一、单选题
1.过定点的直线与过定点的直线交于点,则的值为( )
A. B. C. D.
2.若直线与直线的交点位于第一象限,则直线的倾斜角的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.已知与是直线为常数)上两个不同的点,则关于和的方程组的解的情况是( )
A.无论如何,总是无解 B.无论如何,总有唯一解
C.存在,使之恰有两解 D.存在,使之有无穷多解
4.设集合,,若,则实数a的值为( )
A.4 B. C.4或 D.或2
5.“数学抽象、逻辑推理”素养]唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”,诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回到军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在的位置为,若将军从山脚下的点处出发,河岸线所在直线的方程为,则“将军饮马”的最短总路程为( )
A. B.5 C. D.
6.已知线段AB两端点的坐标分别为和,若直线与线段AB有交点,则实数m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题
7.下列结论正确的是( )
A.若直线和的斜率相等,则
B.已知直线,(、、、、、为常数),若直线,则
C.点到直线的距离为
D.直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离
8.已知点到直线l:的距离为d,则d的可能取值是( )
A.0 B.1 C. D.4
三、填空题
9.瑞士数学家欧拉(Euler)1765年在所著的《三角形的几何学》一书中提出:任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上,后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点,,,则欧拉线的方程为______.
10.已知点P是x轴上的任意一点,,,则的最小值为_________.
11.古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius of Perga,约公元前262~190年)发现:平面上两定点A,B,则满足的动点M的轨迹是一个圆,后人称这个圆为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.在直角坐标系xOy中,已知,动点M满足,则面积的最大值为_________.
12.已知直线l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a2y=2a2+4,当0<a<2时,直线l1,l2与两坐标轴围成一个四边形,当四边形的面积最小时,实数a=________.
四、解答题
13.已知两条平行直线与间的距离为,求的值.
14.已知直线过点,且被平行直线:与:所截取的线段长为,求直线的方程.
15.已知的两条高所在的直线方程为,若点A坐标为
(1)求垂心H的坐标;
(2)若关于直线的对称点为N,求点N到直线BC的距离.
16.已知直线l经过直线2x+y-5=0与x-2y=0的交点P,且斜率为2.
(1)求直线l的方程;
(2)求点到直线l的距离.
试卷第1页,共3页
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参考答案:
1.C
【分析】求出定点,的坐标,再分和两种情况讨论,可判断两直线垂直,由即可求解.
【详解】由可得:,
由可得,所以定点,
直线可化为,
由可得,所以定点,
当时,直线方程为,,此时两直线垂直,
当时,由两直线的斜率之积为可知两直线垂直,
所以,所以,
故选:C.
2.C
【分析】联立直线方程求出交点坐标,再由横纵坐标都大于列不等式可得的值,再由斜率的定义以及倾斜角的范围即可求解.
【详解】由可得:,
因为两直线的交点位于第一象限,所以,解得:,
设直线的倾斜角为,则,
因为,所以,所以直线的倾斜角的取值范围是,
故选:C.
3.B
【分析】将与代入直线方程,可得方程有唯一的解,即可得答案;
【详解】解:与是直线为常数)上两个不同的点,
的斜率存在,
即,并且,
①②得:,
即.
方程组有唯—解.
故选︰B.
4.C
【分析】本题先化简集合A、集合B,再结合,确定直线与平行或直线过点,最后求实数a的值.
【详解】解:集合A表示直线,即上的点,但除去点,
集合B表示直线上的点,
当时,
直线与平行或直线过点,
所以或,
解得或.
故选:C.
【点睛】本题考查集合的运算、利用两条直线平行求参数、利用两条直线的交点求参数,是基础题.
5.A
【分析】设点关于直线的对称点为,根据该直线是BC的中垂线可列出关于和的方程组,解出C点坐标,再利用两点间距离公式求出即可.
【详解】解:如图所示,设将军在河边处饮马,连接,,则“将军饮马”的总路程为.
设点关于直线的对称点为,则,
解得,,即.
连接,,,则,所以,
所以“将军饮马”的最短总路程为.
故选:A.
6.C
【分析】判断出直线所过定点,结合图象求得的取值范围
【详解】直线恒过的定点,.
当时,直线方程为,与线段有交点,符合题意.
当时,直线的斜率为,则,
解得或,综上,.
