高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册《行天下周测卷》5.1导数的概念及其意义（含解析）
文档属性
| 名称 | 高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册《行天下周测卷》5.1导数的概念及其意义（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 844.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-23 08:03:58 | ||
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文档简介
一、单选题
1．已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，过作抛物线的一条切线，切点为，且满足，则抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
2．已知抛物线的焦点为，过点的直线交于，两点，则的中点到的准线的距离的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
3．阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积公式，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为，则椭圆的面积公式为.若椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的的标准方程为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
4．已知M为抛物线上一点，C在点M处的切线交C的准线于点P，过点P向C再作另一条切线，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
5．在平面直角坐标系中，已知△ABC顶点和，顶点B在椭圆上，则的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．不确定
6．已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，直线与抛物线交于，两点，若，则（ ）
A． B． C．3 D．9
二、多选题
7．已知曲线上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数可能的取值（ ）
A． B．3 C． D．
8．已知P是椭圆C：上的动点，Q是圆D：上的动点，则（ ）
A．C的焦距为 B．C的离心率为
C．圆D在C的内部 D．|PQ|的最小值为
三、填空题
9．为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度与时间的关系为，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如下图所示．
给出下列四个结论：
① 在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；
② 在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同；
③ 在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；
④ 在,两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率不相同.
其中所有正确结论的序号是_____．
10．过椭圆上一动点P分别向圆和圆作切线，切点分别为M，N，则的最小值为________．
11．已知椭圆G：（）左、右焦点分别为，，短轴的两个端点分别为，，点P在椭圆C上，且满足，当m变化时，给出下列四个命题：①点P的轨迹关于y轴对称；②存在m使得椭圆C上满足条件的点P仅有两个；③的最小值为2；④最大值为，其中正确命题的序号是__．
12．已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是_______．
四、解答题
13．已知椭圆：的离心率为，其右焦点到直线的距离为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线交椭圆于，两点，椭圆右顶点为，求证：直线，的斜率乘积为定值，并求出该定值．
14．已知椭圆与椭圆有相同的离心率，且椭圆过点
（1）求椭圆的方程.
（2）若直线与椭圆交于、两点，求线段的垂直平分线的方程.
15．已知抛物线的焦点为坐标原点，是抛物线C上异于O的两点.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线的斜率之积为，求证：直线过定点，并求出定点坐标.
16．已知椭圆C1：(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|.
（1）求C1的离心率；
（2）设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【解析】本题首先可根据题意得出点，然后设切线方程为、切点为，通过联立抛物线与切线方程解得，最后对、两种情况分别进行讨论，通过即可得出结果.
【详解】由题意可知，抛物线准线方程为，点，切线斜率一定存在，
设过点与抛物线相切的直线方程为，切点，
联立抛物线与切线方程，转化得，
，解得，
当时，直线方程为，
，解得，则，
因为，所以，解得；
当时，同理得，
综上所述，抛物线方程为，
故选：C.
【点睛】本题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线相切的相关问题的求解，考查判别式的灵活应用，考查两点间距离公式，考查转化与化归思想，考查计算能力，是中档题.
2．B
【分析】设出直线的方程，联立后利用弦长公式表达出，求出长度的最小值，再利用抛物线的定义来进行转化，得到的中点到的准线的距离为的一半，进而求出点到的准线的距离的最小值.
【详解】如图，
分别过点，，作准线的垂线，垂足分别为，，，
则
设直线的方程为，，，，.
联立，整理得，
则，.
.
故选：B.
3．A
【分析】根据离心率，面积公式结合求出得椭圆方程．
【详解】由题意，解得，
∴椭圆方程为或
故选：A．
【点睛】本题考查求椭圆的标准方程中，求解题方法是根据已知条件列出方程组求出，只是要注意由于焦点的位置不确定，因此方程有两种．
4．D
【分析】先根据C在点M处的切线，求出的值，再求得点，然后再求过点抛物线的切线方程.
【详解】设 ，由题意知，，则，
C在点M处的切线，所以
所以 ，则，
将代入的方程可得，即
抛物线的准线方程为：
则.设与曲线C的切点为，
则，解得或（舍去），
则，所以的方程为.
故选：D
【点睛】本题考查利用导数求曲线在某点和过某点的切线方程，属于中档题.
5．C
【分析】由正弦定理的边角关系及椭圆的定义、性质，即可求目标式的值.
