列
8．已知等比数列的前n项和为，且，是与的等差中项，数列满足，数列的前n项和为，则下列命题正确的是（ ）
A．数列的通项公式
B．
C．数列的通项公式为
D．的取值范围是
三、填空题
9．在等比数列中，，，则______．
10．已知数列是等比数列，为其前项和，若，，则______．
11．若抛物线上一点到焦点的距离为6，P、Q分别为抛物线与圆上的动点，则的最小值为______．
12．已知椭圆的右顶点为P，右焦点F与抛物线的焦点重合，的顶点与的中心O重合.若与相交于点A，B，且四边形为菱形，则的离心率为___________.
四、解答题
13．在①S3＝17，②S1+S2＝4，③S2＝4S1这三个条件中任选一个，补充到下面的横线上，并解答相应问题：已知数列{Sn}满足Sn≥0，且Sn+1＝3Sn+2．
（1）证明：数列{Sn+1}为等比数列；
（2）若_____，是否存在等比数列{an}的前n项和为Sn？若存在，求{an}的通项公式；若不存在，说明理由．
14．已知各项都为正数的数列{an}满足an＋2＝2an＋1＋3an.
(1)证明：数列{an＋an＋1}为等比数列；
(2)若a1＝，a2＝，求{an}的通项公式.
15．已知数列的前n项和为，，且.
（1）求数列的通项；
（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
16．已知M，N是椭圆的左、右顶点，F是椭圆的右焦点，且，点是C上一点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)记知过F的直线l与椭圆交于A，B（异于M，N）两点，过点N且垂直于x轴的直线与线，分别交于P，Q两点，证明：为定值.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】由向量的关系可得，由椭圆的定义及，可得，的值，在直角三角形中，由勾股定理可得，的关系，进而求出椭圆的离心率．
【详解】解：设的中点为，由，即，所以，
连接可得，所以，
可得，
又因为，
所以，，
在中，，
即，可得：，
解得，
故选：．
2．D
【解析】设以及中点坐标，利用“点差法”得到之间的关系，从而得到之间的关系，结合即可求解出椭圆的方程.
【详解】设，的中点，所以，
又，所以，即，
而，，所以，又，
∴，即椭圆方程为：.
故选：D.
【点睛】本题考查了已知焦点、弦中点求椭圆方程，应用了韦达定理、中点坐标公式，属于基础题.
3．C
【解析】由，可得，数列为常数列，令，可得，进而可得，利用裂项求和即可求解.
【详解】数列满足，对任意的都有，
则有，可得数列为常数列，
有，得，得，
又由，
所以．
故选：C
【点睛】方法点睛：数列求和的方法
（1）倒序相加法：如果一个数列的前项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可以用倒序相加法
（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可以用错位相减法来求；
（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；
（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；
（5）并项求和法：一个数列的前项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如类型，可采用两项合并求解.
4．B
【分析】先利用条件求出公比的值，然后利用等比数列求和公式以及可求出正整数的值.
【详解】因为，
所以，得到，
因为，所以.
由，得，又，
所以，
因为，则，
所以，解得，
故选：B
5．B
【分析】设点，利用求得点的横坐标，利用抛物线的定义可求得.
【详解】抛物线的焦点为，准线的方程为.
设点、，则，，
，可得，解得，
由抛物线的定义可得.
故选：B.
【点睛】本题考查利用抛物线的定义求焦半径，求出点的坐标是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
6．A
【分析】设左焦点为，为椭圆右焦点，利用椭圆定义转化，然后利用平面几何的性质得最大值．
【详解】解：椭圆，所以为椭圆右焦点，设左焦点为，
则由椭圆定义，
于是.
当不在直线与椭圆交点上时， 三点构成三角形，于是，
而当在直线与椭圆交点上时，在第一象限交点时，有，
在第三象限交点时有.
显然当在直线与椭圆第三象限交点时有最大值，其最大值为
.
故选：A.
7．ABC
【解析】设第分钟之内新感染的文件数为，前分钟内新感染的病毒文件数之和为，则，且，可得，即可判断四个选项的正误.
【详解】设第分钟之内新感染的文件数为，前分钟内新感染的病毒文件数之和为，则，且，
由可得，两式相减得：，
所以，所以每分钟内新感染的病毒构成以为首项，为公比的等比数列，
所以，
在第3分钟内，该计算机新感染了个文件，故选项A正确；
经过5分钟，该计算机共有个病毒文件，故选项B正确；
10分钟后，计算机感染病毒的总数为，
所以计算机处于瘫痪状态，故选项C正确；
该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为3的等比数列，故选项D不正确；
故选：ABC
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是读懂题意，得出第分钟之内新感染的文件数为与
前分钟内新感染的病毒文件数之和为之间的递推关系为，从而求得.