故选:C
7.BD
【分析】根据两直线的位置关系与斜率的关系可判断A选项的正误;利用两直线垂直与一般方程的关系可判断B选项的正误;利用点到直线的距离公式可判断C选项的正误;利用点到直线距离的定义可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项,若直线和的斜率相等,则与平行或重合,A选项错误;
对于B选项,已知直线,(、、、、、为常数).
当直线和的斜率都存在时,则,,
直线的斜率为,直线的斜率为,若,则,可得;
当直线和分别与两坐标轴垂直,设轴,则轴,则,,满足.
综上所述,若直线,则,B选项正确;
对于C选项,直线的一般方程为,
所以,点到直线的距离为,C选项错误;
对于D选项,由点到直线的距离的定义可知,直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离,D选项正确.
故选:BD.
【点睛】结论点睛:利用一般式方程判定直线的平行与垂直:
已知直线和直线.
(1)且;
(2).
8.AB
【分析】利用点到直线的距离公式求出点P到直线l的距离d的表达式,再借助均值不等式求出d的取值范围即可逐项判断作答.
【详解】依题意,直线l方程化为:,
于是得:
,当且仅当时取“=”,
因,显然不成立,则,而当时,点P在直线l上,即,
因此,,所以选项中只有0或1满足.
故选:AB
9.
【分析】根据给定信息,利用三角形重心坐标公式求出的重心,再结合对称性求出的外心,然后求出欧拉线的方程作答.
【详解】因的顶点,,,则的重心,
显然的外心在线段AC中垂线上,设,
由得:,解得:,即点,
直线,化简整理得:,
所以欧拉线的方程为.
故答案为:
10.##
【分析】如图,过B点作倾斜角为的直线,过点P作,则,从而得,然后利用点到直线的距离公式求出A到直线的距离,进而可求出的最小值,
【详解】如图,过B点作倾斜角为的一条直线,过点P作于,则,即,
所以,A到直线的距离,
因此的最小值为.
故答案为:
11.13
【分析】根据题意求点的方程与边,利用圆上的点到直线的最远距离为圆心到直线的距离加上半径,即可求出边的高,进而求出面积的最大值.
【详解】设点,
,故点的方程为.
直线的方程为
圆心到直线的距离.
设点到边的高为,
的最大值为.
故答案为:13.
12.
【解析】先确定两直线恒过定点P(2,2),再结合图像四边形的面积S=,整理判断二次函数何时取最小值即可.
【详解】由题意知,直线l1,l2恒过定点P(2,2),如图所示,
直线l1与y轴的交点为,直线l2与x轴的交点为,所以四边形的面积S=×2×(2-a)+×2×(a2+2)=a2-a+4=,当a=时,面积最小.
故答案为:.
【点睛】本题解题关键是找出定点,数形结合,将四边形分成两个三角形求面积的表达式,再求最值.
13.或
【分析】直接利用两平行线之间的距离公式列方程,解方程即可求解.
【详解】因为两条平行直线与间的距离为,
所以,解得或,
所以的值为或.
14.或
【分析】根据两条平行线之间的距离及解得的线段的长度,可推测出直线与、的夹角,利用正切函数的两角和公式即可求解直线的斜率,进而得出直线方程.
【详解】两条平行线之间的距离,截得的线段长为,推得直线与、的夹角为45°.
设直线的斜率为,故
解得:或
则直线的方程为:或.
整理得:或.
15.(1);(2).
【分析】根据三角形垂心的意义,结合条件已知的两条高所在直线的方程分别为,,只须求得这两条高线的交点即可.
求出关于直线l :的对称点为,求出BC:,根据点到线的距离公式计算即可.
【详解】设,
由题意, ,可得,故垂心 ;
由(1)知:, 由“三条高线交于一点”得:,
,又 ,可设,代入,解得: ,
,
,可得,即,
∴,整理后得: ,
设的对称点,则有,且MN的中点在l上,
∴,整理得,解得,
∴N到直线BC的距离为 .
16.(1)
(2)
【分析】(1)先利用直线交点系设出经过直线2x+y-5=0与x-2y=0的交点的方程,再利用其斜率为2即可求得直线l的方程;
(2)利用点到直线的距离公式即可求得点到直线l的距离
(1)
经过直线2x+y-5=0与x-2y=0的交点的直线方程为
,即
由,可得
则直线l的方程为,即;
(2)
点到直线l的距离为
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