高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册《行天下周测卷》5.2导数的运算（含解析）
文档属性
| 名称 | 高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册《行天下周测卷》5.2导数的运算（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 954.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-23 08:04:41 | ||
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文档简介
一、单选题
1．已知函数的导函数为，记，
．若，则（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示，过抛物线的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，若，且，则拋物线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，且椭圆截抛物线的准线所得线段长为6，那么该椭圆的离心率为
A．2 B． C． D．
4．已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，过作抛物线的一条切线，切点为，且满足，则抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
5．函数在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为
A． B． C． D．
二、多选题
7．一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合．若直线与半圆交于点A，与半椭圆交于点，则下列结论正确的是（ ）
A．椭圆的离心率是
B．线段长度的取值范围是
C．面积的最大值是
D．的周长存在最大值
8．如图，椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心.设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为和，半焦距分别为和，离心率分别为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
9．若抛物线的准线与曲线只有一个交点，则实数满足的条件是__________.
10．斜率为的直线与椭圆（）相交于，两点，线段的中点坐标为，则椭圆的离心率等于______.
11．已知曲线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F与曲线C2：（a＞b＞0）的右焦点重合，曲线Q与曲线C2交于A，B两点，曲线C3：y2＝﹣2px（p＞0）与曲线C2交于C，D两点，若四边形ABCD的面积为2p2，则曲线C2的离心率为____．
12．过椭圆上一动点P分别向圆和圆作切线，切点分别为M，N，则的最小值为________．
四、解答题
13．已知函数.
（1）求导函数；
（2）若曲线在点处的切线方程为，求a，b的值.
14．已知椭圆与椭圆有相同的离心率，且椭圆过点
（1）求椭圆的方程.
（2）若直线与椭圆交于、两点，求线段的垂直平分线的方程.
15．如图，已知动圆过点），且与圆内切，设动圆圆心的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）过圆心的直线交曲线于，两点，问：在轴上是否存在定点，使当直线绕点任意转动时，为定值？若存在，求出点的坐标和的值；若不存在，请说明理由．
16．如图，椭圆的离心率是，短轴长为，椭圆的左 右顶点为、.过椭圆与抛物线的公共焦点的直线与椭圆相交于两点，与抛物线相交于两点，点为的中点.
（1）求椭圆和抛物线的方程；
（2）记的面积为的面积为，若，求直线在轴上截距的范围.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【解析】通过计算、、、、，可得、、、，最后计算可得结果.
【详解】解：，
则，
，
，
，
，
所以猜想：，
，
，
，
由，，
所以，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查导数的计算以及不完全归纳法的应用，属于中档题.
2．B
【分析】分别过点，作准线的垂线，分别交准线于点，，设，根据抛物线定义可知，进而推断出的值，在直角三角形中求得，进而根据，利用比例线段的性质可求得，则抛物线方程可得.
【详解】如图分别过点，作准线的垂线，分别交准线于点，
设，则由已知得：，由定义得：，故
在直角三角形中，，
，，从而得
，，求得
所以抛物线的方程为．
故选：B
【点睛】关键点睛：本题考查直线与抛物线的位置关系，解决本题的关键在于根据抛物线定义得出，进而推断出的值，考查学生的分析审题能力，属于一般题.
3．D
【分析】先求出抛物线的焦点、准线，再根据椭圆的通径公式求出a、c，算出离心率.
【详解】易知抛物线的焦点（2，0），准线x=-2，
即椭圆的c=2，
因为抛物线的准线恰好过椭圆的焦点，即相交的线段为椭圆的通径；
即通径为 ，又因为c=2
解得a=4
所以离心率
故选D.
【点睛】本题目考察了抛物线的方程和性质，以及椭圆的性质，本题关键点在通径上，如果记不得通径公式就直接带入计算，一样可得答案，属于一般题型.
4．C
【解析】本题首先可根据题意得出点，然后设切线方程为、切点为，通过联立抛物线与切线方程解得，最后对、两种情况分别进行讨论，通过即可得出结果.
