高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册《行天下周测卷》1.2空间向量基本定理（含解析）

一、单选题
1．已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
2．如图在平行六面体中，底面 是边长为1的正方形，侧棱且，则 （ ）
A． B． C． D．
3．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，且，，，，分别为，上的点，且，，（ ）
A．1 B． C．2 D．
4．在正方体中，AC与BD的交点为M.设则下列向量与相等的向量是 （ ）
A． B．
C． D．
5．如图所示，在四面体ABCD中，为等边三角形，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．设是正三棱锥，G是的重心，D是PG上的一点，且，若，则为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．在以下命题中，不正确的命题有（ ）
A．是、共线的充要条件
B．若，则存在唯一的实数，使
C．对空间任意一点和不共线的三点、、，若，则、、、四点共面
D．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底
8．下列说法正确的是（ ）
A．若为空间的一组基底，则三点共线
B．若为四棱柱，则
C．若则四点共面
D．若为正四面体为的重心，则
三、填空题
9．在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若=，=，=，则=_____．
10．在正方体中，点M和N分别是矩形ABCD和的中心，若点P满足，其中，且，则点P可以是正方体表面上的点________.
11．已知四棱锥的底面是平行四边形，侧棱、、上分别有一点、、，且满足，，，若、、、四点共面，则实数__________．
12．正四面体ABCD的棱长为2，点E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点，则的值为___．
四、解答题
13．如图，三棱锥各棱的棱长都是1，点D是棱AB的中点，点E在棱OC上，且，记，，．
(1)用向量，，表示向量；
(2)求的最小值．
14．已知平行六面体，底面是正方形，，，，，，设，，.
(1)试用、、表示；
(2)求的长度.
15．棱长为2的正方体中，E，F分别是，DB的中点，G在棱CD上，且，H是的中点．
(1)证明：.
(2)求.
(3)求FH的长．
16．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点，若，，，
（1）用表示和；
（2）求.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】将，两边平方，利用空间向量的数量积即可得选项.
【详解】设与的夹角为．由，得，两边平方，得，
所以，解得，又，所以，
故选：C．
2．B
【解析】先求出 ，，，，，，再计算即可.
【详解】解：因为底面是边长为1的正方形，侧棱且，
则 ，，，，，，
则
故选：B.
【点睛】本题考查向量的数量积，向量的模的计算公式，是中档题.
3．B
【分析】根据给定条件选定基底向量，并表示出，再利用向量运算即可得解.
【详解】在四棱锥中，底面为平行四边形，连接AC，如图，，，
则
，
又，，，
则，，
因此，
.
故选：B
4．C
【分析】根据空间向量的运算法则，推出的向量表示，可得答案.
【详解】，
故选：C.
5．D
【分析】由空间向量的加法可得出，利用空间向量数量积的运算可求得的值.
【详解】依题意，，
因为为等边三角形，，，，，
所以，，，
，
所以，
.
故选：D.
6．B
【分析】G是等边的重心，可得，再由，可得，而，从而可以将用表示出，进而可求出
【详解】因为三棱锥是正三棱锥，G是的重心，
所以，
因为D是PG上的一点，且，
所以，
因为，
所以
,
因为，
所以，
所以为，
故选：B
7．ABC
【解析】利用充分条件和必要条件的定义可判断A选项的正误；取可判断B选项的正误；根据共面向量的基本定理可判断C选项的正误；假设、、共面，
可设，判断关于、的方程组是否有解，可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，充分性：若，则、方向相反，且，充分性成立；
必要性：若、共线且方向相同，则，即必要性不成立，
所以，是、共线的充分不必要条件，A选项错误；
对于B选项，若，，则，但不存在实数，使得，B选项错误；
对于C选项，对空间任意一点和不共线的三点、、，
若、、、四点共面，可设，其中、，
则，可得，
由于，，此时，、、、四点不共面，C选项错误；
对于D选项，假设、、共面，
可设，
由于为空间的一个基底，可得，该方程组无解，
假设不成立，所以，构成空间的另一个基底，D选项正确.
故选：ABC.
【点睛】方法点睛：要证明、、、四点共面，只要能证明或对空间任一点，有或即可．共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件．
8．CD
【分析】由空间向量基本定理中基底的性质、在几何图形上空间向量加法运算、空间向量共线或共面定理，可判断各项的正误.
