高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册《行天下周测卷》1.3空间向量及其运算的坐标表示（含解析）
文档属性
| 名称 | 高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册《行天下周测卷》1.3空间向量及其运算的坐标表示（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 924.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-23 08:05:39 | ||
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文档简介
一、单选题
1．如图，在正方体中，，分别是棱，的中点，点在对角线上运动.当的面积取得最小值时，点的位置是（ ）
A．线段的三等分点，且靠近点 B．线段的中点
C．线段的三等分点，且靠近点 D．线段的四等分点，且靠近点
2．已知为坐标原点，向量，点，.若点在直线上，且，则点的坐标为（ ）.
A． B．
C． D．
3．在空间直角坐标系中，，若，则x的值为（ ）
A．4 B． C．4或 D．5
4．在棱长为2的正方体中，点平面，点F是线段的中点，若，则面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，正方体的棱长为6，点为的中点，点为底面上的动点，满足的点的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
6．已知向量，，且与互相垂直，则k的值是（ ）.
A．1 B． C． D．
二、多选题
7．已知向量，向量与平行，向量与垂直，则（ ）
A． B．
C．的模为5 D．向量与的夹角为
8．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线
B．已知为空间的一个基底，若，则也是空间的基底
C．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
D．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
三、填空题
9．点P是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点，则的取值范围是__.
10．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，若以为基底，则向量的坐标为___，向量的坐标为___，向量的坐标为___.
11．已知，，若，则的取值范围为______．
12．已知，，.若平面，则的最小值为___________.
四、解答题
13．已知，．
(1)求的值；
(2)当时，求实数k的值．
14．已知空间三点.
（1）若点在直线上，且，求点的坐标；
（2）求以为邻边的平行四边形的面积.
15．如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值；
（Ⅲ）设点G在PB上，且．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．
16．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
问题：如图，在正方体，中，以为坐标原点，建立空间直角坐标系．已知点的坐标为，为棱上的动点，为棱上的动点，______，则是否存在点，，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【解析】将问题转化为动点到直线的距离最小时，确定点的位置，建立空间直角坐标系，取的中点，通过坐标运算可知，即是动点到直线的距离，再由空间两点间的距离公式求出后，利用二次函数配方可解决问题.
【详解】设正方体的棱长为1，以 为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，的中点，
，，则，
设，，
由与共线，可得，所以，所以，其中，
因为，
，
所以，所以，即是动点到直线的距离，
由空间两点间的距离公式可得，
所以当时，取得最小值，此时为线段的中点，
由于为定值，所以当的面积取得最小值时，为线段的中点.
故选：B
【点睛】本题考查了空间向量的坐标运算，考查了空间两点间的距离公式，考查了数形结合法，考查了二次函数求最值，属于基础题.
2．A
【分析】由在直线上，设，再利用向量垂直，可得，进而可求E点坐标.
【详解】因为在直线上，故存在实数使得，
.若，则，所以，解得，
因此点的坐标为.
故选：A.
【定睛】本题考查了空间向量的共线和数量积运算，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于一般题目.
3．A
【分析】由向量平行有且，结合已知坐标列方程组求参数即可.
【详解】由题设，且，则，可得.
故选：A
4．C
【分析】首先建立平面直角坐标系，利用，找到点的坐标的关系，利用垂直关系，表示面积，再求最值.
【详解】如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，，，，，，，
，，得，
平面，，
，
当时，函数取得最小值.
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题考查空间向量坐标的应用，本题的关键是找到点的坐标的关系，再利用，表示的面积.
5．B
【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用坐标法可得动点的轨迹为线段即可得结果.
【详解】分别以，，为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，设，，
则，，
由得，即，
由于，所以，，
所以点的轨迹为面上的直线：，，即图中的线段，
由图知：，
故选：B.
6．D
【分析】向量的垂直用坐标表示为，代入即可求出答案.
【详解】，，
因为与互相垂直，
所以，
所以，
所以.
故选：D.
7．ABD
【分析】由题知，，进而得，再依次讨论求解即可得答案.
【详解】解：因为向量，向量与平行，向量与垂直，
所以，，即，解得，故A，B选项正确；
所以，，故C选项错误；
因为，所以向量与互为相反向量，夹角为，故正确.
故选：ABD
8．BCD
【分析】计算得到，或，A错误，若共面，则共面，不成立，故B正确，化简得到，C正确，若这两个向量不共线，则存在向量与其构成空间的一个基底，故D正确，得到答案.
【详解】，故，故或，A错误；
若共面，设，则共面，不成立，故也是空间的基底，B正确；
，则，即，故，，，四点共面，C正确；
若这两个向量不共线，则存在向量与其构成空间的一个基底，故D正确.
