高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册《行天下周测卷》3.2双曲线（含解析）
文档属性
| 名称 | 高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册《行天下周测卷》3.2双曲线（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 656.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-23 08:06:41 | ||
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文档简介
一、单选题
1．不垂直于坐标轴的直线与双曲线的渐近线交于，两点，若线段的中点为，和的斜率满足，则顶点在坐标原点，焦点在轴上，且经过点的抛物线方程是（ ）
A． B． C． D．
2．椭圆的左、右焦点分别为，过焦点的倾斜角为直线交椭圆于两点，弦长，若三角形的内切圆的面积为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，分别是双曲线C：的左，右焦点，过的直线与双曲线的左，右两支分别交于点，点在轴上，满足，且经过的内切圆圆心，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
4．已知，是双曲线的两条渐近线，直线经过的右焦点，且，交于点，交于点，若，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．已知椭圆，过M的右焦点作直线交椭圆于A，B两点，若AB中点坐标为，则椭圆M的方程为（ ）
A． B． C． D．
6．在平面直角坐标系中，已知△ABC顶点和，顶点B在椭圆上，则的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．不确定
二、多选题
7．已知是椭圆的右焦点，椭圆上至少有21个不同的点，组成公差为的等差数列，则（ ）
A．该椭圆的焦距为6 B．的最小值为2
C．的值可以为 D．的值可以为
8．已知曲线.（ ）
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m=n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为
D．若m=0，n>0，则C是两条直线
三、填空题
9．若△ABC的三边长a b c满足， ，则顶点B的轨迹方程是___________.
10．与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线的标准方程为______．
11．AB是平面上长度为4的一条线段，P是平面上一个动点，且，M是AB的中点，则的取值范围是______．
12．已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为e，若双曲线上点P，使，则的值为_______．
四、解答题
13．双曲线， 为其左右焦点，是以为圆心且过原点的圆.
(1)求的轨迹方程；
(2)动点在上运动，满足，求的轨迹方程.
14．年月日，四川汶川发生里氏级地震，为了援救灾民，某部队在如图所示的处空降了一批救灾药品，要把这批药品沿道路、送到矩形灾民区中去，若，，，，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路送药较近，而另一侧的点沿道路送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线？并求出其方程.
15．已知双曲线的离心率为为2，且过点.
(1)求双曲线的方程；
(2)设点分别为双曲线的右顶点 左焦点，点为上位于第二象限的动点，是否存在常数，使得？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由.
16．双曲线C：（a＞0，b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上，当BF⊥AF时，|AF|＝|BF|.
(1)求C的离心率；
(2)若B在第一象限，证明：∠BFA＝2∠BAF.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】运用点差法得到得解
【详解】设，则，
相减得，，所以，
即，所以，．由题意设抛物线方程是，则．于是所求抛物线方程是．
故选：C．
2．C
【分析】由题可得直线AB的方程，从而可表示出三角形面积，又利用焦点三角形及三角形内切圆的性质，也可表示出三角形面积，则椭圆的离心率即求.
【详解】由题知直线AB的方程为，即，
∴到直线AB的距离，
又三角形的内切圆的面积为，
则半径为1，
由等面积可得，
.
故选：C.
3．C
【分析】根据双曲线的定义先推出为正三角形，然后根据余弦定理解决.
【详解】，∴，∴，
∵经过内切圆圆心，∴为的角平分线，
∴．∴，∴，
，，
∴，于是，
∴为正三角形，．
中，由余弦定理，∴.
故选：C.
4．B
【分析】首先根据直线平行，可设直线的方程，通过联立得点，的横坐标，求出的表达式，从而可解不等式组得到的取值范围.
【详解】由题意可知，，不妨记，，
由且经过的右焦点可得的方程为，
与的方程联立可解得，
与的方程联立得，
所以，
解得，.
故选：B.
【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a或a2转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）.
5．D
【解析】设以及中点坐标，利用“点差法”得到之间的关系，从而得到之间的关系，结合即可求解出椭圆的方程.
【详解】设，的中点，所以，
又，所以，即，
而，，所以，又，
∴，即椭圆方程为：.
故选：D.
【点睛】本题考查了已知焦点、弦中点求椭圆方程，应用了韦达定理、中点坐标公式，属于基础题.