【详解】由题意可知，抛物线准线方程为，点，切线斜率一定存在，
设过点与抛物线相切的直线方程为，切点，
联立抛物线与切线方程，转化得，
，解得，
当时，直线方程为，
，解得，则，
因为，所以，解得；
当时，同理得，
综上所述，抛物线方程为，
故选：C.
【点睛】本题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线相切的相关问题的求解，考查判别式的灵活应用，考查两点间距离公式，考查转化与化归思想，考查计算能力，是中档题.
5．A
【分析】由已知结合导数的几何意义及计算即可求解
【详解】，求导得，
则当时，，所以切线的斜率为2．
又当时，，所以切点为．
所以切线方程为．
故选：A
【点睛】方法点睛：本题考查了利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程，求切线常见考法：
(1)已知切点求斜率k，即求该点处的导数值：．
(2)已知斜率k，求切点，即解方程.
(3)若求过点的切线方程，可设切点为，由，求解即可．
6．C
【解析】先判断时，在上恒成立；若在上恒成立，转化为在上恒成立．
【详解】∵，即，
（1）当时，，
当时，，
故当时，在上恒成立；
若在上恒成立，即在上恒成立，
令，则，
当函数单增，当函数单减，
故，所以．当时，在上恒成立；
综上可知，的取值范围是，
故选C．
【点睛】本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析．
7．AC
【分析】由题意可求得椭圆的a,b,c，即可求得离心率，判断A；由图可直接确定线段长度的取值范围，判断B；求出面积的表达式，利用基本不等式可求得其最值，判断C；表示出的周长，根据其表达式结合参数的范围可确定其是否存在最大值，判断D.
【详解】由题意得半圆的方程为，
设半椭圆的方程为，由题意知，∴，
∴半椭圆的方程为．
对于A，，A正确；
对于B，由图可知，当时，；当时，，
所以线段长度的取值范围是，B错误．
对于C，，设，则，
∴，设，∴，∴，
∴，
∴，
当且仅当时等号成立，C正确．
对于D，的周长为，
所以当时，的周长最大，但是不能取零，
所以的周长没有最大值，D错误，
故选：AC
8．ABD
【分析】先根据已知的条件确定和的关系，以及和的关系，再判断正确选项．
【详解】由椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心，可得，
由椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点，可得；
因为，且，则
，所以A正确；
因为，所以B正确；
因为，，
则有，所以C错误；
因为，所以D正确；
故选：ABD.
【点睛】本题考查椭圆的定义，椭圆的圆扁程度与参数之间的关系，属基础题.
9．
【解析】根据题意求出抛物线的准线方程为，分别讨论和时曲线所表示的图形，即可求解.
【详解】抛物线的准线为，
当时，表示椭圆在轴上方部分以及左右顶点
所以，
若与曲线只有一个交点，
则，解得，
当时，表示双曲线的在轴上方部分即上支，
此时，
此时满足与曲线只有一个交点，所以，
综上所述：实数满足的条件是或，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是分和两种情况讨论，得到曲线是我们熟悉的椭圆与双曲线的一部分，数形结合可得的范围.
10．
【分析】利用点差法，结合是线段的中点，斜率为，即可求出椭圆的离心率．
【详解】解：设，，，，
则①，②，
是线段的中点，
，，
直线的方程是，
，
①②两式相减可得：，
，
，
，
，
故答案为：.
11．1+
【解析】由题意可得c＝，由对称性设A（m，n），m，n＞0，B（m，﹣n），C（﹣m，﹣n），D（﹣m，n），则由四边形ABCD的面积为2p2，可得2mn＝p2，又因为2mn＝p2，从而可解得m＝c，n＝2c，再代入双曲线方程化简可得e4﹣6e2+1＝0，从而可求出离心率
【详解】曲线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F（，0），F与曲线C2：（a＞b＞0）的右焦点重合，可设c＝，①，
由对称性设A（m，n），m，n＞0，B（m，﹣n），C（﹣m，﹣n），D（﹣m，n），
四边形ABCD的面积为2p2，可得4mn＝2p2，即2mn＝p2，②
且n2＝2pm，③，
由①②③可得m＝c，n＝2c，代入双曲线的方程可得﹣＝1，
由e＝及b2＝c2﹣a2，可得e2﹣＝1，化为e4﹣6e2+1＝0，解得e2＝3+2，可得e＝1+．
故答案为：1+．
【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线离心率的求法，解题的关键是由对称性设A（m，n），m，n＞0，B（m，﹣n），C（﹣m，﹣n），D（﹣m，n），从而结题意可得c＝，2mn＝p2，n2＝2pm，解出m＝c，n＝2c，代入双曲线方程中化简可求得离心率，考查计算能力，属于中档题
12．
【分析】易知两圆的圆心为椭圆的两焦点，由勾股定理可得，，由椭圆的定义可得，设，利用二次函数的基本性质可求得的最小值.