故选：BCD.
9．[﹣，0]
【分析】建立空间直角坐标系，设出点P的坐标为（x，y，z），则由题意可得0≤x≤1，0≤y≤1，z＝1，计算 x2﹣x，利用二次函数的性质求得它的值域即可．
【详解】解：以点D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，以DD1所在的直线为z轴，
建立空间直角坐标系，如图所示；
则点A（1，0，0），C1（0，1，1），
设点P的坐标为（x，y，z），由题意可得 0≤x≤1，0≤y≤1，z＝1；
∴（1﹣x，﹣y，﹣1），（﹣x，1﹣y，0），
∴ x（1﹣x）﹣y（1﹣y）+0＝x2﹣x+y2﹣y，
由二次函数的性质可得，当x＝y时， 取得最小值为；
当x＝0或1，且y＝0或1时， 取得最大值为0，
则 的取值范围是[，0]．
故答案为：[，0]．
【点睛】本题主要考查了向量在几何中的应用与向量的数量积运算问题，是综合性题目．
10．
【分析】利用向量的运算用表示向量，，，即可得出答案.
【详解】因为，所以向量的坐标为.
因为，
所以向量的坐标为.
因为，所以向量的坐标为.
故答案为：；；
【点睛】本题主要考查了空间向量及其运算的坐标表示，属于中档题.
11．
【分析】根据题意得，进而将问题转化为直线上的点与原点的距离问题求解即可.
【详解】解：因为，，且
所以，
所以实数满足.
因为表示原点到直线上的点之间的距离，
所以设坐标原点到直线的距离为，则
所以
所以的取值范围为
故答案为：
12．
【解析】利用平面，得到两个向量垂直，从而利用坐标运算得到，，之间的关系，然后再利用模的坐标表示求解最值即可．
【详解】因为平面，都在平面内，
所以，
所以，
又因为，，，
所以，
解得，
所以，
所以
，
所以的最小值为．
故答案为：
【点睛】方法点睛：解答立体几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将立体几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用配方法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.
13．(1)25
(2)或
【分析】（1）根据空间向量的坐标线性运算与数量积公式求解即可；
（2）根据垂直的数量积表示，结合向量的坐标公式求解即可
（1）
因为，，故，，故
（2）
，，，因为，故，即，故，即，故或
14．（1）；（2）.
【分析】（1）由点在直线上，可设，利用可求出，进而得出点的坐标；
（2）由求出，进而求出，即可利用面积公式求解.
【详解】解：（1），点在直线上，
设，
，
，
，
，，.
（2），
，
，，
，
所以以为邻边得平行四边形的面积为.
【点睛】本题考查空间向量的相关计算，属于基础题.
15．(Ⅰ)见解析；
(Ⅱ) ；
(Ⅲ)见解析.
【分析】(Ⅰ)由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；
(Ⅱ)建立空间直角坐标系，结合两个半平面的法向量即可求得二面角F-AE-P的余弦值；
(Ⅲ)首先求得点G的坐标，然后结合平面的法向量和直线AG的方向向量可判断直线是否在平面内.
【详解】(Ⅰ)由于PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，则PA⊥CD，
由题意可知AD⊥CD，且PA∩AD=A，
由线面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD.
(Ⅱ)以点A为坐标原点，平面ABCD内与AD垂直的直线为x轴，AD,AP方向为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
易知：，
由可得点F的坐标为，
由可得，
设平面AEF的法向量为：，则
，
据此可得平面AEF的一个法向量为：，
很明显平面AEP的一个法向量为，
，
二面角F-AE-P的平面角为锐角，故二面角F-AE-P的余弦值为.
(Ⅲ)易知，由可得，
则，
注意到平面AEF的一个法向量为：，
其且点A在平面AEF内，故直线AG在平面AEF内.
16．答案见解析
【分析】根据空间直角坐标系中点的坐标可得向量的坐标，由向量的坐标运算可计算模长以及数量积，进而可求解.
【详解】方案一：选条件①．
假设存在满足题意的点，．由题意，知正方体的棱长为2，则，，，，，所以．设，，则，，，所以，．
因为，所以，即．
因为，，所以，所以．又，
所以，故存在点，，满足，此时．
方案二：选条件②．
假设存在满足题意的点，．由题意，知正方体的棱长为2，则，，，，，所以．
设，，则，，，
所以，．因为，且，
所以，解得．又，所以，
故存在点，，满足，此时．
方案三：选条件③．假设存在满足题意的点，．由题意，知正方体的棱长为2，
则，，，，所以，．
设，，则．因为，
所以与不共线，所以，即，
则，
故不存在点，满足．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
1．如图，在正方体中，，分别是棱，的中点，点在对角线上运动.当的面积取得最小值时，点的位置是（ ）
A．线段的三等分点，且靠近点 B．线段的中点
C．线段的三等分点，且靠近点 D．线段的四等分点，且靠近点
2．已知为坐标原点，向量，点，.若点在直线上，且，则点的坐标为（ ）.
