高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册《行天下周测卷》1.4空间向量的运用（含解析）
文档属性
| 名称 | 高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册《行天下周测卷》1.4空间向量的运用（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-23 08:06:26 | ||
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文档简介
一、单选题
1．在三棱锥中，，，两两垂直，为棱上一动点，，.当与平面所成角最大时，与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，以下结论错误的是（ ）
A．面对角线中与直线A1D所成的角为60°的有8条
B．直线A1D与BC1垂直
C．直线A1D与BD1平行
D．三棱锥A﹣A1CD的体积为a3
3．如图，已知正方体中，F为线段的中点，E为线段上的动点，则下列四个结论：①存在点E，使；②存在点E，使平面；③EF与所成的角不可能等于60°；④三棱锥的体积随动点E的变化而变化．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面BCD，，且，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知圆柱，在圆上，，，、在圆上，且满足，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．在棱长为1的正方体中，，分别为，的中点，为底面的中心，点在正方体的表面上运动，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A．点可以是棱的中点 B．线段的最大值为
C．点的轨迹是平行四边形 D．点轨迹的长度为
二、多选题
7．在平行六面体中，，，则下列说法正确的是（ ）
A．线段的长度为
B．异面直线夹角的余弦值为
C．对角面的面积为
D．平行六面体的体积为
8．已知三棱锥B-ACD的侧棱两两垂直，E为棱CD的中点，且，，，则（ ）
A．
B．异面直线BE与AD所成角的正弦值为
C．平面ABE与平面ABD不垂直
D．平面ABE与平面ACD所成锐二面角的余弦值为
三、填空题
9．已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，，则VA与平面PMN的位置关系是_________．
10．现有四棱锥（如图），底面ABCD是矩形，平面ABCD.，，点E，F分别在棱AB，BC上.当空间四边形PEFD的周长最小时，异面直线PE与DF所成角的余弦值为___________.
11．若直线a的方向向量为，平面α，β的法向量分别为，则下列命题为真命题的序号是____.
（1）若⊥，则直线a∥平面α；
（2）若∥，则直线a⊥平面α；
（3）若，则直线a与平面α所成角的大小为；
（4）若，则平面α，β的夹角为.
12．在正方体中，点Р在侧面(包括边界)上运动，满足记直线与平面所成角为，则的取值范围是_____________
四、解答题
13．中国是风筝的故乡，南方称“鹞”，北方称“鸢”，如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥，其中于，，，平面．
（1）求证：；
（2）试验表明，当时，风筝表现最好，求此时直线与平面所成角的正弦值．
14．如图，在三棱柱中，平面 ，，点分别在棱和棱 上，且为棱的中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．
15．如图，在直三棱柱中，，是棱的中点，且.
（1）求证： 平面；
（2）求直线到平面的距离.
16．如图，在四棱锥中，、、两两垂直，，，，为线段上一点（端点除外）.
（1）若异面直线、所成角的余弦值为，求的长；
（2）求二面角的平面角的余弦值.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【解析】首先利用线面角的定义，可知当为的中点时，取得最小值，此时与平面所成角最大，再以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量坐标法求线面角的正弦值.
【详解】，且，
平面，
易证平面，则与平面所成角为，
，
当取得最小值时，取得最大值
在等腰中，
当为的中点时，取得最小值.
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
则，，
设平面的法向量为，则，
即
令，得.
因为，所以与平面所成角的正弦值为.
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题重点考查线面角，既考查了几何法求线面角，又考查向量法求线面角，本题关键是确定点的位置，首先利用线面角的定义确定点的位置，再利用向量法求线面角.