【详解】，，，易知、为椭圆的两个焦点，
，
根据椭圆定义，
设，则，即，
则，
当时，取到最小值．
故答案为：
13．（1）；（2），.
【分析】(1)利用基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则直接求导；
(2)利用切点与切线及曲线的关系，再借助导数的几何意义即可计算得解.
【详解】（1）由，
得；
（2）因为切点既在曲线上，又在切线上，
于是将代入切线方程，得，又，则，解得，
而切线的斜率为，即，又，则，解得，
所以，.
14．（1）；（2）.
【解析】（1）已知得，由离心率得，从而得，再计算出后可得椭圆方程；
（2）由韦达定理得中点坐标，由垂直得斜率，然后可得垂直平分线方程．
【详解】（1）由题意，
椭圆的离心率为，∴，∴，∴，
∴椭圆方程为；
（2）设，
由，得，∴，
设中点为，则，∴．
又，∴的垂直平分线方程为，即．
【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交弦中点问题，解题方法是设而不求的思想方法，即设交点为，由直线方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理求得，，利用中点坐标公式求得中点的横坐标得中点坐标，再结合斜率可和垂直平分线方程．
15．（1）；（2）存在点，使得为定值.
【解析】（1）由题意知，于是，结合椭圆定义可得曲线方程；
（2）当直线与轴不重合时，设直线的方程为，代入，由韦达定理得 ，，再讨论能否让为定值；再补充当直线与轴重合时的情况.
【详解】（1）由圆的方程知，圆心为，半径为.
设圆和圆内切于点，则，，三点共线，且.
因为圆过点，则，于是，
所以圆心的轨迹是以，为焦点的椭圆.
因为，则，又，则，所以曲线的方程是.
（2）当直线与轴不重合时，设直线的方程为，代入，得，
即.
设点，，则，.
设点，则，，
.
若为定值，则，解得，此时为定值.
当直线与轴重合时，点，.对于点，则．
，此时.
综上分析，存在点，使得为定值.
【点晴】方法点睛：求轨迹方程的常用方法
（1）直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量，如（距离和角）的等量关系，或几何条件简单明了易于表达，只需要把这种关系转化为的等式，就能得到曲线的轨迹方程；
（2）定义法：某动点的轨迹符合某一基本轨迹如直线、圆锥曲线的定义，则可根据定义设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程；
（3）几何法：若所求轨迹满足某些几何性质，如线段的垂直平分线，角平分线的性质，则可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标即可；
（4）相关点法（代入法）：若动点满足的条件不变用等式表示，但动点是随着另一动点（称之为相关点）的运动而运动，且相关点满足的条件是明显的或是可分析的，这时我们可以用动点的坐标表示相关点的坐标，根据相关点坐标所满足的方程，求得动点的轨迹方程；
（5）交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现求两个动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数参数求出所求轨迹的方程.
16．（1）椭圆，拋物线；（2）.