6．C
【分析】由正弦定理的边角关系及椭圆的定义、性质，即可求目标式的值.
【详解】由题设知：是椭圆的两个焦点，又B在椭圆上，
所以，
而，，故.
故选：C
7．ABC
【分析】先由椭圆，得到焦距，判断A是否正确，椭圆上的动点，分析的取值范围，判断BCD是否正确，得到答案.
【详解】由椭圆，得，，，故A正确；
椭圆上的动点，，即有，
故的最小值为2，B正确；
设，，，…组成的等差数列为，公差，则，
又，所以，所以，所以的最大值是，
故C正确，D错误.
故选：ABC.
【点睛】本题以椭圆知识为载体，考查了椭圆的几何性质，等差数列的相关知识，属于中档题.
8．ACD
【分析】结合选项进行逐项分析求解，时表示椭圆，时表示圆，时表示双曲线，时表示两条直线.
【详解】对于A，若，则可化为，
因为，所以，
即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；
对于B，若，则可化为，
此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；
对于C，若，则可化为，
此时曲线表示双曲线，
由可得，故C正确；
对于D，若，则可化为，
，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；
故选：ACD.
【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
9．
【分析】根据椭圆定义即得轨迹方程，注意限定轨迹的取值范围.
【详解】设点B的坐标为，
∵，即，又 ，
∴，
根据椭圆的定义可知，点B的轨迹是以 为焦点，以4为长轴长的椭圆，
故顶点B的轨迹方程为，又B为三角形的顶点，
故所求的轨迹方程为.
故答案为：.
10．
【分析】由已知双曲线可得焦点坐标，设所求双曲线方程为，，根据、求得和的值即可求解.
【详解】由双曲线可得焦点坐标为，
设所求双曲线的方程为，，
由题意可得：，解得，
所以双曲线的标准方程为：，
故答案为：.
11．
【分析】根据椭圆的定义写出P的轨迹方程，结合椭圆的性质判断的范围.
【详解】由题设，，则P的轨迹是以为焦点，长轴长为6的椭圆，
若，，则P的轨迹方程为.
所以的范围为，即.
故答案为：
12．2
【分析】由双曲线方程可求得，再由结合正弦定理得，而，所以可求得，再利用余弦定理求出，从而可得的值
【详解】由双曲线方程得，由双曲线的定义得，
因为，所以由正弦定理得，可解得，
又，根据余弦定理可得，
所以．
故答案为：2
【点睛】此题考查双曲线的定义和性质的应用，考查正余弦定理的应用，考查转化能力，属于中档题
13．(1)
(2)
【分析】（1）由双曲线的右焦点作为圆心，以半焦距为半径的圆，可以直接写出圆的标准方程即可.
（2）求解轨迹方程求谁设谁，设，用点M的坐标表示点P的坐标，带入方程即可得到答案.
(1)
由已知得，，故，所以 ，
因为是以为圆心且过原点的圆，故圆心为，半径为4，
所以的轨迹方程为；
(2)
设动点，，
则，，
由，得，，，
即，解得，
因为点在上，所以，
代入得，
化简得.
14．以、为焦点的双曲线的右支的一部分，(，).
【解析】可由双曲线的定义判断界线是双曲线的一部分，建立坐标系即可求出方程.
【详解】矩形灾民区中的点可分为三类，第一类沿道路送药较近，
第二类沿道路送药较近，第三类沿道路和送药一样远近，
依题意，界线是第三类点的轨迹，
设为界线上的任一点，则，，
∴界线是以、为焦点的双曲线的右支的一部分，
如图，以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，
设所求双曲线方程的标准形式为(，)，
∵，，∴，
，故双曲线的标准方程为，
注意到点的坐标为，故的最大值为，此时，
故界线的曲线方程为(，).
【点睛】关键点睛：本题考查双曲线方程的求解，解题的关键是得出，能根据双曲线定义判断界线是双曲线的一部分.
15．(1)
(2)存在，
【分析】（1）结合离心率和双曲线关系式，再将点代入双曲线方程可直接求解；
（2）设，先讨论直线的斜率不存在时，和大小，求得，再由一般情况结合斜率表示出，猜想，化简即可求证.