2．C
【分析】建立空间直角坐标系．利用正方体的性质、向量的夹角公式与数量积的关系、三棱锥的体积计算公式即可得出结果．
【详解】解：如图所示，建立空间直角坐标系．
A1（a，0，a），D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，a，0），B1（a，a，a）．
C1（0，a，a），D1（0，0，a），
∴（﹣a，0，﹣a），（0，a，a），
∴cos，
∴异面直线A1D，AB1所成角为60°，
同理，正方体的六个面中，除了平面ADD1A1与平面BCC1B1的面对角线处其他的面对角线都与A1D所成角为60°，
∴面对角线中与直线A1D所成的角为60°的有8条，故A正确；
∵（﹣a，0，﹣a），（﹣a，0，a），
∴ 0，∴直线A1D与BC1垂直，故B正确；
∵（﹣a，0，﹣a），（﹣a，﹣a，a），
∴0，∴直线A1D与BD1垂直，故C错误；
三棱锥A﹣A1CD的体积为：
a2×a．故D正确．
故选：C．
3．D
【分析】设正方体的棱长为1，以点为坐标原点，以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，利用空间线面平行与垂直的判定及性质定理、向量的夹角判断异面直线所成角、三棱锥的体积计算公式即可得出．
【详解】解：设正方体的棱长为1，以点为坐标原点，以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，1，，，1，，，0，，，0，，，1，，，1，，点，
则，而，，
，因此，
，，，，
对于①而言就是否存在实数，使，而，，，，此即，这样的不存在，①错误；
对于②而言就是否存在实数，使平面，首先我们在平面内任意找到两条相交直线的方向向量，不妨就找和，
，于是，即就是当为的中点的时候，②正确；
同理，对于③而言，还是判断这样的实数是否存在，，
设其夹角为，则，
令，此即，将上式平方解得，将回代原式结论成立，这样的存在；③错误；
对于④来说，点无论在上怎样移动，底面的高不变，故而底面面积不变，三棱锥的高为定值，所以其体积不会随着点的变化而变化，故④错误．
所以正确的个数为1个.
故选：D.
4．C
【解析】画出四面体，建立坐标系，利用向量法求异面直线所成角的余弦值即可.
【详解】四面体是由正方体的四个顶点构成的，如下图所示
建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为
因为异面直线夹角的范围为，所以异面直线BM与CD夹角的余弦值为
故选：C
【点睛】本题主要考查了利用向量法求异面直线夹角的余弦值，属于中档题.
5．A
【分析】取中点，连接、，然后以点为坐标原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可得出直线与平面所成角的正弦值关于的表达式，由此可求得结果.
【详解】取中点，则， 以点为坐标原点，为轴，为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、，
，，
设平面的法向量为，
则，取，则，，则，
设，直线的方向向量为，
所以直线与平面所成角的正弦值为，
故选：A.
【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：
（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；
（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角；
（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为.
6．B
【分析】在正方体中，以点为坐标原点，分别以、、方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，根据，确定点的轨迹，在逐项判断，即可得出结果.
【详解】在正方体中，以点为坐标原点，分别以、、方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，
因为该正方体的棱长为，分别为，的中点，
则，，，，
所以，设，则，
因为， 所以
所以，即，
令，当时，；当时，；
取，，
连接，，，则，，
则，
，
所以，，
又，且平面，平面，
所以平面，
所以，为使，必有点平面，又点在正方体的表面上运动，
所以点的轨迹为正三角形，故C错误；
因此点不可能是棱的中点，故A错误；
线段的最大值为，故B正确；
点轨迹的长度为，故D错误；
故选：B
7．AD
【分析】设，求得，根据，求得的值，可判定A正确；由，可判定B错误；由为正三角形，根据，得到对角面为矩形，可判定C错误；由，可判定D正确.
【详解】设，则，
对于A中，因为，
可得，
所以A正确；
对于B中，因为，
可得异面直线与夹角的余弦值为0，所以B错误；
对于C中，因为，所以为正三角形，可得，
因为，所以，
所以对角面为矩形，其面积为，所以C错误；
对于D中，设与交于点，连接，取的中点，连接，
可得，所以D正确.
故选：AD.