【详解】A：若为空间的一组基底，则向量不共面，知三点不共线，故错误；
B：若为四棱柱且底面为平行四边形，即时，才满足，故错误；
C：已知，若向量与共线，则也与共线，
即四点共面；若向量与不共线，则点在面内，即四点共面，故正确；
D：设为的重心，若为的中点，则，
所以
，
即，故正确.
故选：CD.
【点睛】关键点点睛：利用空间向量的基底--不共线的性质，判断三点不共线；应用空间向量在几何图形中运算说明成立的条件；由空间向量的共面定理知必有四点共面；利用空间向量在几何图形中运算及三角形重心的性质，确定向量的线性关系.
9．
【解析】根据底面ABCD是正方形，E为PD中点，向量加法的平行四边形法则得到，而，即可求得的结果.
【详解】解：=(+)= +)= +=．
故答案为：.
【点睛】本题考查向量在几何中的应用以及向量共线定理和空间向量基本定理，要用已知向量表示未知向量，把要求向量放在封闭图形中求解，体现了数形结合的思想，是基础题型.
10．（或C或边上的任意一点）
【分析】因为点P满足，其中，且，所以点三点共面，只需要找到平面与正方体表面的交线即可.
【详解】解：因为点P满足，其中，且，
所以点三点共面，
因为点M和N分别是矩形ABCD和的中心，
所以,
连接，则,所以即为经过三点的平面与正方体的截面，
故点P可以是正方体表面上的点（或C或边上的任意一点）
故答案为：（或C或边上的任意一点）
【点睛】此题考查空间向量基本定理及推论，同时考查了学生的直观想象、逻辑推理等数学核心素养，属于中档题.
11．##
【分析】根据四点共面的等价条件以及，可得出关于的两个表达式，可得出关于的方程组，即可解得实数的值.
【详解】因为、、、四点共面，则存在、使得，
所以，，
所以，，
因为，即，所以，，
因为，即，
所以，，可得，解得.
故答案为：.
12．1
【分析】根据给定条件用空间向量的一个基底表示与，再利用空间向量数量积及运算律计算作答.
【详解】在正四面体ABCD中，令，显然，，，如图：
因点E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点，则，
，
于是得，
所以的值为1.
故答案为：1
13．(1)；(2).
【分析】(1)根据题意，连接，，利用空间向量的线性运算即可求解；(2)由三棱锥的各个面是边长为1的正三角形可得、，再利用余弦定理求出，由空间向量的运算法则可得||2＝||2，再结合空间向量的数量积公式和二次函数性质即可求解.
【详解】(1)根据题意，连接OD，CD，点D是棱AB的中点，点E在棱OC上，如下图：
由题意可得，，记，，，
∴()＝.
(2)根据题意，点D是棱AB的中点，三棱锥的各个面是边长为1，
易得，，
在中，由余弦定理可得，，
，
当时，取得最小值，
则的最小值为．
14．(1)；
(2).
【分析】(1)根据给定条件结合空间向量的线性运算计算作答.
(2)用、、表示出，借助空间向量数量积运算计算作答.
（1）
平行六面体中，，，，因，于是得：
，
所以.
（2）
平行六面体中，，，
，
因，且底面是正方形，，，
则有，，同理，，
因此，，
所以的长度是.
15．(1)证明见解析；
(2)；
(3).
【分析】（1）以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D-xyz，借助空间位置关系的向量证明推理作答.
（2）利用（1）中坐标系，结合空间向量夹角余弦的坐标表示计算作答.
（3）利用（1）中坐标系，结合向量模的坐标表示计算作答.
（1）
在正方体，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D-xyz，如图所示：
依题意，，，
，则，
所以.
（2）
由知，，，而，
所以.
（3）
因H为的中点，则，而，则，
所以FH的长为．
16．（1），，（2）
【分析】（1）根据空间向量线性运算法则，结合图形计算可得；
（2）首先根据数量积的定义求出，，，再根据数量积的运算律求出及，最后根据夹角公式计算可得；
【详解】解：（1）连接，如图：
因为，，
在，根据向量减法法则可得：
因为底面是平行四边形
故
因为 且
又为线段中点
在中
故平行四边形中
（2）因为顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是
故，，
所以
，故
所以
所以
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