高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册《行天下周测卷》2.3直线的交点坐标与距离公式（含解析）

一、单选题
1．过定点的直线与过定点的直线交于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知与是直线为常数)上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是（ ）
A．无论如何，总是无解 B．无论如何，总有唯一解
C．存在，使之恰有两解 D．存在，使之有无穷多解
4．设集合，，若，则实数a的值为（ ）
A．4 B． C．4或 D．或2
5．“数学抽象、逻辑推理”素养]唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A． B．5 C． D．
6．已知线段AB两端点的坐标分别为和，若直线与线段AB有交点，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．下列结论正确的是（ ）
A．若直线和的斜率相等，则
B．已知直线，（、、、、、为常数），若直线，则
C．点到直线的距离为
D．直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离
8．已知点到直线l：的距离为d，则d的可能取值是（ ）
A．0 B．1 C． D．4
三、填空题
9．瑞士数学家欧拉（Euler）1765年在所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点，，，则欧拉线的方程为______．
10．已知点P是x轴上的任意一点，，，则的最小值为_________.
11．古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius of Perga，约公元前262~190年）发现：平面上两定点A，B，则满足的动点M的轨迹是一个圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在直角坐标系xOy中，已知，动点M满足，则面积的最大值为_________.
12．已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a＝________.
四、解答题
13．已知两条平行直线与间的距离为，求的值．
14．已知直线过点，且被平行直线：与：所截取的线段长为，求直线的方程．
15．已知的两条高所在的直线方程为，若点A坐标为
（1）求垂心H的坐标；
（2）若关于直线的对称点为N，求点N到直线BC的距离．
16．已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点P，且斜率为2.
(1)求直线l的方程；
(2)求点到直线l的距离.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】求出定点，的坐标，再分和两种情况讨论，可判断两直线垂直，由即可求解.
【详解】由可得：，
由可得，所以定点，
直线可化为，
由可得，所以定点，
当时，直线方程为，，此时两直线垂直，
当时，由两直线的斜率之积为可知两直线垂直，
所以，所以，
故选：C.
2．C
【分析】联立直线方程求出交点坐标，再由横纵坐标都大于列不等式可得的值，再由斜率的定义以及倾斜角的范围即可求解.
【详解】由可得：，
因为两直线的交点位于第一象限，所以，解得：，
设直线的倾斜角为，则，
因为，所以，所以直线的倾斜角的取值范围是，
故选：C.
3．B
【分析】将与代入直线方程，可得方程有唯一的解，即可得答案；
【详解】解：与是直线为常数)上两个不同的点，
的斜率存在，
即，并且，
①②得：，
即.
方程组有唯—解.
故选︰B.
4．C
【分析】本题先化简集合A、集合B，再结合，确定直线与平行或直线过点，最后求实数a的值.
【详解】解：集合A表示直线，即上的点，但除去点，
集合B表示直线上的点，
当时，
直线与平行或直线过点，
所以或，
解得或．
故选：C.
【点睛】本题考查集合的运算、利用两条直线平行求参数、利用两条直线的交点求参数，是基础题.
5．A
【分析】设点关于直线的对称点为，根据该直线是BC的中垂线可列出关于和的方程组，解出C点坐标，再利用两点间距离公式求出即可．
【详解】解：如图所示，设将军在河边处饮马，连接，，则“将军饮马”的总路程为.
设点关于直线的对称点为，则，
解得，，即.
连接，，，则，所以，
所以“将军饮马”的最短总路程为.
故选：A.
6．C
【分析】判断出直线所过定点，结合图象求得的取值范围
【详解】直线恒过的定点，.
当时，直线方程为，与线段有交点，符合题意.
当时，直线的斜率为，则，
解得或，综上，.
故选：C
7．BD
【分析】根据两直线的位置关系与斜率的关系可判断A选项的正误；利用两直线垂直与一般方程的关系可判断B选项的正误；利用点到直线的距离公式可判断C选项的正误；利用点到直线距离的定义可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，若直线和的斜率相等，则与平行或重合，A选项错误；
对于B选项，已知直线，（、、、、、为常数）.
