高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册《行天下周测卷》1.1空间向量及其运算（含解析）
文档属性
| 名称 | 高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册《行天下周测卷》1.1空间向量及其运算（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 886.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-23 08:05:14 | ||
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文档简介
一、单选题
1．设是空间不共面的四点，且满足，，，则是
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形
2．如图，在大小为45°的二面角A EF D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是( )
A． B．
C．1 D．
3．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．向量与的夹角是
D．与所成角的余弦值为
4．在棱长为1的正四面体中，点满足，点满足，当最短时，（ ）
A． B． C． D．
5．已知是长方体外接球的一条直径，点在长方体表面上运动，长方体的棱长分别是1，1，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．在四面体中给出以下四个结论，则说法错误的是（ ）
A．若，则可知
B．若Q为的重心，则
C．若，，则
D．若四面体各棱长都为2，M，N分别为PA，BC的中点，则
二、多选题
7．如图，平面平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，若G是EF的中点，，，则（ ）
A． B．平面ABCD
C． D．三棱锥外接球的表面积是
8．设是空间一个基底，下列选项中正确的是（ ）
A．若，，则
B．则两两共面，但不可能共面
C．对空间任一向量，总存在有序实数组，使
D．则，，一定能构成空间的一个基底
三、填空题
9．如图，已知平面平面，，，，，，，，且，，，则_________________.
10．如图，在三棱锥中，，平面ABC，于点E，M是AC的中点，，则的最小值为______．
11．设是单位向量，且，则的最小值为__________．
12．平行六面体 中，已知底面四边形为正方形，且，其中，设 ，，体对角线，则的值是______.
四、解答题
13．如图，在空间四边形ABCD中，DA，DB，DC两两垂直，DA＝3，DB＝DC＝2，点E在边DA上，且DE＝2EA，F为BC的中点．
(1)用向量，，表示向量；
(2)求．
14．如图，分别是四面体的棱的中点，是的三等分点．
（1）用向量 ，，表示和．
（2）若四面体的所有棱长都等于1，求的值．
15．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，且，若E、F分别为、的中点.求证：
（1）平面；
（2）平面.（用向量方法证明）
16．为四棱锥的棱的三等分点，且.点在上，，四边形为平行四边形．若四点共面，求实数的值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】由，，，可得，是锐角，同理可得，都是锐角，从而可得结果．
【详解】因为，，，
所以，
，故是锐角，
同理，，可得，都是锐角，
故是锐角三角形，故选B．
【点睛】本题主要考查向量的数量积的运算以及向量运算的三角形法则，属于中档题．判断三角形的形状有两种基本的方法：看三角形的角；看三角形的边
2．D
【分析】由，利用数量积运算性质展开即可得到答案
【详解】,
故
故选
【点睛】本题是要求空间两点之间的距离，运用空间向量将其表示，然后计算得到结果，较为基础．
3．B
【解析】选项，计算得，所以选项不正确；
选项，，所以，所以选项正确；
选项，向量与的夹角是，所以选项不正确；
选项，与所成角的余弦值为，所以选项不正确.
【详解】选项，由题意可知，
则
，
∴，所以选项不正确；
选项，，又，
∴，所以选项正确；
选项，，，
∴向量与的夹角是，所以选项不正确；
选项，，，
设与所成角的平面角为，
∴
，所以选项不正确.
故选：B
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是把几何的问题和向量联系起来，转化为向量的问题，提高解题效率，优化解题.把线段长度的计算，转化为向量的模的计算；把垂直证明转化为向量数量积为零；把异面直线所成的角转化为向量的夹角计算.
4．A
【分析】由题知平面，直线，故当、最短时，平面，，再根据向量的关系计算即可得答案.
【详解】，，
∴ ，，
即:，；
平面，直线，
所以当、最短时，平面，，
为的中心，为线段的中点，
如图：
又正四面体的棱长为1，
，
平面，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查空间向量的数量积运算，共面向量定理，共线向量定理，解题的关键在于结合共面向量定理与共线向量定理得平面，直线，进而当当、最短时，平面，，再求解.
5．B
【解析】在长方体中建立空间直角坐标系，用向量法求解.
【详解】
根据题意，以D为坐标原点，为x轴正方向，为y轴正方向，为z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图示.
设长方体外接球球心为O，则DB1为外接球的一条直径，设O为DB1中点，不妨设M与D重合，N与B1重合.
则外接球的直径长为，所以半径r=1；
所以
由P在长方体表面上运动，所以，即
所以，即
故选：B
【点睛】向量法解决立体几何问题的关键：
(1)建立合适的坐标系；
(2)把要用到的向量正确表示；
(3)利用向量法证明或计算.