8．ACD
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，
A．证明，所以该选项正确；
B．利用向量法求出异面直线BE与AD所成角的正弦值为，所以该选项错误；
C. 反证法证明平面ABE与平面ABD不垂直，所以该选项正确；
D.利用向量法证明平面ABE与平面ACD所成锐二面角的余弦值为，所以该选项正确.
【详解】
因为三棱锥B-ACD的侧棱两两垂直，所以建立如图所示的空间直角坐标系，则,
A.，所以，所以该选项正确；
B.，所以异面直线BE与AD所成角的余弦值为
所以异面直线BE与AD所成角的正弦值为，所以该选项错误；
C. 假设平面ABE与平面ABD垂直，因为平面ABE与平面ABD交于,,
平面，故平面，因为平面，
所以,显然不成立，所以平面ABE与平面ABD不垂直，所以该选项正确；
D.设平面ABE的法向量为所以，所以，
设平面ACD的法向量为所以，所以，
所以平面ABE与平面ACD所成锐二面角的余弦值为.所以该选项正确.
故选：ACD
【点睛】方法点睛：二面角的求法
方法一：（几何法）找作（定义法、三垂线法、垂面法）证（定义）指求（解三角形）；方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量；再代入公式（其中分别是两个平面的法向量，是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“”号）.
9．平行
【解析】利用图形，设，再结合比例关系代换出，通过运算可得，由此判断共面，从而得出结论
【详解】如图，设，则
由题意知
因此
共面．
又VA 平面PMN，
∴VA∥平面PMN.
故答案为：平行
【点睛】本题考查空间坐标系中关于线面平行的判断，属于中档题
10．##
【分析】根据两点间线段最短，结合平行线的性质、异面直线所成角的定义、空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】将沿旋转到平面内，如下图所示，
设点关于对称的点为，线段与的交点为，
此时空间四边形PEFD的周长最小，
因为，所以，
同理可得：，
因为底面ABCD是矩形，所以，
又因为平面ABCD，平面ABCD，
所以，
所以可以建立如下图所示的空间直角坐标系，
，
，
异面直线PE与DF所成角的余弦值为：
，
故答案为：
【点睛】关键点睛：利用两点间线段最短是解题的关键.
11．(2)(3)(4)
【分析】根据直线的方向向量与平面的法向量之间的关系，逐一判断线面，面面的关系即可得出结论.
【详解】若⊥，则直线a与平面α平行或在平面α内，所以(1)是假命题；
若∥，则也是平面α的法向量，所以直线a⊥平面α，所以(2)是真命题；
直线与平面所成角的正弦值等于直线的方向向量与平面的法向量所成角余弦值的绝对值，所以(3)是真命题；
两个平面的夹角与它们的法向量所成的不大于90°的角相等，所以(4)是真命题.
故答案为：(2)(3)(4).
12．
【分析】利用坐标法，可得点在上，然后利用线面角的向量求法可得，然后利用二次函数的性质即得.
【详解】如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则，
由题可设，则，
∴，即，
∴点在上，
又，，平面的一个法向量可取，
∴
，
又，
∴，，
即的取值范围是.
故答案为：.
13．（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）利用平面可得，再利用即可；
（2）以为坐标原点，分别以，，为，，轴正方向，建立空间直角坐标系即可求出；或利用等体积法也可.
【详解】（1）证明：∵平面，平面，
∴，又，
，平面，平面，
∴平面，
又平面．
∴．
（2）解：法一：如图，
以为坐标原点，分别以，，为，，轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，
∴，，，
设为平面的法向量，
则，即，
令，则，
设直线与平面所成角为，
则．
法二：如图，
在中，由得，
在中，由得，
在中，由得．
在中，由得，
在中，由，
得，
，
设点到平面的距离为，
由，
得，
即，
设直线与平面所成的角为，
则．
14．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
【分析】以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系.
（Ⅰ）计算出向量和的坐标，得出，即可证明出；
（Ⅱ）可知平面的一个法向量为，计算出平面的一个法向量为，利用空间向量法计算出二面角的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果；
（Ⅲ）利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.