（1）
离心率，∴，，所以双曲线的方程，
把点代入双曲线方程得，解得，
故双曲线的方程为；
（2）
设，，其中，
由（1）知，
①当直线的斜率不存在时，，，
∴，此时；
②当直线的斜率存在时，
由于双曲线渐近线方程为，所以，
由得，
又，，
∴，
∴，
又，所以，
综上，存在常数，满足.
16．(1)2；
(2)证明见解析.
【分析】（1）运用代入法，结合双曲线的离心率公式进行求解即可；
（2）根据直线斜率公式，结合二倍角的正切公式进行证明即可.
（1）
设双曲线的离心率为e，焦距为2c，，
在中令x＝c，则，解得，若|AF|＝|BF|，则，
所以a2＋ac＝b2＝c2－a2，所以e2－e－2＝0，解得e＝2或（舍去），所以e＝2；
（2）
因为e＝2，所以，
所以，，设B（x，y）（x＞0，y＞0），
kAB＝，kBF＝，设∠BAF＝θ，则tan θ＝，
tan2θ＝＝＝＝＝＝＝＝－kBF＝tan∠BFA，所以∠BFA＝2∠BAF.
【点睛】关键点睛：利用二倍角的正切公式是解题的关键.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
1．不垂直于坐标轴的直线与双曲线的渐近线交于，两点，若线段的中点为，和的斜率满足，则顶点在坐标原点，焦点在轴上，且经过点的抛物线方程是（ ）
A． B． C． D．
2．椭圆的左、右焦点分别为，过焦点的倾斜角为直线交椭圆于两点，弦长，若三角形的内切圆的面积为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，分别是双曲线C：的左，右焦点，过的直线与双曲线的左，右两支分别交于点，点在轴上，满足，且经过的内切圆圆心，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
4．已知，是双曲线的两条渐近线，直线经过的右焦点，且，交于点，交于点，若，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．已知椭圆，过M的右焦点作直线交椭圆于A，B两点，若AB中点坐标为，则椭圆M的方程为（ ）
A． B． C． D．
6．在平面直角坐标系中，已知△ABC顶点和，顶点B在椭圆上，则的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．不确定
二、多选题
7．已知是椭圆的右焦点，椭圆上至少有21个不同的点，组成公差为的等差数列，则（ ）
A．该椭圆的焦距为6 B．的最小值为2
C．的值可以为 D．的值可以为
8．已知曲线.（ ）
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m=n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为
D．若m=0，n>0，则C是两条直线
三、填空题
9．若△ABC的三边长a b c满足， ，则顶点B的轨迹方程是___________.
10．与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线的标准方程为______．
11．AB是平面上长度为4的一条线段，P是平面上一个动点，且，M是AB的中点，则的取值范围是______．
12．已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为e，若双曲线上点P，使，则的值为_______．
四、解答题
13．双曲线， 为其左右焦点，是以为圆心且过原点的圆.
(1)求的轨迹方程；
(2)动点在上运动，满足，求的轨迹方程.
14．年月日，四川汶川发生里氏级地震，为了援救灾民，某部队在如图所示的处空降了一批救灾药品，要把这批药品沿道路、送到矩形灾民区中去，若，，，，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路送药较近，而另一侧的点沿道路送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线？并求出其方程.
15．已知双曲线的离心率为为2，且过点.
(1)求双曲线的方程；
(2)设点分别为双曲线的右顶点 左焦点，点为上位于第二象限的动点，是否存在常数，使得？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由.
16．双曲线C：（a＞0，b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上，当BF⊥AF时，|AF|＝|BF|.
(1)求C的离心率；
(2)若B在第一象限，证明：∠BFA＝2∠BAF.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】运用点差法得到得解
【详解】设，则，
相减得，，所以，
即，所以，．由题意设抛物线方程是，则．于是所求抛物线方程是．
故选：C．
2．C
【分析】由题可得直线AB的方程，从而可表示出三角形面积，又利用焦点三角形及三角形内切圆的性质，也可表示出三角形面积，则椭圆的离心率即求.
【详解】由题知直线AB的方程为，即，
∴到直线AB的距离，
又三角形的内切圆的面积为，
则半径为1，
由等面积可得，
.
故选：C.
3．C
【分析】根据双曲线的定义先推出为正三角形，然后根据余弦定理解决.