A． B．
C． D．
3．在空间直角坐标系中，，若，则x的值为（ ）
A．4 B． C．4或 D．5
4．在棱长为2的正方体中，点平面，点F是线段的中点，若，则面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，正方体的棱长为6，点为的中点，点为底面上的动点，满足的点的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
6．已知向量，，且与互相垂直，则k的值是（ ）.
A．1 B． C． D．
二、多选题
7．已知向量，向量与平行，向量与垂直，则（ ）
A． B．
C．的模为5 D．向量与的夹角为
8．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线
B．已知为空间的一个基底，若，则也是空间的基底
C．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
D．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
三、填空题
9．点P是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点，则的取值范围是__.
10．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，若以为基底，则向量的坐标为___，向量的坐标为___，向量的坐标为___.
11．已知，，若，则的取值范围为______．
12．已知，，.若平面，则的最小值为___________.
四、解答题
13．已知，．
(1)求的值；
(2)当时，求实数k的值．
14．已知空间三点.
（1）若点在直线上，且，求点的坐标；
（2）求以为邻边的平行四边形的面积.
15．如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值；
（Ⅲ）设点G在PB上，且．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．
16．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
问题：如图，在正方体，中，以为坐标原点，建立空间直角坐标系．已知点的坐标为，为棱上的动点，为棱上的动点，______，则是否存在点，，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【解析】将问题转化为动点到直线的距离最小时，确定点的位置，建立空间直角坐标系，取的中点，通过坐标运算可知，即是动点到直线的距离，再由空间两点间的距离公式求出后，利用二次函数配方可解决问题.
【详解】设正方体的棱长为1，以 为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，的中点，
，，则，
设，，
由与共线，可得，所以，所以，其中，
因为，
，
所以，所以，即是动点到直线的距离，
由空间两点间的距离公式可得，
所以当时，取得最小值，此时为线段的中点，
由于为定值，所以当的面积取得最小值时，为线段的中点.
故选：B
【点睛】本题考查了空间向量的坐标运算，考查了空间两点间的距离公式，考查了数形结合法，考查了二次函数求最值，属于基础题.
2．A
【分析】由在直线上，设，再利用向量垂直，可得，进而可求E点坐标.
【详解】因为在直线上，故存在实数使得，
.若，则，所以，解得，
因此点的坐标为.
故选：A.
【定睛】本题考查了空间向量的共线和数量积运算，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于一般题目.
3．A
【分析】由向量平行有且，结合已知坐标列方程组求参数即可.
【详解】由题设，且，则，可得.
故选：A
4．C
【分析】首先建立平面直角坐标系，利用，找到点的坐标的关系，利用垂直关系，表示面积，再求最值.
【详解】如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，，，，，，，
，，得，
平面，，
，
当时，函数取得最小值.
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题考查空间向量坐标的应用，本题的关键是找到点的坐标的关系，再利用，表示的面积.
5．B
【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用坐标法可得动点的轨迹为线段即可得结果.
【详解】分别以，，为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，设，，
则，，
由得，即，
由于，所以，，
所以点的轨迹为面上的直线：，，即图中的线段，
由图知：，
故选：B.
6．D
【分析】向量的垂直用坐标表示为，代入即可求出答案.
【详解】，，
因为与互相垂直，
所以，
所以，
所以.
故选：D.
7．ABD
【分析】由题知，，进而得，再依次讨论求解即可得答案.
【详解】解：因为向量，向量与平行，向量与垂直，
所以，，即，解得，故A，B选项正确；
所以，，故C选项错误；
因为，所以向量与互为相反向量，夹角为，故正确.
故选：ABD
8．BCD
【分析】计算得到，或，A错误，若共面，则共面，不成立，故B正确，化简得到，C正确，若这两个向量不共线，则存在向量与其构成空间的一个基底，故D正确，得到答案.
【详解】，故，故或，A错误；
若共面，设，则共面，不成立，故也是空间的基底，B正确；
，则，即，故，，，四点共面，C正确；
若这两个向量不共线，则存在向量与其构成空间的一个基底，故D正确.
故选：BCD.
