高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册《行天下周测卷》2.4圆的方程（含解析）
文档属性
| 名称 | 高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册《行天下周测卷》2.4圆的方程（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 521.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-23 08:06:15 | ||
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文档简介
一、单选题
1．过点、且圆心在直线上的圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．平面直角坐标系中，点集 ，则点集所覆盖的平面图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．直线与圆相交于A，B两点，若，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．已知M、N分别是圆和圆上的两个动点，点P在直线上，则的最小值是（ ）
A． B．10 C． D．12
5．点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
6．已知圆关于直线为大于0的常数对称，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
二、多选题
7．若圆与圆相切，则m的值可以是
A． B． C． D．
8．圆上的点（2，1）关于直线x＋y＝0的对称点仍在圆上，且圆的半径为，则圆的方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
9．求圆关于点对称的圆的方程为___________.
10．已知圆，，是圆上两点，点且，则线段中点的轨迹方程是______.
11．已知复数满足，则的最大值为___________.
12．直线过定点，过点作的垂线，垂足为，已知点，则的最大值为______．
四、解答题
13．已知的内角A、B、C所对的边分别为a，b、c，的面积为S，若.
(1)求证：；
(2)若，P为内一点，且，求的取值范围.
14．已知圆的方程为，要使过定点的圆的切线有两条，求实数a的取值范围.
15．一圆经过点，且与直线相切于点，试求该圆的方程．
16．已知圆经过点，，从下列3个条件选取一个_______
①过点；②圆恒被直线平分；③与轴相切.
（1）求圆的方程；
（2）过点的直线与圆相交于、两点，求中点的轨迹方程.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【解析】设圆心的坐标为，根据圆心到点、的距离相等可得出关于实数的等式，求出的值，可得出圆心的坐标，并求出圆的半径，由此可得出所求圆的标准方程.
【详解】设圆心为，由可得，
整理可得，解得，所以圆心，
所求圆的半径为，因此，所求圆的标准方程为.
故选：A.
【点睛】方法点睛：求圆的方程常见的思路与方法如下：
（1）求圆的轨迹方程，直接设出动点坐标，根据题意列出关于、的方程即可；
（2）根据几何意义直接求出圆心坐标和半径，即可写出圆的标准方程；
（3）待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般方程，再根据所给条件求出参数即可.
2．C
【分析】欲求点集所覆盖的平面图形的面积，先看点的轨迹是什么图形，将，的式子平方相加后即可得出,再结合三角函数的有界性即可解决问题．
【详解】
两式平方相加得：
,
即：．
由于，
，
随着的变化，方程表示圆心在，半径为和半径为的两圆之间的圆环，
故点集所覆盖的平面图形的面积为：，
故选：C．
3．B
【分析】利用圆的弦长、半径、弦心距的关系结合已知求出弦心距的范围，再借助点到直线的距离公式计算作答.
【详解】令圆的圆心到直线l的距离为d，而圆半径为，弦AB长满足，
则有，又，于是得，解得，
所以实数m的取值范围为.
故选：B
4．C
【分析】计算圆心关于直线的对称点为，计算，得到最值.
【详解】圆的圆心为，圆的圆心为，
关于直线的对称点为，，
故的最小值是.
故选：C.
【点睛】本题考查了点关于直线对称，与圆相关的距离的最值，意在考查学生的计算能力和应用能力，转化能力.
5．D
【分析】设点，求出以为直径的圆的方程，并将圆的方程变形，可求得定点坐标.
【详解】设点，则线段的中点为，
圆的半径为，
所以，以为直径为圆的方程为，
即，即，
由，解得或，
因此，以为直径的圆经过定点坐标为、.
故选：D.
6．A
【分析】由题意，直线过圆心，进而有，又，从而利用均值不等式即可求解的最大值.
【详解】解：因为圆的圆心为，且圆关于直线为大于0的常数对称，
所以直线过圆心，
所以，又，
所以即当取最大值为，
故选：A.
7．AC
【解析】根据题意，求出圆的圆心与半径，分两圆内切和外切两种情况，求出的值即可.
【详解】由题意，圆可化简为，
所以，圆的圆心坐标，半径，
圆的圆心坐标，半径，
所以，，
所以，或，解得或.