【详解】依题意，以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），
可得、、、、
、、、、.
（Ⅰ）依题意，，，
从而，所以；
（Ⅱ）依题意，是平面的一个法向量，
，．
设为平面的法向量，
则，即，
不妨设，可得．
，
．
所以，二面角的正弦值为；
（Ⅲ）依题意，．
由（Ⅱ）知为平面的一个法向量，于是．
所以，直线与平面所成角的正弦值为.
【点睛】本题考查利用空间向量法证明线线垂直，求二面角和线面角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中档题.
15．（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）以为原点，以，，所在的直线分别为，，轴，求出平面的法向量，通过数量积推出，得到平面．
（2）通过直线上任一点到平面的距离都相等，，设直线到平面的距离为，利用空间向量的数量积转化求解即可．
【详解】（1）证明：以为原点，以，，所在的直线分别为，，轴，
如图建立空间直角坐标系，，
，
设平面的法向量为，
则，，，
令，则，
，
所以，
因为平面，所以平面．
（2）解：因为平面，所以直线上任一点到平面的距离都相等，，
设直线到平面的距离为，则，
所以直线到平面的距离为．
【点睛】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，向量法的应用，直线到平面距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题．
16．（1）；（2）.
【分析】（1）以、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，，利用空间向量法结合异面直线、所成角的余弦值为可得出关于的方程，解出的值，即可求得的长；
（2）求出平面和平面的法向量，利用空间向量法可求得二面角的平面角的余弦值.
【详解】（1）因为、、两两垂直，所以以、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则由，，
得，，，，.
设，其中，
所以，
因为直线、所成角的余弦值为，
所以，
解得，所以，故的长为；
（2）由（1）知，，，.
设平面的一个法向量为.由，得.
取，则，所以平面的一个法向量为.
设平面的一个法向量为，由，得，
取，则，，所以平面的一个法向量为.
因为，
由图形可知，二面角的平面角为钝角，其余弦值为.
【点睛】本题考查利用异面直线所成角的余弦值求线段长度，同时也考查了利用空间向量法求二面角的余弦值，考查计算能力，属于中等题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
1．在三棱锥中，，，两两垂直，为棱上一动点，，.当与平面所成角最大时，与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，以下结论错误的是（ ）
A．面对角线中与直线A1D所成的角为60°的有8条
B．直线A1D与BC1垂直
C．直线A1D与BD1平行
D．三棱锥A﹣A1CD的体积为a3
3．如图，已知正方体中，F为线段的中点，E为线段上的动点，则下列四个结论：①存在点E，使；②存在点E，使平面；③EF与所成的角不可能等于60°；④三棱锥的体积随动点E的变化而变化．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面BCD，，且，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知圆柱，在圆上，，，、在圆上，且满足，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．在棱长为1的正方体中，，分别为，的中点，为底面的中心，点在正方体的表面上运动，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A．点可以是棱的中点 B．线段的最大值为
C．点的轨迹是平行四边形 D．点轨迹的长度为
二、多选题
7．在平行六面体中，，，则下列说法正确的是（ ）
A．线段的长度为
B．异面直线夹角的余弦值为
C．对角面的面积为
D．平行六面体的体积为
8．已知三棱锥B-ACD的侧棱两两垂直，E为棱CD的中点，且，，，则（ ）
A．
B．异面直线BE与AD所成角的正弦值为
C．平面ABE与平面ABD不垂直
D．平面ABE与平面ACD所成锐二面角的余弦值为
三、填空题
9．已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，，则VA与平面PMN的位置关系是_________．
10．现有四棱锥（如图），底面ABCD是矩形，平面ABCD.，，点E，F分别在棱AB，BC上.当空间四边形PEFD的周长最小时，异面直线PE与DF所成角的余弦值为___________.
11．若直线a的方向向量为，平面α，β的法向量分别为，则下列命题为真命题的序号是____.
（1）若⊥，则直线a∥平面α；
（2）若∥，则直线a⊥平面α；
（3）若，则直线a与平面α所成角的大小为；
（4）若，则平面α，β的夹角为.