8．ABD
【分析】根据已知条件求出等比数列的公比和首项，进而可以求得和；利用裂项相消法可得和，讨论数列的单调性，即可得出的范围.
【详解】A：由可得，所以等比数列的公比，所以.
由是与的等差中项，可得，即，解得，所以，所以A正确；
B：，所以B正确；
C：，所以C不正确；
D：所以数列是递增数列，得，所以，所以D正确.
故选：ABD.
9．31
【分析】设，则，
利用等比数列的性质进行求解，
【详解】设，则
，
所以．
故答案为：31
10．60
【分析】由等比数列的性质，可知，，，，也构成等比数列，由等比数列求和公式可求．
【详解】为等比数列，
，，，，也构成等比数列，
又，，
该等比数列首项为4，公比为2，项数为4，
则，
故答案为：60
11．##
【分析】根据抛物线定义有，即可求参数p，再将问题转化为求圆心到抛物线上点最小距离，结合两点距离公式及二次函数性质即可求的最小值.
【详解】由题设及抛物线定义知：，可得，故，
而的圆心为，半径为1，
所以最小，则共线且，故只需最小，
令，则，且，
当时，，故的最小值为.
故答案为：
12．
【分析】设抛物线的方程为得到，把代入椭圆的方程化简即得解.
【详解】
设抛物线的方程为.
由题得，代入椭圆的方程得，
所以，
所以，
所以
因为，
所以.
故答案为：
【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率常用的方法有：（1）公式法（根据已知求出代入离心率的公式即得解）；（2）方程法（直接由已知得到关于离心率的方程解方程即得解）. 要根据已知条件灵活选择方法求解.
13．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）利用和的关系式进行变形；（2）利用和的关系式得到通项，即可得到结果；
【详解】（1）数列中，，且，
所以，
数列是公比的等比数列；
（2）选择条件①，不存在，
因为，所以，
因为是公比为3的等比数列，所以，
解得，，
；
，
，因为，不符合上式，
所以数列不是等比数列，所以不存在．
选择条件②，不存在，
因为是公比为3的等比数列，所以，
又，得，所以，
，所以，
所以，因为，不符合上式，
所以数列不是等比数列，所以不存在．
选择条件③，存在，
因为是公比为3的等比数列，所以，
又，得，所以，
，所以，
所以，因为，符合上式，
所以数列是等比数列，所以存在，此时．
14．(1)证明见解析
(2)an＝×3n－1
【分析】（1）将an＋2＝2an＋1＋3an，变形为an＋2＋an＋1＝3(an＋1＋an)，利用等比数列的定义证明；
（2）由（1）得到an＋an＋1＝2×3n－1，再由an＋2＝2an＋1＋3an，得到an＋2－3an＋1＝－(an＋1－3an)，结合求解.
（1）
证明：因为an＋2＝2an＋1＋3an，
所以an＋2＋an＋1＝3(an＋1＋an)，
因为{an}中各项均为正数，
所以an＋1＋an＞0，
所以＝3，
所以数列{an＋an＋1}是公比为3的等比数列.
（2）
由题意及（1）知，an＋an＋1＝(a1＋a2)3n－1＝2×3n－1，
因为an＋2＝2an＋1＋3an，
所以an＋2－3an＋1＝－(an＋1－3an)，a2＝3a1，
所以a2－3a1＝0，
所以an＋1－3an＝0，
故an＋1＝3an，
所以4an＝2×3n－1，即an＝×3n－1.
15．（1）；（2）.
【分析】（1）由，结合与的关系，分讨论，得到数列为等比数列，即可得出结论；
（2）由结合的结论，利用错位相减法求出，对任意恒成立，分类讨论分离参数，转化为与关于的函数的范围关系，即可求解.
【详解】（1）当时，，
，
当时，由①，
得②，①②得
，
又是首项为，公比为的等比数列，
；
（2）由，得，
所以，
，
两式相减得
，
所以，
由得恒成立，
即恒成立，
时不等式恒成立；
时，，得；
时，，得；
所以.
【点睛】易错点点睛：（1）已知求不要忽略情况；（2）恒成立分离参数时，要注意变量的正负零讨论，如（2）中恒成立，要对讨论，还要注意时，分离参数不等式要变号.
16．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）由已知条件可得，结合椭圆参数关系及点在椭圆上列方程组求椭圆参数，即可得方程.
（2）由题设可设直线l为、、，联立椭圆方程应用韦达定理求、，代入并化简，即可证结论.
(1)
由，可得，则.
因为，所以.
因为是C上一点，则，
综上，可得，.
所以椭圆C的方程为.
(2)
，，，依题意直线l与x轴不平行，设直线l的方程为，
，消去x并化简得.
设，，则，，
直线的方程为，则，
直线的方程为，则，
，得证.
答案第1页，共2页
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