【分析】（1）依题意得到方程组，求出的值，即可求出拖椭圆方程，再根据抛物线的焦点求出抛物线方程；
（2）设，联立与椭圆，利用韦达定理及弦长公式，点到直线的距离，求出三角形的面积，，再根据得到不等式，解得即可；
【详解】（1）根据题意得：，解得，，，抛物线焦点，
因此椭圆，拋物线
（2）设，联立与椭圆，
整理得：，判别式：
弦长公式：，所以
联立与抛物线，整理得：，判别式：
弦长公式：，
所以，
因为，因此，解得：
在轴上截距或，因此在轴上截距取值范围是.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
1．已知函数的导函数为，记，
．若，则（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示，过抛物线的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，若，且，则拋物线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，且椭圆截抛物线的准线所得线段长为6，那么该椭圆的离心率为
A．2 B． C． D．
4．已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，过作抛物线的一条切线，切点为，且满足，则抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
5．函数在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为
A． B． C． D．
二、多选题
7．一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合．若直线与半圆交于点A，与半椭圆交于点，则下列结论正确的是（ ）
A．椭圆的离心率是
B．线段长度的取值范围是
C．面积的最大值是
D．的周长存在最大值
8．如图，椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心.设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为和，半焦距分别为和，离心率分别为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
9．若抛物线的准线与曲线只有一个交点，则实数满足的条件是__________.
10．斜率为的直线与椭圆（）相交于，两点，线段的中点坐标为，则椭圆的离心率等于______.
11．已知曲线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F与曲线C2：（a＞b＞0）的右焦点重合，曲线Q与曲线C2交于A，B两点，曲线C3：y2＝﹣2px（p＞0）与曲线C2交于C，D两点，若四边形ABCD的面积为2p2，则曲线C2的离心率为____．
12．过椭圆上一动点P分别向圆和圆作切线，切点分别为M，N，则的最小值为________．
四、解答题
13．已知函数.
（1）求导函数；
（2）若曲线在点处的切线方程为，求a，b的值.
14．已知椭圆与椭圆有相同的离心率，且椭圆过点
（1）求椭圆的方程.
（2）若直线与椭圆交于、两点，求线段的垂直平分线的方程.
15．如图，已知动圆过点），且与圆内切，设动圆圆心的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）过圆心的直线交曲线于，两点，问：在轴上是否存在定点，使当直线绕点任意转动时，为定值？若存在，求出点的坐标和的值；若不存在，请说明理由．
16．如图，椭圆的离心率是，短轴长为，椭圆的左 右顶点为、.过椭圆与抛物线的公共焦点的直线与椭圆相交于两点，与抛物线相交于两点，点为的中点.
（1）求椭圆和抛物线的方程；
（2）记的面积为的面积为，若，求直线在轴上截距的范围.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【解析】通过计算、、、、，可得、、、，最后计算可得结果.
【详解】解：，
则，
，
，
，
，
所以猜想：，
，
，
，
由，，
所以，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查导数的计算以及不完全归纳法的应用，属于中档题.
2．B
【分析】分别过点，作准线的垂线，分别交准线于点，，设，根据抛物线定义可知，进而推断出的值，在直角三角形中求得，进而根据，利用比例线段的性质可求得，则抛物线方程可得.
【详解】如图分别过点，作准线的垂线，分别交准线于点，
设，则由已知得：，由定义得：，故
在直角三角形中，，
，，从而得
，，求得
所以抛物线的方程为．
故选：B
【点睛】关键点睛：本题考查直线与抛物线的位置关系，解决本题的关键在于根据抛物线定义得出，进而推断出的值，考查学生的分析审题能力，属于一般题.
3．D
【分析】先求出抛物线的焦点、准线，再根据椭圆的通径公式求出a、c，算出离心率.
【详解】易知抛物线的焦点（2，0），准线x=-2，
即椭圆的c=2，
因为抛物线的准线恰好过椭圆的焦点，即相交的线段为椭圆的通径；
即通径为 ，又因为c=2
解得a=4
所以离心率
故选D.
【点睛】本题目考察了抛物线的方程和性质，以及椭圆的性质，本题关键点在通径上，如果记不得通径公式就直接带入计算，一样可得答案，属于一般题型.
4．C
【解析】本题首先可根据题意得出点，然后设切线方程为、切点为，通过联立抛物线与切线方程解得，最后对、两种情况分别进行讨论，通过即可得出结果.
【详解】由题意可知，抛物线准线方程为，点，切线斜率一定存在，
设过点与抛物线相切的直线方程为，切点，
联立抛物线与切线方程，转化得，
，解得，
当时，直线方程为，
，解得，则，
因为，所以，解得；
当时，同理得，
综上所述，抛物线方程为，
故选：C.