6．D
【分析】根据空间向量的线性运算结合重心的性质以及向量模长的计算逐项判断即可.
【详解】解：对A，，则，
整理得，即，等价于，所以，故A正确；
对B，Q为的重心，则，，
整理得：，故B正确；
对C，，，
所以
所以
整理得：
即
所以
即，故C正确；
对D，四面体各棱长都为2，M，N分别为PA，BC的中点，
所以四面体的各个面均为正三角形
则，
，，两两之间的夹角均为
所以
又因为
所以，故D错误.
故选：D.
【点睛】方法点睛：求空间向量模长的方法
①坐标法：，则；
②直接法：通过对已知条件进行化简直接得到向量的模长；
③利用进行求解.
7．BCD
【分析】利用已知结合数量积的运算求解可判断选项A，由线面平行的判定定理可判断选项B,由面面垂直的性质定理可判断选项C,计算可得为直角三角形，再由为直角三角形，可知为三棱锥的外接球的直径，再由球的表面积公式可判断选项D．
【详解】解：，，
，
又、、两两相互垂直，
，A错误，
四边形ABEF是矩形，
平面ABCD, 平面ABCD,
平面ABCD, B正确，
平面平面ABEF，四边形ABCD是正方形，,平面平面ABEF，
平面ABEF, 平面ABEF ,,C正确，
，，
， 为直角三角形，
又为直角三角形，为三棱锥的外接球的直径，
则三棱锥的外接球的表面积．
故选：BCD．
8．BCD
【解析】根据空间向量的基底的概念，对选项逐一分析，可得正确选项.
【详解】由是空间一个基底，知：
在A中，若，，则与的夹角不一定是，故A错误；
在B中，两两共面，但不可能共面，故B正确；
在C中，根据空间向量的基本定理可知C正确；
在D中，因为不共面，假设，，共面，设，化简得，可得共面，与已知矛盾，所以，，不共面，可作为基底，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】本题主要考查向量的基底的概念，需要注意：
（1）如果是基底，则一定不共面；
（2）对空间中任意向量，都可以用基底向量进行表示；
（3）如果，则共面.
9．13
【分析】根据面面垂直得线面垂直，进而得,再根据向量模的平方求得结果.
【详解】因为平面平面，，,，所以，
因为，所以，
故答案为：13
【点睛】本题考查面面垂直性质定理、利用空间向量求线段长，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.
10．##-0.125
【分析】根据给定条件，证明平面PAB，将用表示出，再结合空间向量数量积的运算律求解作答.
【详解】连接，如图，
因平面ABC，平面ABC，则，而，，平面PAB，
则平面PAB，又平面PAB，即有，
因M是AC的中点，则，又，
，当且仅当取“=”，
所以的最小值为.
故答案为：
11．
【分析】设与的夹角为，根据已知，利用向量的数量积的运算将化为关于的三角函数表达式，进而利用三角函数的性质求得最小值.
【详解】，且均为单位向量，
∴，
||=1，,
∴.
设与的夹角为θ，
则.
故的最小值为
故答案为：
12．
【分析】等价转换，两边平方化简可得.
【详解】，
故,
，其中，设 ，，
代入化简 ，
解得或（舍去） .
故答案为：
【点睛】本题考查空间向量数量积的应用.运用公式，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题
13．(1)
(2)
【分析】（1）由，根据的位置可得出答案.
（2）由（1）将平方的，由向量的数量积的运算可得出答案.
（1）
依题意，得，
因为点E满足，F为BC的中点，
所以．
所以
（2）
因为DA，DB，DC两两垂直．，
所以，
由（1）可得
即所以
14．（1）,（2）.
【分析】（1）利用空间向量基本定理及空间向量线性运算可得.
（2）四面体的所有棱长都等于1，各面为等边三角形，再运用空间向量数量积运算化简可得.
【详解】解：（1），
∴
（2）四面体的所有棱长都等于1，各面为等边三角形, ，，
【点睛】本题考查空间向量基本定理及数量积计算
用已知向量表示某一向量的三个关键点
(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．
(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．
15．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）通过计算得到 ，由此证得向量共面，从而证得平面.
（2）通过计算得到，由此证得，从而证得平面.
【详解】（1）依题意E、F分别为、的中点，所以
，
所以向量共面，
又平面平面，
所以平面.
（2）因为侧面底面，侧面底面，底面是正方形，所以平面.
设，则，即，
所以，
所以，
所以，由平面，可得平面.
【点睛】用向量方法证明线面平行或垂直，理论依据是线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理.
16．．
【分析】利用空间向量的线性运算，根据空间向量基本定理的推论：四点共面的条件，得到的值.
【详解】解：如图:
因为为棱的三等分点，且，∴，∴；
又∵点在上，，∴.