【详解】由题设知：是椭圆的两个焦点，又B在椭圆上，
所以，
而，，故.
故选：C
6．B
【解析】由，可得，结合抛物线的定义和三角形的性质，求得直线的斜率，进而得到的方程，将其与抛物线的方程联立，求得交点的横坐标，再利用抛物线的定义，即可求解.
【详解】由题意，抛物线的焦点为，
因为，可得,
如图所示，过点作直线于点，则，
所以在直角中，，所以，
所以直线的方程为，
联立，整理得，解得或，
由抛物线的定义可知.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，以及平面向量的线性运算等知识的综合应用，其中解答中熟练运用抛物线的定义是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
7．AC
【分析】本题先求导函数并根据题意建立关于的方程，再根据根的分布求的取值范围，最后判断得到答案即可.
【详解】解：∵ ，
∴ ，
可令切点的横坐标为，且，
可得切线斜率即，
由题意，可得关于的方程有两个不等的正根，
且可知，
则，即，
解得：，
所以的取值可能为，.
故选：AC.
【点睛】本题考查求导函数，导数的几何意义，根的分布，是中档题.
8．BC
【分析】根据椭圆方程直接判断A、B的正误，判断圆心与椭圆左焦点的距离及圆心横坐标对应椭圆点与圆心的距离，与圆的半径长度关系判断C的正误，要使最小，保证P、Q、D共线，即，设应用两点距离公式及椭圆方程求最小值，即可判断D的正误.
【详解】由椭圆方程知：，故焦距为，故A错误；C的离心率，故B正确；
由圆D的方程知：圆心，半径为，而且椭圆上的点到D的距离为，故圆D在C的内部，故C正确；
设，则，而，又，可知，故，故D错误.
故选：BC
9．①③④
【解析】理解平均变化率和瞬时变换率的意义，结合图象，判断选项.
【详解】①在时刻，为两图象的交点，即此时甲、乙两人血管中的药物浓度相同，故①正确；②甲、乙两人在时刻的切线的斜率不相等，即两人的不相同，所以甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，故②不正确；③根据平均变换率公式可知，甲、乙两人的平均变化率都是，故③正确；④在时间段，甲的平均变化率是，在时间段，甲的平均变化率是，显然不相等，故④正确.
故答案为：①③④
【点睛】思路点睛：本题是一道识图的实际应用问题，判断的关键是理解两个概念，瞬时变化率和平均变化率，结合导数的几何意义可知瞬时变化率就是在此点处切线的斜率，平均变化率是.
10．
【分析】易知两圆的圆心为椭圆的两焦点，由勾股定理可得，，由椭圆的定义可得，设，利用二次函数的基本性质可求得的最小值.
【详解】，，，易知、为椭圆的两个焦点，
，
根据椭圆定义，
设，则，即，
则，
当时，取到最小值．
故答案为：
11．①③
【分析】运用椭圆的定义和对称性进行分析即可判断①②；由图象可得当P 的横坐标和纵坐标的绝对值相等时，的值取得最小，即可判断③；点 P 靠近坐标轴时，越大，点 P 远离坐标轴时，越小，易得时，取得最小值，得到两椭圆方程，然后相加可得，可得的最小值为 2，即可判断③；椭圆上的点到中心的距离小于等于a，由于点 P 不在坐标轴上，可得，即可判断④.
【详解】由椭圆的对称性及，
所以可得以，为焦点的椭圆为椭圆，
则点 P 为椭圆与椭圆的交点，
因为椭圆G的长轴顶点 ，短轴的绝对值小于，
椭圆的长轴顶点，短轴的交点的横坐标的绝对值小于，
所以两个椭圆的交点有4个，①正确②不正确，
点 P 靠近坐标轴时（或），越大，
点 P 远离坐标轴时，越小，易得时，取得最小值，
此时两椭圆方程为：，，
两方程相加得，即的最小值为 2，③正确；
椭圆上的点到中心的距离小于等于a，由于点 P 不在坐标轴上，
∴，④错误．
故答案为：①③．
【点睛】关键点睛：本题考查椭圆的对称性和到定点距离的最值的判断，解题关键是由椭圆上的点到焦点的距离之和等于到短轴的顶点距离之和可得另一个椭圆．
12．
【分析】结合导数的几何意义可得，结合直线方程及两点间距离公式可得，，化简即可得解.