【点睛】本题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线相切的相关问题的求解，考查判别式的灵活应用，考查两点间距离公式，考查转化与化归思想，考查计算能力，是中档题.
5．A
【分析】由已知结合导数的几何意义及计算即可求解
【详解】，求导得，
则当时，，所以切线的斜率为2．
又当时，，所以切点为．
所以切线方程为．
故选：A
【点睛】方法点睛：本题考查了利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程，求切线常见考法：
(1)已知切点求斜率k，即求该点处的导数值：．
(2)已知斜率k，求切点，即解方程.
(3)若求过点的切线方程，可设切点为，由，求解即可．
6．C
【解析】先判断时，在上恒成立；若在上恒成立，转化为在上恒成立．
【详解】∵，即，
（1）当时，，
当时，，
故当时，在上恒成立；
若在上恒成立，即在上恒成立，
令，则，
当函数单增，当函数单减，
故，所以．当时，在上恒成立；
综上可知，的取值范围是，
故选C．
【点睛】本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析．
7．AC
【分析】由题意可求得椭圆的a,b,c，即可求得离心率，判断A；由图可直接确定线段长度的取值范围，判断B；求出面积的表达式，利用基本不等式可求得其最值，判断C；表示出的周长，根据其表达式结合参数的范围可确定其是否存在最大值，判断D.
【详解】由题意得半圆的方程为，
设半椭圆的方程为，由题意知，∴，
∴半椭圆的方程为．
对于A，，A正确；
对于B，由图可知，当时，；当时，，
所以线段长度的取值范围是，B错误．
对于C，，设，则，
∴，设，∴，∴，
∴，
∴，
当且仅当时等号成立，C正确．
对于D，的周长为，
所以当时，的周长最大，但是不能取零，
所以的周长没有最大值，D错误，
故选：AC
8．ABD
【分析】先根据已知的条件确定和的关系，以及和的关系，再判断正确选项．
【详解】由椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心，可得，
由椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点，可得；
因为，且，则
，所以A正确；
因为，所以B正确；
因为，，
则有，所以C错误；
因为，所以D正确；
故选：ABD.
【点睛】本题考查椭圆的定义，椭圆的圆扁程度与参数之间的关系，属基础题.
9．
【解析】根据题意求出抛物线的准线方程为，分别讨论和时曲线所表示的图形，即可求解.
【详解】抛物线的准线为，
当时，表示椭圆在轴上方部分以及左右顶点
所以，
若与曲线只有一个交点，
则，解得，
当时，表示双曲线的在轴上方部分即上支，
此时，
此时满足与曲线只有一个交点，所以，
综上所述：实数满足的条件是或，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是分和两种情况讨论，得到曲线是我们熟悉的椭圆与双曲线的一部分，数形结合可得的范围.
10．
【分析】利用点差法，结合是线段的中点，斜率为，即可求出椭圆的离心率．
【详解】解：设，，，，
则①，②，
是线段的中点，
，，
直线的方程是，
，
①②两式相减可得：，
，
，
，
，
故答案为：.
11．1+
【解析】由题意可得c＝，由对称性设A（m，n），m，n＞0，B（m，﹣n），C（﹣m，﹣n），D（﹣m，n），则由四边形ABCD的面积为2p2，可得2mn＝p2，又因为2mn＝p2，从而可解得m＝c，n＝2c，再代入双曲线方程化简可得e4﹣6e2+1＝0，从而可求出离心率
【详解】曲线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F（，0），F与曲线C2：（a＞b＞0）的右焦点重合，可设c＝，①，
由对称性设A（m，n），m，n＞0，B（m，﹣n），C（﹣m，﹣n），D（﹣m，n），
四边形ABCD的面积为2p2，可得4mn＝2p2，即2mn＝p2，②
且n2＝2pm，③，
由①②③可得m＝c，n＝2c，代入双曲线的方程可得﹣＝1，
由e＝及b2＝c2﹣a2，可得e2﹣＝1，化为e4﹣6e2+1＝0，解得e2＝3+2，可得e＝1+．
故答案为：1+．
【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线离心率的求法，解题的关键是由对称性设A（m，n），m，n＞0，B（m，﹣n），C（﹣m，﹣n），D（﹣m，n），从而结题意可得c＝，2mn＝p2，n2＝2pm，解出m＝c，n＝2c，代入双曲线方程中化简可求得离心率，考查计算能力，属于中档题
12．
【分析】易知两圆的圆心为椭圆的两焦点，由勾股定理可得，，由椭圆的定义可得，设，利用二次函数的基本性质可求得的最小值.