12．在正方体中，点Р在侧面(包括边界)上运动，满足记直线与平面所成角为，则的取值范围是_____________
四、解答题
13．中国是风筝的故乡，南方称“鹞”，北方称“鸢”，如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥，其中于，，，平面．
（1）求证：；
（2）试验表明，当时，风筝表现最好，求此时直线与平面所成角的正弦值．
14．如图，在三棱柱中，平面 ，，点分别在棱和棱 上，且为棱的中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．
15．如图，在直三棱柱中，，是棱的中点，且.
（1）求证： 平面；
（2）求直线到平面的距离.
16．如图，在四棱锥中，、、两两垂直，，，，为线段上一点（端点除外）.
（1）若异面直线、所成角的余弦值为，求的长；
（2）求二面角的平面角的余弦值.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【解析】首先利用线面角的定义，可知当为的中点时，取得最小值，此时与平面所成角最大，再以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量坐标法求线面角的正弦值.
【详解】，且，
平面，
易证平面，则与平面所成角为，
，
当取得最小值时，取得最大值
在等腰中，
当为的中点时，取得最小值.
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
则，，
设平面的法向量为，则，
即
令，得.
因为，所以与平面所成角的正弦值为.
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题重点考查线面角，既考查了几何法求线面角，又考查向量法求线面角，本题关键是确定点的位置，首先利用线面角的定义确定点的位置，再利用向量法求线面角.
2．C
【分析】建立空间直角坐标系．利用正方体的性质、向量的夹角公式与数量积的关系、三棱锥的体积计算公式即可得出结果．
【详解】解：如图所示，建立空间直角坐标系．
A1（a，0，a），D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，a，0），B1（a，a，a）．
C1（0，a，a），D1（0，0，a），
∴（﹣a，0，﹣a），（0，a，a），
∴cos，
∴异面直线A1D，AB1所成角为60°，
同理，正方体的六个面中，除了平面ADD1A1与平面BCC1B1的面对角线处其他的面对角线都与A1D所成角为60°，
∴面对角线中与直线A1D所成的角为60°的有8条，故A正确；
∵（﹣a，0，﹣a），（﹣a，0，a），
∴ 0，∴直线A1D与BC1垂直，故B正确；
∵（﹣a，0，﹣a），（﹣a，﹣a，a），
∴0，∴直线A1D与BD1垂直，故C错误；
三棱锥A﹣A1CD的体积为：
a2×a．故D正确．
故选：C．
3．D
【分析】设正方体的棱长为1，以点为坐标原点，以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，利用空间线面平行与垂直的判定及性质定理、向量的夹角判断异面直线所成角、三棱锥的体积计算公式即可得出．
【详解】解：设正方体的棱长为1，以点为坐标原点，以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，1，，，1，，，0，，，0，，，1，，，1，，点，
则，而，，
，因此，
，，，，
对于①而言就是否存在实数，使，而，，，，此即，这样的不存在，①错误；
对于②而言就是否存在实数，使平面，首先我们在平面内任意找到两条相交直线的方向向量，不妨就找和，
，于是，即就是当为的中点的时候，②正确；
同理，对于③而言，还是判断这样的实数是否存在，，
设其夹角为，则，
令，此即，将上式平方解得，将回代原式结论成立，这样的存在；③错误；
对于④来说，点无论在上怎样移动，底面的高不变，故而底面面积不变，三棱锥的高为定值，所以其体积不会随着点的变化而变化，故④错误．
所以正确的个数为1个.
故选：D.
4．C
【解析】画出四面体，建立坐标系，利用向量法求异面直线所成角的余弦值即可.
【详解】四面体是由正方体的四个顶点构成的，如下图所示
建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为
因为异面直线夹角的范围为，所以异面直线BM与CD夹角的余弦值为
故选：C
【点睛】本题主要考查了利用向量法求异面直线夹角的余弦值，属于中档题.