∴
,
又因为四点共面，且不共面，
所以，
解得．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
1．设是空间不共面的四点，且满足，，，则是
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形
2．如图，在大小为45°的二面角A EF D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是( )
A． B．
C．1 D．
3．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．向量与的夹角是
D．与所成角的余弦值为
4．在棱长为1的正四面体中，点满足，点满足，当最短时，（ ）
A． B． C． D．
5．已知是长方体外接球的一条直径，点在长方体表面上运动，长方体的棱长分别是1，1，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．在四面体中给出以下四个结论，则说法错误的是（ ）
A．若，则可知
B．若Q为的重心，则
C．若，，则
D．若四面体各棱长都为2，M，N分别为PA，BC的中点，则
二、多选题
7．如图，平面平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，若G是EF的中点，，，则（ ）
A． B．平面ABCD
C． D．三棱锥外接球的表面积是
8．设是空间一个基底，下列选项中正确的是（ ）
A．若，，则
B．则两两共面，但不可能共面
C．对空间任一向量，总存在有序实数组，使
D．则，，一定能构成空间的一个基底
三、填空题
9．如图，已知平面平面，，，，，，，，且，，，则_________________.
10．如图，在三棱锥中，，平面ABC，于点E，M是AC的中点，，则的最小值为______．
11．设是单位向量，且，则的最小值为__________．
12．平行六面体 中，已知底面四边形为正方形，且，其中，设 ，，体对角线，则的值是______.
四、解答题
13．如图，在空间四边形ABCD中，DA，DB，DC两两垂直，DA＝3，DB＝DC＝2，点E在边DA上，且DE＝2EA，F为BC的中点．
(1)用向量，，表示向量；
(2)求．
14．如图，分别是四面体的棱的中点，是的三等分点．
（1）用向量 ，，表示和．
（2）若四面体的所有棱长都等于1，求的值．
15．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，且，若E、F分别为、的中点.求证：
（1）平面；
（2）平面.（用向量方法证明）
16．为四棱锥的棱的三等分点，且.点在上，，四边形为平行四边形．若四点共面，求实数的值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】由，，，可得，是锐角，同理可得，都是锐角，从而可得结果．
【详解】因为，，，
所以，
，故是锐角，
同理，，可得，都是锐角，
故是锐角三角形，故选B．
【点睛】本题主要考查向量的数量积的运算以及向量运算的三角形法则，属于中档题．判断三角形的形状有两种基本的方法：看三角形的角；看三角形的边
2．D
【分析】由，利用数量积运算性质展开即可得到答案
【详解】,
故
故选
【点睛】本题是要求空间两点之间的距离，运用空间向量将其表示，然后计算得到结果，较为基础．
3．B
【解析】选项，计算得，所以选项不正确；
选项，，所以，所以选项正确；
选项，向量与的夹角是，所以选项不正确；
选项，与所成角的余弦值为，所以选项不正确.
【详解】选项，由题意可知，
则
，
∴，所以选项不正确；
选项，，又，
∴，所以选项正确；
选项，，，
∴向量与的夹角是，所以选项不正确；
选项，，，
设与所成角的平面角为，
∴
，所以选项不正确.
故选：B
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是把几何的问题和向量联系起来，转化为向量的问题，提高解题效率，优化解题.把线段长度的计算，转化为向量的模的计算；把垂直证明转化为向量数量积为零；把异面直线所成的角转化为向量的夹角计算.
4．A
【分析】由题知平面，直线，故当、最短时，平面，，再根据向量的关系计算即可得答案.
【详解】，，
∴ ，，
即:，；
平面，直线，
所以当、最短时，平面，，
为的中心，为线段的中点，
如图：
又正四面体的棱长为1，
，
平面，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查空间向量的数量积运算，共面向量定理，共线向量定理，解题的关键在于结合共面向量定理与共线向量定理得平面，直线，进而当当、最短时，平面，，再求解.
5．B
【解析】在长方体中建立空间直角坐标系，用向量法求解.
【详解】
根据题意，以D为坐标原点，为x轴正方向，为y轴正方向，为z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图示.
设长方体外接球球心为O，则DB1为外接球的一条直径，设O为DB1中点，不妨设M与D重合，N与B1重合.
则外接球的直径长为，所以半径r=1；
所以
由P在长方体表面上运动，所以，即
所以，即
故选：B
【点睛】向量法解决立体几何问题的关键：
(1)建立合适的坐标系；
(2)把要用到的向量正确表示；
(3)利用向量法证明或计算.
6．D
【分析】根据空间向量的线性运算结合重心的性质以及向量模长的计算逐项判断即可.