9．[﹣，0]
【分析】建立空间直角坐标系，设出点P的坐标为（x，y，z），则由题意可得0≤x≤1，0≤y≤1，z＝1，计算 x2﹣x，利用二次函数的性质求得它的值域即可．
【详解】解：以点D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，以DD1所在的直线为z轴，
建立空间直角坐标系，如图所示；
则点A（1，0，0），C1（0，1，1），
设点P的坐标为（x，y，z），由题意可得 0≤x≤1，0≤y≤1，z＝1；
∴（1﹣x，﹣y，﹣1），（﹣x，1﹣y，0），
∴ x（1﹣x）﹣y（1﹣y）+0＝x2﹣x+y2﹣y，
由二次函数的性质可得，当x＝y时， 取得最小值为；
当x＝0或1，且y＝0或1时， 取得最大值为0，
则 的取值范围是[，0]．
故答案为：[，0]．
【点睛】本题主要考查了向量在几何中的应用与向量的数量积运算问题，是综合性题目．
10．
【分析】利用向量的运算用表示向量，，，即可得出答案.
【详解】因为，所以向量的坐标为.
因为，
所以向量的坐标为.
因为，所以向量的坐标为.
故答案为：；；
【点睛】本题主要考查了空间向量及其运算的坐标表示，属于中档题.
11．
【分析】根据题意得，进而将问题转化为直线上的点与原点的距离问题求解即可.
【详解】解：因为，，且
所以，
所以实数满足.
因为表示原点到直线上的点之间的距离，
所以设坐标原点到直线的距离为，则
所以
所以的取值范围为
故答案为：
12．
【解析】利用平面，得到两个向量垂直，从而利用坐标运算得到，，之间的关系，然后再利用模的坐标表示求解最值即可．
【详解】因为平面，都在平面内，
所以，
所以，
又因为，，，
所以，
解得，
所以，
所以
，
所以的最小值为．
故答案为：
【点睛】方法点睛：解答立体几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将立体几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用配方法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.
13．(1)25
(2)或
【分析】（1）根据空间向量的坐标线性运算与数量积公式求解即可；
（2）根据垂直的数量积表示，结合向量的坐标公式求解即可
（1）
因为，，故，，故
（2）
，，，因为，故，即，故，即，故或
14．（1）；（2）.
【分析】（1）由点在直线上，可设，利用可求出，进而得出点的坐标；
（2）由求出，进而求出，即可利用面积公式求解.
【详解】解：（1），点在直线上，
设，
，
，
，
，，.
（2），
，
，，
，
所以以为邻边得平行四边形的面积为.
【点睛】本题考查空间向量的相关计算，属于基础题.
15．(Ⅰ)见解析；
(Ⅱ) ；
(Ⅲ)见解析.
【分析】(Ⅰ)由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；
(Ⅱ)建立空间直角坐标系，结合两个半平面的法向量即可求得二面角F-AE-P的余弦值；
(Ⅲ)首先求得点G的坐标，然后结合平面的法向量和直线AG的方向向量可判断直线是否在平面内.
【详解】(Ⅰ)由于PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，则PA⊥CD，
由题意可知AD⊥CD，且PA∩AD=A，
由线面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD.
(Ⅱ)以点A为坐标原点，平面ABCD内与AD垂直的直线为x轴，AD,AP方向为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
易知：，
由可得点F的坐标为，
由可得，
设平面AEF的法向量为：，则
，
据此可得平面AEF的一个法向量为：，
很明显平面AEP的一个法向量为，
，
二面角F-AE-P的平面角为锐角，故二面角F-AE-P的余弦值为.
(Ⅲ)易知，由可得，
则，
注意到平面AEF的一个法向量为：，
其且点A在平面AEF内，故直线AG在平面AEF内.
16．答案见解析
【分析】根据空间直角坐标系中点的坐标可得向量的坐标，由向量的坐标运算可计算模长以及数量积，进而可求解.
【详解】方案一：选条件①．
假设存在满足题意的点，．由题意，知正方体的棱长为2，则，，，，，所以．设，，则，，，所以，．
因为，所以，即．
因为，，所以，所以．又，
所以，故存在点，，满足，此时．
方案二：选条件②．
假设存在满足题意的点，．由题意，知正方体的棱长为2，则，，，，，所以．
设，，则，，，
所以，．因为，且，
所以，解得．又，所以，
故存在点，，满足，此时．
方案三：选条件③．假设存在满足题意的点，．由题意，知正方体的棱长为2，
则，，，，所以，．
设，，则．因为，
所以与不共线，所以，即，
则，
故不存在点，满足．
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