【详解】由题意，，则，
所以点和点，,
所以，
所以，
所以，
同理,
所以.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：
解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件，消去一个变量后，运算即可得解.
13．(1)
(2)证明见解析，定值
【分析】（1）直接利用右焦点到直线的距离求出，再利用离心率即可求解；
（2）直接联立求出，坐标，表示出斜率相乘即可.
(1)
由题意，右焦点，，，，，，
椭圆的标准方程；
(2)
由（1）可得椭圆右顶点，由题意，直线和直线的斜率存在且不为，
直线与椭圆联立，可得，
不妨设，，，
，，
直线和直线的斜率的积为，
直线和直线的斜率乘积为定值．
14．（1）；（2）.
【解析】（1）已知得，由离心率得，从而得，再计算出后可得椭圆方程；
（2）由韦达定理得中点坐标，由垂直得斜率，然后可得垂直平分线方程．
【详解】（1）由题意，
椭圆的离心率为，∴，∴，∴，
∴椭圆方程为；
（2）设，
由，得，∴，
设中点为，则，∴．
又，∴的垂直平分线方程为，即．
【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交弦中点问题，解题方法是设而不求的思想方法，即设交点为，由直线方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理求得，，利用中点坐标公式求得中点的横坐标得中点坐标，再结合斜率可和垂直平分线方程．
15．（1），（2）证明见解析，定点
【解析】（1）利用抛扔线的焦点坐标，求出，然后求抛物线的方程；
（2）通过直线的斜率是否存在，设出直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理以及斜率乘积关系，转化求解即可
【详解】解：（1）因为抛物线的焦点坐标为，
所以，得，
所以抛物线的方程为，
（2）①当直线的斜率不存在时，设，
因为直线的斜率之积为，所以，化简得，
所以，此时直线的方程为，
②当直线的斜率存在时，设其方程为，，
由，得，则，
因为的斜率之积为，所以，
即，即可，
解得（舍去），或，
所以，即，所以，即，
综上所述，直线过轴上的一定点
【点睛】关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的方程的求法，解题的关键是将直线方程与抛物线方程联立方程组可得，再利用根与系数的关系可得，再结合直线的斜率之积为，可得到的关系，从而可得答案，考查计算能力，属于中档题
16．（1）；（2），.
【分析】（1）求出、，利用可得出关于、的齐次等式，可解得椭圆的离心率的值；
（2）[方法四]由（1）可得出的方程为，联立曲线与的方程，求出点的坐标，利用抛物线的定义结合可求得的值，进而可得出与的标准方程.
【详解】（1），轴且与椭圆相交于、两点，
则直线的方程为，
联立，解得，则，
抛物线的方程为，联立，
解得，，
，即，，
即，即，
，解得，因此，椭圆的离心率为；
（2）[方法一]：椭圆的第二定义
由椭圆的第二定义知，则有，
所以，即．
又由，得．
从而，解得．
所以．
故椭圆与抛物线的标准方程分别是．
[方法二]：圆锥曲线统一的极坐标公式
以为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．
由（Ⅰ）知，又由圆锥曲线统一的极坐标公式，得，由，得，两式联立解得．
故的标准方程为，的标准方程为．
[方法三]：参数方程
由（1）知，椭圆的方程为，
所以的参数方程为（为参数），
将它代入抛物线的方程并化简得，
解得或（舍去），
所以，即点M的坐标为．
又，所以由抛物线焦半径公式有，即，解得．
故的标准方程为，的标准方程为．
[方法四]【最优解】：利用韦达定理
由（1）知，，椭圆的方程为，
联立，消去并整理得，
解得或（舍去），
由抛物线的定义可得，解得.
因此，曲线的标准方程为，
曲线的标准方程为.
【整体点评】(2)方法一：椭圆的第二定义是联系准线与离心率的重要工具，涉及离心率的问题不妨考虑使用第二定义，很多时候会使得问题简单明了.
方法二：圆锥曲线统一的极坐标公式充分体现了圆锥曲线的统一特征，同时它也是解决圆锥曲线问题的一个不错的思考方向.
方法三：参数方程是一种重要的数学工具，它将圆锥曲线的问题转化为三角函数的问题，使得原来抽象的问题更加具体化.