5．A
【分析】取中点，连接、，然后以点为坐标原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可得出直线与平面所成角的正弦值关于的表达式，由此可求得结果.
【详解】取中点，则， 以点为坐标原点，为轴，为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、，
，，
设平面的法向量为，
则，取，则，，则，
设，直线的方向向量为，
所以直线与平面所成角的正弦值为，
故选：A.
【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：
（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；
（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角；
（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为.
6．B
【分析】在正方体中，以点为坐标原点，分别以、、方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，根据，确定点的轨迹，在逐项判断，即可得出结果.
【详解】在正方体中，以点为坐标原点，分别以、、方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，
因为该正方体的棱长为，分别为，的中点，
则，，，，
所以，设，则，
因为， 所以
所以，即，
令，当时，；当时，；
取，，
连接，，，则，，
则，
，
所以，，
又，且平面，平面，
所以平面，
所以，为使，必有点平面，又点在正方体的表面上运动，
所以点的轨迹为正三角形，故C错误；
因此点不可能是棱的中点，故A错误；
线段的最大值为，故B正确；
点轨迹的长度为，故D错误；
故选：B
7．AD
【分析】设，求得，根据，求得的值，可判定A正确；由，可判定B错误；由为正三角形，根据，得到对角面为矩形，可判定C错误；由，可判定D正确.
【详解】设，则，
对于A中，因为，
可得，
所以A正确；
对于B中，因为，
可得异面直线与夹角的余弦值为0，所以B错误；
对于C中，因为，所以为正三角形，可得，
因为，所以，
所以对角面为矩形，其面积为，所以C错误；
对于D中，设与交于点，连接，取的中点，连接，
可得，所以D正确.
故选：AD.
8．ACD
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，
A．证明，所以该选项正确；
B．利用向量法求出异面直线BE与AD所成角的正弦值为，所以该选项错误；
C. 反证法证明平面ABE与平面ABD不垂直，所以该选项正确；
D.利用向量法证明平面ABE与平面ACD所成锐二面角的余弦值为，所以该选项正确.
【详解】
因为三棱锥B-ACD的侧棱两两垂直，所以建立如图所示的空间直角坐标系，则,
A.，所以，所以该选项正确；
B.，所以异面直线BE与AD所成角的余弦值为
所以异面直线BE与AD所成角的正弦值为，所以该选项错误；
C. 假设平面ABE与平面ABD垂直，因为平面ABE与平面ABD交于,,
平面，故平面，因为平面，
所以,显然不成立，所以平面ABE与平面ABD不垂直，所以该选项正确；
D.设平面ABE的法向量为所以，所以，
设平面ACD的法向量为所以，所以，
所以平面ABE与平面ACD所成锐二面角的余弦值为.所以该选项正确.
故选：ACD
【点睛】方法点睛：二面角的求法
方法一：（几何法）找作（定义法、三垂线法、垂面法）证（定义）指求（解三角形）；方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量；再代入公式（其中分别是两个平面的法向量，是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“”号）.
9．平行
【解析】利用图形，设，再结合比例关系代换出，通过运算可得，由此判断共面，从而得出结论
【详解】如图，设，则
由题意知
因此
共面．
又VA 平面PMN，
∴VA∥平面PMN.
故答案为：平行
【点睛】本题考查空间坐标系中关于线面平行的判断，属于中档题
10．##
【分析】根据两点间线段最短，结合平行线的性质、异面直线所成角的定义、空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】将沿旋转到平面内，如下图所示，
设点关于对称的点为，线段与的交点为，
此时空间四边形PEFD的周长最小，
因为，所以，
同理可得：，
因为底面ABCD是矩形，所以，
又因为平面ABCD，平面ABCD，
所以，
所以可以建立如下图所示的空间直角坐标系，
，
，
异面直线PE与DF所成角的余弦值为：
，
故答案为：
【点睛】关键点睛：利用两点间线段最短是解题的关键.