【详解】解：对A，，则，
整理得，即，等价于，所以，故A正确；
对B，Q为的重心，则，，
整理得：，故B正确；
对C，，，
所以
所以
整理得：
即
所以
即，故C正确；
对D，四面体各棱长都为2，M，N分别为PA，BC的中点，
所以四面体的各个面均为正三角形
则，
，，两两之间的夹角均为
所以
又因为
所以，故D错误.
故选：D.
【点睛】方法点睛：求空间向量模长的方法
①坐标法：，则；
②直接法：通过对已知条件进行化简直接得到向量的模长；
③利用进行求解.
7．BCD
【分析】利用已知结合数量积的运算求解可判断选项A，由线面平行的判定定理可判断选项B,由面面垂直的性质定理可判断选项C,计算可得为直角三角形，再由为直角三角形，可知为三棱锥的外接球的直径，再由球的表面积公式可判断选项D．
【详解】解：，，
，
又、、两两相互垂直，
，A错误，
四边形ABEF是矩形，
平面ABCD, 平面ABCD,
平面ABCD, B正确，
平面平面ABEF，四边形ABCD是正方形，,平面平面ABEF，
平面ABEF, 平面ABEF ,,C正确，
，，
， 为直角三角形，
又为直角三角形，为三棱锥的外接球的直径，
则三棱锥的外接球的表面积．
故选：BCD．
8．BCD
【解析】根据空间向量的基底的概念，对选项逐一分析，可得正确选项.
【详解】由是空间一个基底，知：
在A中，若，，则与的夹角不一定是，故A错误；
在B中，两两共面，但不可能共面，故B正确；
在C中，根据空间向量的基本定理可知C正确；
在D中，因为不共面，假设，，共面，设，化简得，可得共面，与已知矛盾，所以，，不共面，可作为基底，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】本题主要考查向量的基底的概念，需要注意：
（1）如果是基底，则一定不共面；
（2）对空间中任意向量，都可以用基底向量进行表示；
（3）如果，则共面.
9．13
【分析】根据面面垂直得线面垂直，进而得,再根据向量模的平方求得结果.
【详解】因为平面平面，，,，所以，
因为，所以，
故答案为：13
【点睛】本题考查面面垂直性质定理、利用空间向量求线段长，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.
10．##-0.125
【分析】根据给定条件，证明平面PAB，将用表示出，再结合空间向量数量积的运算律求解作答.
【详解】连接，如图，
因平面ABC，平面ABC，则，而，，平面PAB，
则平面PAB，又平面PAB，即有，
因M是AC的中点，则，又，
，当且仅当取“=”，
所以的最小值为.
故答案为：
11．
【分析】设与的夹角为，根据已知，利用向量的数量积的运算将化为关于的三角函数表达式，进而利用三角函数的性质求得最小值.
【详解】，且均为单位向量，
∴，
||=1，,
∴.
设与的夹角为θ，
则.
故的最小值为
故答案为：
12．
【分析】等价转换，两边平方化简可得.
【详解】，
故,
，其中，设 ，，
代入化简 ，
解得或（舍去） .
故答案为：
【点睛】本题考查空间向量数量积的应用.运用公式，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题
13．(1)
(2)
【分析】（1）由，根据的位置可得出答案.
（2）由（1）将平方的，由向量的数量积的运算可得出答案.
（1）
依题意，得，
因为点E满足，F为BC的中点，
所以．
所以
（2）
因为DA，DB，DC两两垂直．，
所以，
由（1）可得
即所以
14．（1）,（2）.
【分析】（1）利用空间向量基本定理及空间向量线性运算可得.
（2）四面体的所有棱长都等于1，各面为等边三角形，再运用空间向量数量积运算化简可得.
【详解】解：（1），
∴
（2）四面体的所有棱长都等于1，各面为等边三角形, ，，
【点睛】本题考查空间向量基本定理及数量积计算
用已知向量表示某一向量的三个关键点
(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．
(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．
15．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）通过计算得到 ，由此证得向量共面，从而证得平面.
（2）通过计算得到，由此证得，从而证得平面.
【详解】（1）依题意E、F分别为、的中点，所以
，
所以向量共面，
又平面平面，
所以平面.
（2）因为侧面底面，侧面底面，底面是正方形，所以平面.
设，则，即，
所以，
所以，
所以，由平面，可得平面.
【点睛】用向量方法证明线面平行或垂直，理论依据是线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理.
16．．
【分析】利用空间向量的线性运算，根据空间向量基本定理的推论：四点共面的条件，得到的值.
【详解】解：如图:
因为为棱的三等分点，且，∴，∴；
又∵点在上，，∴.
∴
,
又因为四点共面，且不共面，
所以，
解得．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页