故选：AC.
【点睛】本题考查两圆的位置关系的判定，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.
8．AD
【分析】由圆的几何关系可知圆心在直线x＋y＝0上，设出圆心坐标为（a，－a），利用圆心到圆上点的距离等于半径列方程即可求解.
【详解】由题意可知圆心在直线x＋y＝0上，设圆心坐标为（a，－a），
则，解得a＝0或a＝1，
∴所求圆的方程为或,
故选：AD．
9．
【分析】先求出圆的圆心和半径，再求出关于点对称的点，即可写出对称圆的方程.
【详解】圆化为标准方程为：.所以，半径.
故圆关于点对称的圆的半径5，圆心设为D.
由中点坐标公式求得: ,
所以对称圆的方程为：.
故答案为：
10．
【分析】依题意设是线段的中点，则，可得，在中利用勾股定理计算可得；
【详解】解：如图所示，是线段的中点，则，
因为，于是，
在中，，，，
由勾股定理得，
整理得的轨迹是.
故答案为：
【点睛】本题考查求动点的轨迹方程，属于中档题.
11．
【分析】设，由已知条件求出复数对应的点的轨迹为圆，根据复数模的几何意义和圆的性质即可求解.
【详解】设，由，可得，
则，即，
复数对应的点的轨迹是以为圆心，半径的圆，
而表示复数对应的点到坐标原点的距离，
所以的最大值就是.
故答案为：.
12．
【分析】设，应用坐标表示出、，利用向量垂直的坐标表示列方程求得M的轨迹为圆，问题转化为定点到圆上点距离最大.
【详解】设，若，则，，
所以，故M的轨迹为.
轨迹是圆心为，半径为的圆，则最大.
故答案为：
13．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用基本不等式结合三角函数性质即可证明结论；
（2）由（1）结合可求得，建立平面直角坐标系，求得P点轨迹方程，确定x取值范围，用坐标表示出，利用函数的单调性即可求得答案.
（1）
证明：因为，故，
即，由于，
故，则；
（2）
由于，结合（1）知，
故由可得，解得 ，
故为等腰直角三角形，
以A为坐标原点，AC,AB为x,y轴建立平面直角坐标系，如图，
则,设，
则由可知， ,即 ，
即，由于P为内一点，
故P点的轨迹为圆在三角形内的部分圆弧，
而线段BC方程为 ，联立，解得，
故，则
，
由于，故，即的取值范围为.
14．
【分析】由过点的圆的切线有两条，可知点A必在圆外，由点和圆的位置关系，列出不等关系，即得解
【详解】将圆的方程配方得，圆心的坐标为，
半径，其中，
若过点的圆的切线有两条，则点A必在圆外，
即.
化简得.由，
解得，
故a的取值范围是.
15．.
【分析】设圆的圆心为C，，，由，得到直线CB的方程， 再求导线段AB的垂直平分线方程，联立求得圆心即可.
【详解】设圆的圆心为C，，，则，
所以直线CB的方程为：，即，
又AB的中点为，且，
所以线段AB的垂直平分线方程为，即，
由，解得，
所以圆的圆心为，半径为，
所以圆的方程是，
故答案为：
16．（1）；（2）.
【解析】（1）选择①、②、③，分别用待定系数法求圆的方程；
（2）先分析出，M的轨迹落在圆上，根据交点判断范围即可.
【详解】解：选①设圆的方程为，，
由题意可得，解得，
则圆E的方程为即；
选②，直线恒过（1,0）
而圆恒被直线平分，所以恒过圆心，
所以圆心为（1,0），可设圆的标准方程为
由圆经过点，得
则圆E的方程为；
选③，：圆E的方程为；
由题意可得，解得，
则圆E的方程为；
（2）因为M为AB中点，E为圆心，根据垂径定理，得：，
所以点M落在以EP为直径的圆上，其方程为.
