高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册《行天下周测卷》2.2直线的方程（含解析）
文档属性
| 名称 | 高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册《行天下周测卷》2.2直线的方程（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 622.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-23 08:06:26 | ||
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文档简介
一、单选题
1．已知直线过点，且与坐标轴分别相交于点A B，若的面积为24，其中O为坐标原点，则这样的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
2．直线不过第二象限，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．若与的图形有两个交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
4．设点，，若直线ax+y+2=0与线段AB有交点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知直线恒过定点，点也在直线上，其中，均为正数，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．6
6．已知点，．若直线与线段相交，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．下列结论中正确的有（ ）
A．过点且与直线平行的直线的方程为
B．过点且与直线垂直的直线的方程为
C．若直线：与直线：平行，则a的值为或3
D．过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为
8．下列说法正确的是（ ）
A．直线一定经过第一象限
B．经过点，倾斜角为的直线方程为
C．经过两点，的直线方程为
D．截距相等的直线都可以用方程表示
三、填空题
9．已知圆C：，点P是圆C上的动点，点，当最大时，所在直线的方程是______.
10．已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程______．
11．已知直线恒过定点A，点A在直线上，则的最小值为___________.
12．将直线绕其与轴的交点逆时针旋转后得到直线
l，则直线l的方程为______．
四、解答题
13．已知直线l的方程是．
（1）当时，直线l的斜率是多少？当时呢？
（2）系数A，B，C取什么值时，方程表示经过原点的直线？
14．过点P(1，4)作直线l，直线l与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为原点.
（1）若△ABO的面积为9，求直线l的方程；
（2）若△ABO的面积为S，求S的最小值，并求出此时直线l的方程.
15．已知直线l过点.
（1）若直线l在两坐标轴上截距和为零，求l方程；
（2）设直线l的斜率，直线l与两坐标轴交点别为，求面积最小值.
16．过点作直线 分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点.
(1)当△AOB面积最小时，求直线 的方程；
(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线 的方程.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】根据题意直线的斜率存在，且不过原点，进而设方程为，，再根据题意得，解方程即可得答案.
【详解】解：由题知直线的斜率存在，且不过原点，
所以设直线方程为，，
所以直线与轴交点坐标为，直线与轴交点坐标为
所以面积为，即，
所以或,
解方程，即，解得，
解方程，即，解得
所以这样的直线有3条.
故选：C
2．C
【解析】分、两种情况讨论，结合已知条件可得出关于实数的不等式（组），由此可解得实数的取值范围.
【详解】若，可得，直线的方程为，该直线不过第二象限，合乎题意；
若，可得，直线的斜截式方程为，
若直线不过第二象限，则，解得.
综上所述，.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在斜率存在的前题下，一般从直线的斜率与纵截距或直线在两坐标轴上的截距来进行分析，结合已知条件列不等式（组）求解.
3．A
【分析】根据题意，可知表示关于轴对称的两条射线，表示斜率为1，在轴上的截距为的直线，画出图形，分析判断即可求出的取值范围.
【详解】解：表示关于轴对称的两条射线，
表示斜率为1，在轴上的截距为的直线，
根据题意，画出大致图形，如下图，
若与的图形有两个交点，且，则根据图形可知．
故选：A．
【点睛】本题考查由两直线的交点个数从而求参数范围，考查直线的斜率和截距，以及直线的方程和图象，考查数形结合思想.
4．D
【分析】求出直线经过的定点，作出图象，利用图象求得斜率满足的条件，由此解出答案．
【详解】∵直线过定点，且，，
由图可知直线与线段有交点时，斜率满足或，
解得，
故选：D
5．B
【分析】先将直线方程变形得到定点的坐标，根据点在直线上确定出所满足的关系，最后根据“”的妙用求解出的最小值.
【详解】已知直线整理得：，
直线恒过定点，即.
点也在直线上，
所以，整理得：，
由于，均为正数，则,
取等号时，即，
故选：B.