当直线和的斜率都存在时，则，，
直线的斜率为，直线的斜率为，若，则，可得；
当直线和分别与两坐标轴垂直，设轴，则轴，则，，满足.
综上所述，若直线，则，B选项正确；
对于C选项，直线的一般方程为，
所以，点到直线的距离为，C选项错误；
对于D选项，由点到直线的距离的定义可知，直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离，D选项正确.
故选：BD.
【点睛】结论点睛：利用一般式方程判定直线的平行与垂直：
已知直线和直线.
（1）且；
（2）.
8．AB
【分析】利用点到直线的距离公式求出点P到直线l的距离d的表达式，再借助均值不等式求出d的取值范围即可逐项判断作答.
【详解】依题意，直线l方程化为：，
于是得：
，当且仅当时取“=”，
因，显然不成立，则，而当时，点P在直线l上，即，
因此，，所以选项中只有0或1满足.
故选：AB
9．
【分析】根据给定信息，利用三角形重心坐标公式求出的重心，再结合对称性求出的外心，然后求出欧拉线的方程作答.
【详解】因的顶点，，，则的重心，
显然的外心在线段AC中垂线上，设，
由得：，解得：，即点，
直线，化简整理得：，
所以欧拉线的方程为.
故答案为：
10．##
【分析】如图，过B点作倾斜角为的直线，过点P作，则，从而得，然后利用点到直线的距离公式求出A到直线的距离，进而可求出的最小值，
【详解】如图，过B点作倾斜角为的一条直线，过点P作于，则，即，
所以，A到直线的距离，
因此的最小值为.
故答案为：
11．13
【分析】根据题意求点的方程与边，利用圆上的点到直线的最远距离为圆心到直线的距离加上半径，即可求出边的高，进而求出面积的最大值.
【详解】设点，

，故点的方程为.
直线的方程为
圆心到直线的距离.
设点到边的高为，
的最大值为.
故答案为：13.
12．
【解析】先确定两直线恒过定点P(2，2)，再结合图像四边形的面积S＝，整理判断二次函数何时取最小值即可.
【详解】由题意知，直线l1，l2恒过定点P(2，2)，如图所示，
直线l1与y轴的交点为，直线l2与x轴的交点为，所以四边形的面积S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝，当a＝时，面积最小.
故答案为：.
【点睛】本题解题关键是找出定点，数形结合，将四边形分成两个三角形求面积的表达式，再求最值.
13．或
【分析】直接利用两平行线之间的距离公式列方程，解方程即可求解.
【详解】因为两条平行直线与间的距离为，
所以，解得或，
所以的值为或.
14．或
【分析】根据两条平行线之间的距离及解得的线段的长度，可推测出直线与、的夹角，利用正切函数的两角和公式即可求解直线的斜率，进而得出直线方程.
【详解】两条平行线之间的距离，截得的线段长为，推得直线与、的夹角为45°．
设直线的斜率为，故
解得：或
则直线的方程为：或.
整理得：或.
15．（1）；（2）．
【分析】根据三角形垂心的意义，结合条件已知的两条高所在直线的方程分别为，，只须求得这两条高线的交点即可．
求出关于直线l ：的对称点为，求出BC：，根据点到线的距离公式计算即可．
【详解】设，
由题意， ，可得，故垂心 ；
由（1）知：， 由“三条高线交于一点”得：，
，又 ，可设，代入，解得： ，
，
，可得，即，
∴，整理后得： ，
设的对称点，则有，且MN的中点在l上，
∴，整理得，解得，
∴N到直线BC的距离为 ．
16．(1)
(2)
【分析】（1）先利用直线交点系设出经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点的方程，再利用其斜率为2即可求得直线l的方程；
（2）利用点到直线的距离公式即可求得点到直线l的距离
（1）
经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点的直线方程为
，即
由，可得
则直线l的方程为，即；
（2）
点到直线l的距离为
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