方法四：韦达定理是最常用的处理直线与圆锥曲线位置关系的方法，联立方程之后充分利用韦达定理可以达到设而不求的效果.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
1．已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，过作抛物线的一条切线，切点为，且满足，则抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
2．已知抛物线的焦点为，过点的直线交于，两点，则的中点到的准线的距离的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
3．阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积公式，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为，则椭圆的面积公式为.若椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的的标准方程为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
4．已知M为抛物线上一点，C在点M处的切线交C的准线于点P，过点P向C再作另一条切线，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
5．在平面直角坐标系中，已知△ABC顶点和，顶点B在椭圆上，则的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．不确定
6．已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，直线与抛物线交于，两点，若，则（ ）
A． B． C．3 D．9
二、多选题
7．已知曲线上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数可能的取值（ ）
A． B．3 C． D．
8．已知P是椭圆C：上的动点，Q是圆D：上的动点，则（ ）
A．C的焦距为 B．C的离心率为
C．圆D在C的内部 D．|PQ|的最小值为
三、填空题
9．为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度与时间的关系为，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如下图所示．
给出下列四个结论：
① 在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；
② 在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同；
③ 在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；
④ 在,两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率不相同.
其中所有正确结论的序号是_____．
10．过椭圆上一动点P分别向圆和圆作切线，切点分别为M，N，则的最小值为________．
11．已知椭圆G：（）左、右焦点分别为，，短轴的两个端点分别为，，点P在椭圆C上，且满足，当m变化时，给出下列四个命题：①点P的轨迹关于y轴对称；②存在m使得椭圆C上满足条件的点P仅有两个；③的最小值为2；④最大值为，其中正确命题的序号是__．
12．已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是_______．
四、解答题
13．已知椭圆：的离心率为，其右焦点到直线的距离为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线交椭圆于，两点，椭圆右顶点为，求证：直线，的斜率乘积为定值，并求出该定值．
14．已知椭圆与椭圆有相同的离心率，且椭圆过点
（1）求椭圆的方程.
（2）若直线与椭圆交于、两点，求线段的垂直平分线的方程.
15．已知抛物线的焦点为坐标原点，是抛物线C上异于O的两点.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线的斜率之积为，求证：直线过定点，并求出定点坐标.
16．已知椭圆C1：(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|.
（1）求C1的离心率；
（2）设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【解析】本题首先可根据题意得出点，然后设切线方程为、切点为，通过联立抛物线与切线方程解得，最后对、两种情况分别进行讨论，通过即可得出结果.
【详解】由题意可知，抛物线准线方程为，点，切线斜率一定存在，
设过点与抛物线相切的直线方程为，切点，
联立抛物线与切线方程，转化得，
，解得，
当时，直线方程为，
，解得，则，
因为，所以，解得；
当时，同理得，
综上所述，抛物线方程为，
故选：C.
【点睛】本题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线相切的相关问题的求解，考查判别式的灵活应用，考查两点间距离公式，考查转化与化归思想，考查计算能力，是中档题.
2．B
【分析】设出直线的方程，联立后利用弦长公式表达出，求出长度的最小值，再利用抛物线的定义来进行转化，得到的中点到的准线的距离为的一半，进而求出点到的准线的距离的最小值.
【详解】如图，
分别过点，，作准线的垂线，垂足分别为，，，
则
设直线的方程为，，，，.
联立，整理得，
则，.
.
故选：B.
3．A
【分析】根据离心率，面积公式结合求出得椭圆方程．
【详解】由题意，解得，
∴椭圆方程为或
故选：A．
【点睛】本题考查求椭圆的标准方程中，求解题方法是根据已知条件列出方程组求出，只是要注意由于焦点的位置不确定，因此方程有两种．
4．D
【分析】先根据C在点M处的切线，求出的值，再求得点，然后再求过点抛物线的切线方程.
【详解】设 ，由题意知，，则，
C在点M处的切线，所以
所以 ，则，
将代入的方程可得，即
抛物线的准线方程为：
则.设与曲线C的切点为，
则，解得或（舍去），
则，所以的方程为.
故选：D
【点睛】本题考查利用导数求曲线在某点和过某点的切线方程，属于中档题.
5．C
【分析】由正弦定理的边角关系及椭圆的定义、性质，即可求目标式的值.
【详解】由题设知：是椭圆的两个焦点，又B在椭圆上，
所以，
而，，故.
