高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册《行天下周测卷》5.3导数在研究函数中的应用（含解析）

一、单选题
1．设，若为函数的极大值点，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数的定义域为，且满足（是的导函数），则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且，关于轴对称，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．设函数在R上存在最小值，则函数的零点个数为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．无法确定
6．已知函数是定义在R上的可导函数，其导函数为．若，且，则使不等式成立的x的值可能为( )
A．－2 B．－1 C． D．2
二、多选题
7．已知为函数的导函数，若，，则下列结论错误的是（ ）
A．在上单调递增 B．在上单调递减
C．在上有极大值 D．在上有极小值
8．下列命题中是真命题有（ ）
A．若，则是函数的极值点
B．函数的切线与函数可以有两个公共点
C．函数在处的切线方程为，则当时，
D．若函数的导数，且，则不等式的解集是
三、填空题
9．定义在上的函数满足：有成立且，则不等式的解集为__________．
10．函数在区间（其中）上存在最小值，则实数的取值范围为______
11．已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围为___________.
12．若函数在区间上是减函数，则的最大值为_______________
四、解答题
13．一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比.已知速度为每小时10海里时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小？
14．已知函数.
（Ⅰ）若，求的单调区间；
（Ⅱ）若，，求零点个数.
15．在①的图象在点处的切线斜率为1；②；③有两个极值点-1，1这三个条件中任选一个补充在下面的问题（1）中，并加以解答.
已知.
(1)若______，求实数m的值；
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
(2)若，讨论的单调性.
16．如图，吊车的车身高为米（包括车轮的高度），吊臂长米，现要把一个直径为6米，高为3米的圆柱形屋顶水平地吊到屋基上安装，在安装过程中屋顶不能倾斜（注：在吊臂的旋转过程中可以靠吊起屋顶的缆绳的伸缩使得屋顶保持水平状态）.
（1）设吊臂与水平面的倾斜角为，屋顶底部与地面间的距离最大为米，此时如图所示，屋顶上部与吊臂有公共点，试将表示为函数，并写出定义域；
（2）若某吊车的车身高为2.5米，吊臂长24米，使用该吊车将屋顶吊到14米的屋基上，能否吊装成功？
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到所满足的关系，由此确定正确选项.
【详解】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.
有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的.
当时，由，，画出的图象如下图所示：
由图可知，，故.
当时，由时，，画出的图象如下图所示：
由图可知，，故.
综上所述，成立.
故选：D
【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.
2．C
【分析】构造，根据已知条件判断在上单调性，又题设不等式等价于，利用单调性及其定义域范围求解集.
【详解】令，则，即在上递增，
又，则等价于，即，
所以，解得，原不等式解集为.
故选：C
3．C
【分析】先求出函数的导数，再根据在上不单调可得在上有零点，且在该零点的两侧附近函数值异号，就和分类讨论后可得实数的取值范围，从而可得正确的选项.
【详解】，
若在上不单调，令，
对称轴方程为，则函数与
轴在上有交点．当时，显然不成立；
当时，有解得或．
四个选项中的范围，只有为的真子集，
∴在上不单调的一个充分不必要条件是.
故选：C．
4．A
【详解】因为函数与函数的图象关于x轴对称，
根据已知得函数的图象与函数的图象有交点，
即方程在上有解，
即在上有解．
令，，
则，
可知在上单调递增，在上单调递减，
故当时，，
由于，，且，
所以．
故选：A．
5．A
【分析】先求出，利用存在最小值求出的范围，即可判断的零点情况.
【详解】由可得，
令，得，其判别式．
当时，，在R上恒成立，
故在R上恒成立，没有最小值；
当时，，令，得，
，且，函数值的变化情况如下表所示：
x
+ 0 － 0 +
递增 极大值 递减 极小值 递增
当时，，要使有最小值，只需，
即，故，
故，故的判别式，因此有两个零点．
故选：A.
6．D
【分析】根据已知条件构造函数，要求解的不等式可化为，判断F(x)单调性即可求解.
【详解】设，则，
∵，∴，
∴，即在定义域R上单调递减．
∵，∴，
∴不等式等价于，即，解得，
结合选项可知，只有D符合题意．
故选：D．
7．ABC
【分析】将变形得（），构造函数，结合导数讨论正负，即可求出单调性和极值.
【详解】由，可知，则，即．
设，则由得，由得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数取得极小值．
故选：ABC．
8．BD
【分析】利用极值点的定义，举例判断A；举例判断B；利用导数的极限定义判断C;构造函数，利用单调性解不等式.