即点M的轨迹为以EP为直径的圆落在圆E内的一段弧，
由解得，
所以M的轨迹方程为：
【点睛】（1）待定系数法是求二次曲线的标准方程的最常用方法；
（2）解析几何问题解题的关键：解析几何归根结底还是几何，根据题意画出图形，借助于图形寻找几何关系可以简化运算．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
1．过点、且圆心在直线上的圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．平面直角坐标系中，点集 ，则点集所覆盖的平面图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．直线与圆相交于A，B两点，若，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．已知M、N分别是圆和圆上的两个动点，点P在直线上，则的最小值是（ ）
A． B．10 C． D．12
5．点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
6．已知圆关于直线为大于0的常数对称，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
二、多选题
7．若圆与圆相切，则m的值可以是
A． B． C． D．
8．圆上的点（2，1）关于直线x＋y＝0的对称点仍在圆上，且圆的半径为，则圆的方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
9．求圆关于点对称的圆的方程为___________.
10．已知圆，，是圆上两点，点且，则线段中点的轨迹方程是______.
11．已知复数满足，则的最大值为___________.
12．直线过定点，过点作的垂线，垂足为，已知点，则的最大值为______．
四、解答题
13．已知的内角A、B、C所对的边分别为a，b、c，的面积为S，若.
(1)求证：；
(2)若，P为内一点，且，求的取值范围.
14．已知圆的方程为，要使过定点的圆的切线有两条，求实数a的取值范围.
15．一圆经过点，且与直线相切于点，试求该圆的方程．
16．已知圆经过点，，从下列3个条件选取一个_______
①过点；②圆恒被直线平分；③与轴相切.
（1）求圆的方程；
（2）过点的直线与圆相交于、两点，求中点的轨迹方程.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【解析】设圆心的坐标为，根据圆心到点、的距离相等可得出关于实数的等式，求出的值，可得出圆心的坐标，并求出圆的半径，由此可得出所求圆的标准方程.
【详解】设圆心为，由可得，
整理可得，解得，所以圆心，
所求圆的半径为，因此，所求圆的标准方程为.
故选：A.
【点睛】方法点睛：求圆的方程常见的思路与方法如下：
（1）求圆的轨迹方程，直接设出动点坐标，根据题意列出关于、的方程即可；
（2）根据几何意义直接求出圆心坐标和半径，即可写出圆的标准方程；
（3）待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般方程，再根据所给条件求出参数即可.
2．C
【分析】欲求点集所覆盖的平面图形的面积，先看点的轨迹是什么图形，将，的式子平方相加后即可得出,再结合三角函数的有界性即可解决问题．
【详解】
两式平方相加得：
,
即：．
由于，
，
随着的变化，方程表示圆心在，半径为和半径为的两圆之间的圆环，
故点集所覆盖的平面图形的面积为：，
故选：C．
3．B
【分析】利用圆的弦长、半径、弦心距的关系结合已知求出弦心距的范围，再借助点到直线的距离公式计算作答.
【详解】令圆的圆心到直线l的距离为d，而圆半径为，弦AB长满足，
则有，又，于是得，解得，
所以实数m的取值范围为.
故选：B
4．C
【分析】计算圆心关于直线的对称点为，计算，得到最值.
【详解】圆的圆心为，圆的圆心为，
关于直线的对称点为，，
故的最小值是.
故选：C.
【点睛】本题考查了点关于直线对称，与圆相关的距离的最值，意在考查学生的计算能力和应用能力，转化能力.
5．D
【分析】设点，求出以为直径的圆的方程，并将圆的方程变形，可求得定点坐标.
【详解】设点，则线段的中点为，
圆的半径为，
所以，以为直径为圆的方程为，
即，即，
由，解得或，
因此，以为直径的圆经过定点坐标为、.
故选：D.
6．A
【分析】由题意，直线过圆心，进而有，又，从而利用均值不等式即可求解的最大值.
【详解】解：因为圆的圆心为，且圆关于直线为大于0的常数对称，
所以直线过圆心，
所以，又，
所以即当取最大值为，
故选：A.
7．AC
【解析】根据题意，求出圆的圆心与半径，分两圆内切和外切两种情况，求出的值即可.
【详解】由题意，圆可化简为，
所以，圆的圆心坐标，半径，
圆的圆心坐标，半径，
所以，，
所以，或，解得或.
故选：AC.