【点睛】方法点睛：已知，求的最小值的方法：
将变形为，将其展开可得，然后利用基本不等式可求最小值，即，取等号时.
6．A
【分析】直线l过定点P（1，1），且与线段AB相交，利用数形结合法，求出PA、PB的斜率，
从而得出l的斜率的取值范围,即得解
【详解】设直线过定点，则直线可写成，
令解得直线必过定点．
，．直线与线段相交，
由图象知，或，解得或，
则实数的取值范围是．
故选：A
【点睛】本题考查了直线方程的应用，过定点的直线与线段相交的问题，考查了学生综合分析、数形结合的能力，属于中档题．
7．AB
【分析】对于选项A，B，D，根据给定条件求出对应的直线方程判断作答；对于选项C，由给定条件求出a值判断作答.
【详解】对于A，直线的斜率为2，则过点且与直线平行的直线的方程为，
即，A正确；
对于B，直线的斜率为2，则过点且与直线垂直的直线的方程为，
即，B正确；
对于C，直线：的斜率为，因直线与直线平行，则直线的斜率存在，且，
解得或3，当时，两直线重合，当，两直线平行，C错误；
对于D，因过点，且在两坐标轴上的截距相等，则当截距都为0时，直线方程为，截距不为0时，当直线方程为，D错误.
故选：AB
8．AC
【分析】求出直线过的定点可判断A；当时可判断B；由直线的点斜式方程以及斜率公式可判断C；当横纵截距都等于时可判断D，进而可得正确选项.
【详解】对于A：由可得，
由可得，所以该直线恒过定点，该直线一定经过第一象限，故选项A正确；
对于B：当时，直线的斜率不存在，所以不能写成的形式，故选项B不正确；
对于C：因为，所以过点，两点的直线斜率为，所以直线的方程为，故选项C正确；
对于D：当直线的横纵截距都等于时，直线的方程为，不可以用方程表示，故选项D不正确；
故选：AC.
9．
【分析】设，在中，由余弦定理，得，利用基本不等式可以找到PM，易得此时，可得PM的斜率，从而求得PM的方程.
【详解】设，则，在中，由余弦定理，得
，当且仅当时，等号成立，此时最大，且，
故，又，所以，故所在直线的方程为
，即.
故答案为：.
【点睛】本题考查点斜式求直线的方程，涉及到余弦定理、基本不等式、圆等知识，考查学生的计算能力以及逻辑推理能力，是一道中档题.
10．或
【分析】直线在两坐标轴上的截距相等，有两种情况，斜率为，或直线过原点，结合直线过点即可求解，有两种情况
【详解】因为直线与坐标轴的截距相等，则直线的斜率为，或直线过原点，当直线斜率为时，因为直线过点，根据点斜式，直线方程为：，化简得：；
当直线过原点时，，所以直线方程为
故答案为：或
11．9
【分析】由直线方程分析可得定点A为，进而有，根据目标式结合基本不等式“1”的代换求最小值即可，注意等号成立条件.
【详解】由题设，，
∴当时，方程恒成立，故直线恒过定点，
∴，则，当且仅当时等号成立，
∴的最小值为.
故答案为：
12．
【分析】求出点A，再由直线垂直得出斜率，点斜式即可求解.
【详解】直线与轴的交点，
由直线l与直线垂直，可得，
所以直线l的方程为，即.
故答案为：
13．（1）时，斜率；当时，直线l的斜率不存在；（2）且不同时为0.
【分析】（1）当时，直接由直线方程求出斜率；当时，直线l的斜率不存在；
（2）由直线过原点可得，再由不同时为0即可得解.
【详解】（1）当时，直线l的斜率是；当时，直线l的斜率不存在；
（2）因为直线过原点，所以，
所以当且不同时为0时，方程表示经过原点的直线.
14．（1）2x+y-6=0或8x+y-12=0；（2）8，4x+y-8=0.
【分析】（1）设A(a，0)，B(0，b)，其中a>0，b>0，则由直线的截距式方程得直线l的方程为+=1.根据已知得到的方程组，解方程组即得解；
（2）求出S=×，再利用基本不等式求解.