【详解】A：例如在处导数，但当时，函数单调递增，当时，函数也单调递增，故不是函数的极值点，故A选项错误；
B：例如，，在点的切线与有两个交点，故正确；
C：根据导数的定义可知，，即，，故错误；
D：令，则有，，故的解集是，故的解集是，正确；
故选：BD.
9．
【分析】由，判断出函数的单调性，利用单调性解即可
【详解】设
,又有成立，
函数，即是上的增函数．
，，即,
，
故答案为：．
10．
【解析】对函数求导得，求得函数的极小值点，可得不等式解不等式可得答案；
【详解】因为，所以，，
所以在单调递减，在单调递增，
因为在区间（其中）上存在最小值，
所以解得：，
故答案为：.
11．或
【分析】首先判断出函数的奇偶性和单调性，由此化简不等式并求得的取值范围.
【详解】由，得，
所以是上的奇函数．
又，当且仅当时取等号，
所以在其定义域内单调递增．
因为，所以，
所以，即解得或，故实数的取值范围是或．
故答案为：或.
12．
【分析】根据在区间上恒成立，可得，令，，则，，，，所以，根据不等式的性质可得结果.
【详解】因为函数在区间上是减函数，
所以在区间上恒成立，
所以，即，即，
令，，则，，
所以，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
所以的最大值为.
故答案为：.
【点睛】本题考查了由函数的单调性求参数的取值范围，考查了换元法由最值，考查了运算求解能力，属于中档题.
13．20
【分析】设速度为每小时v海里的燃料费是每小时p元，可求p＝0.006v3，由题可得航行1海里所需的费用总和为q=(0.006v3+96)=0.006v2+，再用导数求函数最值即可.
【详解】设速度为每小时v海里的燃料费是每小时p元，
那么由题设的比例关系得p＝k·v3，其中k为比例系数，
由题知v＝10时，p＝6，
∴k==0.006，
则p＝0.006v3，
又设当船的速度为每小时v海里时，航行1海里所需的总费用为q元，
那么每小时所需的总费用是0.006v3+96(元)，而航行1海里所需时间为小时，所以航行1海里的总费用为q=(0.006v3+96)=0.006v2+.
q′=0.012v-=(v3-8000),
令q′=0,解得v=20，
因为当v＜20时，q′＜0，当v＞20时，q′＞0，
所以当v＝20时，q取得最小值，
即速度为20海里/小时时，航行1海里所需费用总和最小.
14．（Ⅰ）单调减区间，单调增区间，；（Ⅱ）有且只有一个零点.
【分析】（Ⅰ）求得导函数，进而求得导函数的零点，得到导函数的正负区间，从而得到原函数的增减区间；（Ⅱ）利用导数研究函数的单调性，并结合零点存在定理得到零点个数.
【详解】（Ⅰ）当时，，所以.
令，解得，和，
当或，，所以，是单调增区间；
当，，所以是单调减区间；
（Ⅱ），，∵，成立，
∴令,解得，
∵，，
∴函数 在上上的单调性是：
在内单调递减，在内单调递增.
易知.
当时，∴当时，只要,即且时，即时必有，
∴当时，函数在上只有一个零点.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，零点问题，属基础题，其中利用导数研究函数的单调性是关键；利用放缩法判定当足够大时函数值大于零，是利用零点存在定理证明有一个零点的必要步骤.
15．(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）易得，分别将三个条件代入即可计算出m；
（2）对m分，，三种情况讨论即可得到函数的单调性.
（1）
方案一：选条件①.
易得，
，.
方案二：选条件②.
易得，
，.
方案三：选条件③.
易得，
∴由，得，.
有两个极值点-1，1，，.
（2）
.
当时，由，得或.
（i）若，则.
在R上单调递增.
（ii）若，则.
∴当时，或；当时，.
在上单调递增，在上单调递减.
（iii）若，则.
∴当时，或；当时，.
在上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在R上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
16．（1）；（2）可以吊装成功.
【解析】（1）将吊臂顶到地面的距离算两次，可建立与的函数关系；
（2）求的导函数，确定最大值，可以判断能否吊装成功.
【详解】（1）由已知得
得，
（2）由已知得∴
求导得
∴∴，且h′（α）在处左正右负，
∴
答：可以吊装成功.
【点睛】方法点睛：函数应用题解题步骤：
①建立函数关系；
②确定函数定义域；
③求导函数或进行函数变换，确定函数的最值；
④判断并回答问题.
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