【详解】，，，易知、为椭圆的两个焦点，
，
根据椭圆定义，
设，则，即，
则，
当时，取到最小值．
故答案为：
13．（1）；（2），.
【分析】(1)利用基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则直接求导；
(2)利用切点与切线及曲线的关系，再借助导数的几何意义即可计算得解.
【详解】（1）由，
得；
（2）因为切点既在曲线上，又在切线上，
于是将代入切线方程，得，又，则，解得，
而切线的斜率为，即，又，则，解得，
所以，.
14．（1）；（2）.
【解析】（1）已知得，由离心率得，从而得，再计算出后可得椭圆方程；
（2）由韦达定理得中点坐标，由垂直得斜率，然后可得垂直平分线方程．
【详解】（1）由题意，
椭圆的离心率为，∴，∴，∴，
∴椭圆方程为；
（2）设，
由，得，∴，
设中点为，则，∴．
又，∴的垂直平分线方程为，即．
【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交弦中点问题，解题方法是设而不求的思想方法，即设交点为，由直线方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理求得，，利用中点坐标公式求得中点的横坐标得中点坐标，再结合斜率可和垂直平分线方程．
15．（1）；（2）存在点，使得为定值.
【解析】（1）由题意知，于是，结合椭圆定义可得曲线方程；
（2）当直线与轴不重合时，设直线的方程为，代入，由韦达定理得 ，，再讨论能否让为定值；再补充当直线与轴重合时的情况.
【详解】（1）由圆的方程知，圆心为，半径为.
设圆和圆内切于点，则，，三点共线，且.
因为圆过点，则，于是，
所以圆心的轨迹是以，为焦点的椭圆.
因为，则，又，则，所以曲线的方程是.
（2）当直线与轴不重合时，设直线的方程为，代入，得，
即.
设点，，则，.
设点，则，，
.
若为定值，则，解得，此时为定值.
当直线与轴重合时，点，.对于点，则．
，此时.
综上分析，存在点，使得为定值.
【点晴】方法点睛：求轨迹方程的常用方法
（1）直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量，如（距离和角）的等量关系，或几何条件简单明了易于表达，只需要把这种关系转化为的等式，就能得到曲线的轨迹方程；
（2）定义法：某动点的轨迹符合某一基本轨迹如直线、圆锥曲线的定义，则可根据定义设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程；
（3）几何法：若所求轨迹满足某些几何性质，如线段的垂直平分线，角平分线的性质，则可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标即可；
（4）相关点法（代入法）：若动点满足的条件不变用等式表示，但动点是随着另一动点（称之为相关点）的运动而运动，且相关点满足的条件是明显的或是可分析的，这时我们可以用动点的坐标表示相关点的坐标，根据相关点坐标所满足的方程，求得动点的轨迹方程；
（5）交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现求两个动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数参数求出所求轨迹的方程.
16．（1）椭圆，拋物线；（2）.
【分析】（1）依题意得到方程组，求出的值，即可求出拖椭圆方程，再根据抛物线的焦点求出抛物线方程；
（2）设，联立与椭圆，利用韦达定理及弦长公式，点到直线的距离，求出三角形的面积，，再根据得到不等式，解得即可；
【详解】（1）根据题意得：，解得，，，抛物线焦点，
因此椭圆，拋物线
（2）设，联立与椭圆，
整理得：，判别式：
弦长公式：，所以
联立与抛物线，整理得：，判别式：
弦长公式：，
所以，
因为，因此，解得：
在轴上截距或，因此在轴上截距取值范围是.
答案第1页，共2页
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