【点睛】本题考查两圆的位置关系的判定，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.
8．AD
【分析】由圆的几何关系可知圆心在直线x＋y＝0上，设出圆心坐标为（a，－a），利用圆心到圆上点的距离等于半径列方程即可求解.
【详解】由题意可知圆心在直线x＋y＝0上，设圆心坐标为（a，－a），
则，解得a＝0或a＝1，
∴所求圆的方程为或,
故选：AD．
9．
【分析】先求出圆的圆心和半径，再求出关于点对称的点，即可写出对称圆的方程.
【详解】圆化为标准方程为：.所以，半径.
故圆关于点对称的圆的半径5，圆心设为D.
由中点坐标公式求得: ,
所以对称圆的方程为：.
故答案为：
10．
【分析】依题意设是线段的中点，则，可得，在中利用勾股定理计算可得；
【详解】解：如图所示，是线段的中点，则，
因为，于是，
在中，，，，
由勾股定理得，
整理得的轨迹是.
故答案为：
【点睛】本题考查求动点的轨迹方程，属于中档题.
11．
【分析】设，由已知条件求出复数对应的点的轨迹为圆，根据复数模的几何意义和圆的性质即可求解.
【详解】设，由，可得，
则，即，
复数对应的点的轨迹是以为圆心，半径的圆，
而表示复数对应的点到坐标原点的距离，
所以的最大值就是.
故答案为：.
12．
【分析】设，应用坐标表示出、，利用向量垂直的坐标表示列方程求得M的轨迹为圆，问题转化为定点到圆上点距离最大.
【详解】设，若，则，，
所以，故M的轨迹为.
轨迹是圆心为，半径为的圆，则最大.
故答案为：
13．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用基本不等式结合三角函数性质即可证明结论；
（2）由（1）结合可求得，建立平面直角坐标系，求得P点轨迹方程，确定x取值范围，用坐标表示出，利用函数的单调性即可求得答案.
（1）
证明：因为，故，
即，由于，
故，则；
（2）
由于，结合（1）知，
故由可得，解得 ，
故为等腰直角三角形，
以A为坐标原点，AC,AB为x,y轴建立平面直角坐标系，如图，
则,设，
则由可知， ,即 ，
即，由于P为内一点，
故P点的轨迹为圆在三角形内的部分圆弧，
而线段BC方程为 ，联立，解得，
故，则
，
由于，故，即的取值范围为.
14．
【分析】由过点的圆的切线有两条，可知点A必在圆外，由点和圆的位置关系，列出不等关系，即得解
【详解】将圆的方程配方得，圆心的坐标为，
半径，其中，
若过点的圆的切线有两条，则点A必在圆外，
即.
化简得.由，
解得，
故a的取值范围是.
15．.
【分析】设圆的圆心为C，，，由，得到直线CB的方程， 再求导线段AB的垂直平分线方程，联立求得圆心即可.
【详解】设圆的圆心为C，，，则，
所以直线CB的方程为：，即，
又AB的中点为，且，
所以线段AB的垂直平分线方程为，即，
由，解得，
所以圆的圆心为，半径为，
所以圆的方程是，
故答案为：
16．（1）；（2）.
【解析】（1）选择①、②、③，分别用待定系数法求圆的方程；
（2）先分析出，M的轨迹落在圆上，根据交点判断范围即可.
【详解】解：选①设圆的方程为，，
由题意可得，解得，
则圆E的方程为即；
选②，直线恒过（1,0）
而圆恒被直线平分，所以恒过圆心，
所以圆心为（1,0），可设圆的标准方程为
由圆经过点，得
则圆E的方程为；
选③，：圆E的方程为；
由题意可得，解得，
则圆E的方程为；
（2）因为M为AB中点，E为圆心，根据垂径定理，得：，
所以点M落在以EP为直径的圆上，其方程为.
即点M的轨迹为以EP为直径的圆落在圆E内的一段弧，
由解得，
所以M的轨迹方程为：
【点睛】（1）待定系数法是求二次曲线的标准方程的最常用方法；
（2）解析几何问题解题的关键：解析几何归根结底还是几何，根据题意画出图形，借助于图形寻找几何关系可以简化运算．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页