【详解】设A(a，0)，B(0，b)，其中a>0，b>0，则由直线的截距式方程得直线l的方程为+=1.
将P(1，4)代入直线l的方程，得+=1.(*)
（1）依题意得，ab=9，
即ab=18，
由(*)式得，b+4a=ab=18，从而b=18-4a，
∴a(18-4a)=18，整理得，2a2-9a+9=0，
解得a1=3，a2=，
因此直线l的方程为+=1或+=1，
整理得，2x+y-6=0或8x+y-12=0.
（2）S=ab=ab=×≥×=×(8+8)=8，
当且仅当=，即a=2，b=8时取等号，
因此直线l的方程为+=1，即4x+y-8=0.
15．（1）或；（2）
【分析】（1）由题知直线l斜率存在且不为，故不妨设斜率为，进而写出直线的方程并求解直线在坐标轴上截距，再结合题意求解即可；
（2）由题知，进而根据题意得，再根据基本不等式求解即可得答案.
【详解】解：（1）因为直线l在两坐标轴上截距和为零，
所以直线l斜率存在且不为，故不妨设斜率为，则直线l方程为，
所以直线在坐标轴上截距分别为，，
所以，整理得，解得或
所以直线l方程为或.
（2）由（1）知，
因为，
所以面积为，
当且仅当，即时等号成立，
所以面积最小值
16．（1）；（2）
【分析】由题意设，，其中，为正数，可设直线的截距式为，代点可得，
（1）由基本不等式可得，由等号成立的条件可得和的值，由此得到直线方程，
（2），由基本不等式等号成立的条件可得直线的方程．
【详解】由题意设，，其中，为正数，可设直线的截距式为，直线过点，，
（1）由基本不等式可得，解得：，当且仅当，即且时，上式取等号，
面积，则当，时，面积最小，此时直线的方程为，即，
（2）由于，当且仅当，即且时取等号，
所以当，时，的值最小，此时直线的方程为，即．
【点睛】本题考查直线的截距式方程，涉及不等式求最值，属于中档题．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
1．已知直线过点，且与坐标轴分别相交于点A B，若的面积为24，其中O为坐标原点，则这样的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
2．直线不过第二象限，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．若与的图形有两个交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
4．设点，，若直线ax+y+2=0与线段AB有交点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知直线恒过定点，点也在直线上，其中，均为正数，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．6
6．已知点，．若直线与线段相交，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．下列结论中正确的有（ ）
A．过点且与直线平行的直线的方程为
B．过点且与直线垂直的直线的方程为
C．若直线：与直线：平行，则a的值为或3
D．过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为
8．下列说法正确的是（ ）
A．直线一定经过第一象限
B．经过点，倾斜角为的直线方程为
C．经过两点，的直线方程为
D．截距相等的直线都可以用方程表示
三、填空题
9．已知圆C：，点P是圆C上的动点，点，当最大时，所在直线的方程是______.
10．已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程______．
11．已知直线恒过定点A，点A在直线上，则的最小值为___________.
12．将直线绕其与轴的交点逆时针旋转后得到直线
l，则直线l的方程为______．
四、解答题
13．已知直线l的方程是．
（1）当时，直线l的斜率是多少？当时呢？
（2）系数A，B，C取什么值时，方程表示经过原点的直线？
14．过点P(1，4)作直线l，直线l与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为原点.
（1）若△ABO的面积为9，求直线l的方程；
（2）若△ABO的面积为S，求S的最小值，并求出此时直线l的方程.
15．已知直线l过点.
（1）若直线l在两坐标轴上截距和为零，求l方程；
（2）设直线l的斜率，直线l与两坐标轴交点别为，求面积最小值.
16．过点作直线 分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点.
(1)当△AOB面积最小时，求直线 的方程；
(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线 的方程.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】根据题意直线的斜率存在，且不过原点，进而设方程为，，再根据题意得，解方程即可得答案.