故选：C
6．B
【解析】由，可得，结合抛物线的定义和三角形的性质，求得直线的斜率，进而得到的方程，将其与抛物线的方程联立，求得交点的横坐标，再利用抛物线的定义，即可求解.
【详解】由题意，抛物线的焦点为，
因为，可得,
如图所示，过点作直线于点，则，
所以在直角中，，所以，
所以直线的方程为，
联立，整理得，解得或，
由抛物线的定义可知.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，以及平面向量的线性运算等知识的综合应用，其中解答中熟练运用抛物线的定义是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
7．AC
【分析】本题先求导函数并根据题意建立关于的方程，再根据根的分布求的取值范围，最后判断得到答案即可.
【详解】解：∵ ，
∴ ，
可令切点的横坐标为，且，
可得切线斜率即，
由题意，可得关于的方程有两个不等的正根，
且可知，
则，即，
解得：，
所以的取值可能为，.
故选：AC.
【点睛】本题考查求导函数，导数的几何意义，根的分布，是中档题.
8．BC
【分析】根据椭圆方程直接判断A、B的正误，判断圆心与椭圆左焦点的距离及圆心横坐标对应椭圆点与圆心的距离，与圆的半径长度关系判断C的正误，要使最小，保证P、Q、D共线，即，设应用两点距离公式及椭圆方程求最小值，即可判断D的正误.
【详解】由椭圆方程知：，故焦距为，故A错误；C的离心率，故B正确；
由圆D的方程知：圆心，半径为，而且椭圆上的点到D的距离为，故圆D在C的内部，故C正确；
设，则，而，又，可知，故，故D错误.
故选：BC
9．①③④
【解析】理解平均变化率和瞬时变换率的意义，结合图象，判断选项.
【详解】①在时刻，为两图象的交点，即此时甲、乙两人血管中的药物浓度相同，故①正确；②甲、乙两人在时刻的切线的斜率不相等，即两人的不相同，所以甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，故②不正确；③根据平均变换率公式可知，甲、乙两人的平均变化率都是，故③正确；④在时间段，甲的平均变化率是，在时间段，甲的平均变化率是，显然不相等，故④正确.
故答案为：①③④
【点睛】思路点睛：本题是一道识图的实际应用问题，判断的关键是理解两个概念，瞬时变化率和平均变化率，结合导数的几何意义可知瞬时变化率就是在此点处切线的斜率，平均变化率是.
10．
【分析】易知两圆的圆心为椭圆的两焦点，由勾股定理可得，，由椭圆的定义可得，设，利用二次函数的基本性质可求得的最小值.
【详解】，，，易知、为椭圆的两个焦点，
，
根据椭圆定义，
设，则，即，
则，
当时，取到最小值．
故答案为：
11．①③
【分析】运用椭圆的定义和对称性进行分析即可判断①②；由图象可得当P 的横坐标和纵坐标的绝对值相等时，的值取得最小，即可判断③；点 P 靠近坐标轴时，越大，点 P 远离坐标轴时，越小，易得时，取得最小值，得到两椭圆方程，然后相加可得，可得的最小值为 2，即可判断③；椭圆上的点到中心的距离小于等于a，由于点 P 不在坐标轴上，可得，即可判断④.
【详解】由椭圆的对称性及，
所以可得以，为焦点的椭圆为椭圆，
则点 P 为椭圆与椭圆的交点，
因为椭圆G的长轴顶点 ，短轴的绝对值小于，
椭圆的长轴顶点，短轴的交点的横坐标的绝对值小于，
所以两个椭圆的交点有4个，①正确②不正确，
点 P 靠近坐标轴时（或），越大，
点 P 远离坐标轴时，越小，易得时，取得最小值，
此时两椭圆方程为：，，
两方程相加得，即的最小值为 2，③正确；
椭圆上的点到中心的距离小于等于a，由于点 P 不在坐标轴上，
∴，④错误．
故答案为：①③．
【点睛】关键点睛：本题考查椭圆的对称性和到定点距离的最值的判断，解题关键是由椭圆上的点到焦点的距离之和等于到短轴的顶点距离之和可得另一个椭圆．
12．
【分析】结合导数的几何意义可得，结合直线方程及两点间距离公式可得，，化简即可得解.