11．(2)(3)(4)
【分析】根据直线的方向向量与平面的法向量之间的关系，逐一判断线面，面面的关系即可得出结论.
【详解】若⊥，则直线a与平面α平行或在平面α内，所以(1)是假命题；
若∥，则也是平面α的法向量，所以直线a⊥平面α，所以(2)是真命题；
直线与平面所成角的正弦值等于直线的方向向量与平面的法向量所成角余弦值的绝对值，所以(3)是真命题；
两个平面的夹角与它们的法向量所成的不大于90°的角相等，所以(4)是真命题.
故答案为：(2)(3)(4).
12．
【分析】利用坐标法，可得点在上，然后利用线面角的向量求法可得，然后利用二次函数的性质即得.
【详解】如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则，
由题可设，则，
∴，即，
∴点在上，
又，，平面的一个法向量可取，
∴
，
又，
∴，，
即的取值范围是.
故答案为：.
13．（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）利用平面可得，再利用即可；
（2）以为坐标原点，分别以，，为，，轴正方向，建立空间直角坐标系即可求出；或利用等体积法也可.
【详解】（1）证明：∵平面，平面，
∴，又，
，平面，平面，
∴平面，
又平面．
∴．
（2）解：法一：如图，
以为坐标原点，分别以，，为，，轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，
∴，，，
设为平面的法向量，
则，即，
令，则，
设直线与平面所成角为，
则．
法二：如图，
在中，由得，
在中，由得，
在中，由得．
在中，由得，
在中，由，
得，
，
设点到平面的距离为，
由，
得，
即，
设直线与平面所成的角为，
则．
14．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
【分析】以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系.
（Ⅰ）计算出向量和的坐标，得出，即可证明出；
（Ⅱ）可知平面的一个法向量为，计算出平面的一个法向量为，利用空间向量法计算出二面角的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果；
（Ⅲ）利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.
【详解】依题意，以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），
可得、、、、
、、、、.
（Ⅰ）依题意，，，
从而，所以；
（Ⅱ）依题意，是平面的一个法向量，
，．
设为平面的法向量，
则，即，
不妨设，可得．
，
．
所以，二面角的正弦值为；
（Ⅲ）依题意，．
由（Ⅱ）知为平面的一个法向量，于是．
所以，直线与平面所成角的正弦值为.
【点睛】本题考查利用空间向量法证明线线垂直，求二面角和线面角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中档题.
15．（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）以为原点，以，，所在的直线分别为，，轴，求出平面的法向量，通过数量积推出，得到平面．
（2）通过直线上任一点到平面的距离都相等，，设直线到平面的距离为，利用空间向量的数量积转化求解即可．
【详解】（1）证明：以为原点，以，，所在的直线分别为，，轴，
如图建立空间直角坐标系，，
，
设平面的法向量为，
则，，，
令，则，
，
所以，
因为平面，所以平面．
（2）解：因为平面，所以直线上任一点到平面的距离都相等，，
设直线到平面的距离为，则，
所以直线到平面的距离为．
【点睛】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，向量法的应用，直线到平面距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题．
16．（1）；（2）.
【分析】（1）以、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，，利用空间向量法结合异面直线、所成角的余弦值为可得出关于的方程，解出的值，即可求得的长；
（2）求出平面和平面的法向量，利用空间向量法可求得二面角的平面角的余弦值.
【详解】（1）因为、、两两垂直，所以以、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则由，，
得，，，，.
设，其中，
所以，
因为直线、所成角的余弦值为，
所以，
解得，所以，故的长为；
（2）由（1）知，，，.
设平面的一个法向量为.由，得.
取，则，所以平面的一个法向量为.
设平面的一个法向量为，由，得，
取，则，，所以平面的一个法向量为.
因为，
由图形可知，二面角的平面角为钝角，其余弦值为.
【点睛】本题考查利用异面直线所成角的余弦值求线段长度，同时也考查了利用空间向量法求二面角的余弦值，考查计算能力，属于中等题.
答案第1页，共2页
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