【详解】解：由题知直线的斜率存在，且不过原点，
所以设直线方程为，，
所以直线与轴交点坐标为，直线与轴交点坐标为
所以面积为，即，
所以或,
解方程，即，解得，
解方程，即，解得
所以这样的直线有3条.
故选：C
2．C
【解析】分、两种情况讨论，结合已知条件可得出关于实数的不等式（组），由此可解得实数的取值范围.
【详解】若，可得，直线的方程为，该直线不过第二象限，合乎题意；
若，可得，直线的斜截式方程为，
若直线不过第二象限，则，解得.
综上所述，.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在斜率存在的前题下，一般从直线的斜率与纵截距或直线在两坐标轴上的截距来进行分析，结合已知条件列不等式（组）求解.
3．A
【分析】根据题意，可知表示关于轴对称的两条射线，表示斜率为1，在轴上的截距为的直线，画出图形，分析判断即可求出的取值范围.
【详解】解：表示关于轴对称的两条射线，
表示斜率为1，在轴上的截距为的直线，
根据题意，画出大致图形，如下图，
若与的图形有两个交点，且，则根据图形可知．
故选：A．
【点睛】本题考查由两直线的交点个数从而求参数范围，考查直线的斜率和截距，以及直线的方程和图象，考查数形结合思想.
4．D
【分析】求出直线经过的定点，作出图象，利用图象求得斜率满足的条件，由此解出答案．
【详解】∵直线过定点，且，，
由图可知直线与线段有交点时，斜率满足或，
解得，
故选：D
5．B
【分析】先将直线方程变形得到定点的坐标，根据点在直线上确定出所满足的关系，最后根据“”的妙用求解出的最小值.
【详解】已知直线整理得：，
直线恒过定点，即.
点也在直线上，
所以，整理得：，
由于，均为正数，则,
取等号时，即，
故选：B.
【点睛】方法点睛：已知，求的最小值的方法：
将变形为，将其展开可得，然后利用基本不等式可求最小值，即，取等号时.
6．A
【分析】直线l过定点P（1，1），且与线段AB相交，利用数形结合法，求出PA、PB的斜率，
从而得出l的斜率的取值范围,即得解
【详解】设直线过定点，则直线可写成，
令解得直线必过定点．
，．直线与线段相交，
由图象知，或，解得或，
则实数的取值范围是．
故选：A
【点睛】本题考查了直线方程的应用，过定点的直线与线段相交的问题，考查了学生综合分析、数形结合的能力，属于中档题．
7．AB
【分析】对于选项A，B，D，根据给定条件求出对应的直线方程判断作答；对于选项C，由给定条件求出a值判断作答.
【详解】对于A，直线的斜率为2，则过点且与直线平行的直线的方程为，
即，A正确；
对于B，直线的斜率为2，则过点且与直线垂直的直线的方程为，
即，B正确；
对于C，直线：的斜率为，因直线与直线平行，则直线的斜率存在，且，
解得或3，当时，两直线重合，当，两直线平行，C错误；
对于D，因过点，且在两坐标轴上的截距相等，则当截距都为0时，直线方程为，截距不为0时，当直线方程为，D错误.
故选：AB
8．AC
【分析】求出直线过的定点可判断A；当时可判断B；由直线的点斜式方程以及斜率公式可判断C；当横纵截距都等于时可判断D，进而可得正确选项.
【详解】对于A：由可得，
由可得，所以该直线恒过定点，该直线一定经过第一象限，故选项A正确；
对于B：当时，直线的斜率不存在，所以不能写成的形式，故选项B不正确；
对于C：因为，所以过点，两点的直线斜率为，所以直线的方程为，故选项C正确；
对于D：当直线的横纵截距都等于时，直线的方程为，不可以用方程表示，故选项D不正确；
故选：AC.
9．
【分析】设，在中，由余弦定理，得，利用基本不等式可以找到PM，易得此时，可得PM的斜率，从而求得PM的方程.