【详解】由题意，，则，
所以点和点，,
所以，
所以，
所以，
同理,
所以.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：
解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件，消去一个变量后，运算即可得解.
13．(1)
(2)证明见解析，定值
【分析】（1）直接利用右焦点到直线的距离求出，再利用离心率即可求解；
（2）直接联立求出，坐标，表示出斜率相乘即可.
(1)
由题意，右焦点，，，，，，
椭圆的标准方程；
(2)
由（1）可得椭圆右顶点，由题意，直线和直线的斜率存在且不为，
直线与椭圆联立，可得，
不妨设，，，
，，
直线和直线的斜率的积为，
直线和直线的斜率乘积为定值．
14．（1）；（2）.
【解析】（1）已知得，由离心率得，从而得，再计算出后可得椭圆方程；
（2）由韦达定理得中点坐标，由垂直得斜率，然后可得垂直平分线方程．
【详解】（1）由题意，
椭圆的离心率为，∴，∴，∴，
∴椭圆方程为；
（2）设，
由，得，∴，
设中点为，则，∴．
又，∴的垂直平分线方程为，即．
【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交弦中点问题，解题方法是设而不求的思想方法，即设交点为，由直线方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理求得，，利用中点坐标公式求得中点的横坐标得中点坐标，再结合斜率可和垂直平分线方程．
15．（1），（2）证明见解析，定点
【解析】（1）利用抛扔线的焦点坐标，求出，然后求抛物线的方程；
（2）通过直线的斜率是否存在，设出直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理以及斜率乘积关系，转化求解即可
【详解】解：（1）因为抛物线的焦点坐标为，
所以，得，
所以抛物线的方程为，
（2）①当直线的斜率不存在时，设，
因为直线的斜率之积为，所以，化简得，
所以，此时直线的方程为，
②当直线的斜率存在时，设其方程为，，
由，得，则，
因为的斜率之积为，所以，
即，即可，
解得（舍去），或，
所以，即，所以，即，
综上所述，直线过轴上的一定点
【点睛】关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的方程的求法，解题的关键是将直线方程与抛物线方程联立方程组可得，再利用根与系数的关系可得，再结合直线的斜率之积为，可得到的关系，从而可得答案，考查计算能力，属于中档题
16．（1）；（2），.
【分析】（1）求出、，利用可得出关于、的齐次等式，可解得椭圆的离心率的值；
（2）[方法四]由（1）可得出的方程为，联立曲线与的方程，求出点的坐标，利用抛物线的定义结合可求得的值，进而可得出与的标准方程.
【详解】（1），轴且与椭圆相交于、两点，
则直线的方程为，
联立，解得，则，
抛物线的方程为，联立，
解得，，
，即，，
即，即，
，解得，因此，椭圆的离心率为；
（2）[方法一]：椭圆的第二定义
由椭圆的第二定义知，则有，
所以，即．
又由，得．
从而，解得．
所以．
故椭圆与抛物线的标准方程分别是．
[方法二]：圆锥曲线统一的极坐标公式
以为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．
由（Ⅰ）知，又由圆锥曲线统一的极坐标公式，得，由，得，两式联立解得．
故的标准方程为，的标准方程为．
[方法三]：参数方程
由（1）知，椭圆的方程为，
所以的参数方程为（为参数），
将它代入抛物线的方程并化简得，
解得或（舍去），
所以，即点M的坐标为．
又，所以由抛物线焦半径公式有，即，解得．
故的标准方程为，的标准方程为．
[方法四]【最优解】：利用韦达定理
由（1）知，，椭圆的方程为，
联立，消去并整理得，
解得或（舍去），
由抛物线的定义可得，解得.
因此，曲线的标准方程为，
曲线的标准方程为.
【整体点评】(2)方法一：椭圆的第二定义是联系准线与离心率的重要工具，涉及离心率的问题不妨考虑使用第二定义，很多时候会使得问题简单明了.
方法二：圆锥曲线统一的极坐标公式充分体现了圆锥曲线的统一特征，同时它也是解决圆锥曲线问题的一个不错的思考方向.
方法三：参数方程是一种重要的数学工具，它将圆锥曲线的问题转化为三角函数的问题，使得原来抽象的问题更加具体化.
方法四：韦达定理是最常用的处理直线与圆锥曲线位置关系的方法，联立方程之后充分利用韦达定理可以达到设而不求的效果.
答案第1页，共2页
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