【详解】设，则，在中，由余弦定理，得
，当且仅当时，等号成立，此时最大，且，
故，又，所以，故所在直线的方程为
，即.
故答案为：.
【点睛】本题考查点斜式求直线的方程，涉及到余弦定理、基本不等式、圆等知识，考查学生的计算能力以及逻辑推理能力，是一道中档题.
10．或
【分析】直线在两坐标轴上的截距相等，有两种情况，斜率为，或直线过原点，结合直线过点即可求解，有两种情况
【详解】因为直线与坐标轴的截距相等，则直线的斜率为，或直线过原点，当直线斜率为时，因为直线过点，根据点斜式，直线方程为：，化简得：；
当直线过原点时，，所以直线方程为
故答案为：或
11．9
【分析】由直线方程分析可得定点A为，进而有，根据目标式结合基本不等式“1”的代换求最小值即可，注意等号成立条件.
【详解】由题设，，
∴当时，方程恒成立，故直线恒过定点，
∴，则，当且仅当时等号成立，
∴的最小值为.
故答案为：
12．
【分析】求出点A，再由直线垂直得出斜率，点斜式即可求解.
【详解】直线与轴的交点，
由直线l与直线垂直，可得，
所以直线l的方程为，即.
故答案为：
13．（1）时，斜率；当时，直线l的斜率不存在；（2）且不同时为0.
【分析】（1）当时，直接由直线方程求出斜率；当时，直线l的斜率不存在；
（2）由直线过原点可得，再由不同时为0即可得解.
【详解】（1）当时，直线l的斜率是；当时，直线l的斜率不存在；
（2）因为直线过原点，所以，
所以当且不同时为0时，方程表示经过原点的直线.
14．（1）2x+y-6=0或8x+y-12=0；（2）8，4x+y-8=0.
【分析】（1）设A(a，0)，B(0，b)，其中a>0，b>0，则由直线的截距式方程得直线l的方程为+=1.根据已知得到的方程组，解方程组即得解；
（2）求出S=×，再利用基本不等式求解.
【详解】设A(a，0)，B(0，b)，其中a>0，b>0，则由直线的截距式方程得直线l的方程为+=1.
将P(1，4)代入直线l的方程，得+=1.(*)
（1）依题意得，ab=9，
即ab=18，
由(*)式得，b+4a=ab=18，从而b=18-4a，
∴a(18-4a)=18，整理得，2a2-9a+9=0，
解得a1=3，a2=，
因此直线l的方程为+=1或+=1，
整理得，2x+y-6=0或8x+y-12=0.
（2）S=ab=ab=×≥×=×(8+8)=8，
当且仅当=，即a=2，b=8时取等号，
因此直线l的方程为+=1，即4x+y-8=0.
15．（1）或；（2）
【分析】（1）由题知直线l斜率存在且不为，故不妨设斜率为，进而写出直线的方程并求解直线在坐标轴上截距，再结合题意求解即可；
（2）由题知，进而根据题意得，再根据基本不等式求解即可得答案.
【详解】解：（1）因为直线l在两坐标轴上截距和为零，
所以直线l斜率存在且不为，故不妨设斜率为，则直线l方程为，
所以直线在坐标轴上截距分别为，，
所以，整理得，解得或
所以直线l方程为或.
（2）由（1）知，
因为，
所以面积为，
当且仅当，即时等号成立，
所以面积最小值
16．（1）；（2）
【分析】由题意设，，其中，为正数，可设直线的截距式为，代点可得，
（1）由基本不等式可得，由等号成立的条件可得和的值，由此得到直线方程，
（2），由基本不等式等号成立的条件可得直线的方程．
【详解】由题意设，，其中，为正数，可设直线的截距式为，直线过点，，
（1）由基本不等式可得，解得：，当且仅当，即且时，上式取等号，
面积，则当，时，面积最小，此时直线的方程为，即，
（2）由于，当且仅当，即且时取等号，
所以当，时，的值最小，此时直线的方程为，即．
【点睛】本题考查直线的截距式方程，涉及不等式求最值，属于中档题．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页