【详解】，∴，∴，
∵经过内切圆圆心，∴为的角平分线，
∴．∴，∴，
，，
∴，于是，
∴为正三角形，．
中，由余弦定理，∴.
故选：C.
4．B
【分析】首先根据直线平行，可设直线的方程，通过联立得点，的横坐标，求出的表达式，从而可解不等式组得到的取值范围.
【详解】由题意可知，，不妨记，，
由且经过的右焦点可得的方程为，
与的方程联立可解得，
与的方程联立得，
所以，
解得，.
故选：B.
【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a或a2转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）.
5．D
【解析】设以及中点坐标，利用“点差法”得到之间的关系，从而得到之间的关系，结合即可求解出椭圆的方程.
【详解】设，的中点，所以，
又，所以，即，
而，，所以，又，
∴，即椭圆方程为：.
故选：D.
【点睛】本题考查了已知焦点、弦中点求椭圆方程，应用了韦达定理、中点坐标公式，属于基础题.
6．C
【分析】由正弦定理的边角关系及椭圆的定义、性质，即可求目标式的值.
【详解】由题设知：是椭圆的两个焦点，又B在椭圆上，
所以，
而，，故.
故选：C
7．ABC
【分析】先由椭圆，得到焦距，判断A是否正确，椭圆上的动点，分析的取值范围，判断BCD是否正确，得到答案.
【详解】由椭圆，得，，，故A正确；
椭圆上的动点，，即有，
故的最小值为2，B正确；
设，，，…组成的等差数列为，公差，则，
又，所以，所以，所以的最大值是，
故C正确，D错误.
故选：ABC.
【点睛】本题以椭圆知识为载体，考查了椭圆的几何性质，等差数列的相关知识，属于中档题.
8．ACD
【分析】结合选项进行逐项分析求解，时表示椭圆，时表示圆，时表示双曲线，时表示两条直线.
【详解】对于A，若，则可化为，
因为，所以，
即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；
对于B，若，则可化为，
此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；
对于C，若，则可化为，
此时曲线表示双曲线，
由可得，故C正确；
对于D，若，则可化为，
，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；
故选：ACD.
【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
9．
【分析】根据椭圆定义即得轨迹方程，注意限定轨迹的取值范围.
【详解】设点B的坐标为，
∵，即，又 ，
∴，
根据椭圆的定义可知，点B的轨迹是以 为焦点，以4为长轴长的椭圆，
故顶点B的轨迹方程为，又B为三角形的顶点，
故所求的轨迹方程为.
故答案为：.
10．
【分析】由已知双曲线可得焦点坐标，设所求双曲线方程为，，根据、求得和的值即可求解.
【详解】由双曲线可得焦点坐标为，
设所求双曲线的方程为，，
由题意可得：，解得，
所以双曲线的标准方程为：，
故答案为：.
11．
【分析】根据椭圆的定义写出P的轨迹方程，结合椭圆的性质判断的范围.
【详解】由题设，，则P的轨迹是以为焦点，长轴长为6的椭圆，
若，，则P的轨迹方程为.
所以的范围为，即.
故答案为：
12．2
【分析】由双曲线方程可求得，再由结合正弦定理得，而，所以可求得，再利用余弦定理求出，从而可得的值
【详解】由双曲线方程得，由双曲线的定义得，
因为，所以由正弦定理得，可解得，
又，根据余弦定理可得，
所以．
故答案为：2
【点睛】此题考查双曲线的定义和性质的应用，考查正余弦定理的应用，考查转化能力，属于中档题
13．(1)
(2)
【分析】（1）由双曲线的右焦点作为圆心，以半焦距为半径的圆，可以直接写出圆的标准方程即可.
（2）求解轨迹方程求谁设谁，设，用点M的坐标表示点P的坐标，带入方程即可得到答案.
(1)
由已知得，，故，所以 ，
因为是以为圆心且过原点的圆，故圆心为，半径为4，
所以的轨迹方程为；
(2)
设动点，，
则，，
由，得，，，
即，解得，
因为点在上，所以，
代入得，
化简得.
14．以、为焦点的双曲线的右支的一部分，(，).
【解析】可由双曲线的定义判断界线是双曲线的一部分，建立坐标系即可求出方程.
【详解】矩形灾民区中的点可分为三类，第一类沿道路送药较近，
第二类沿道路送药较近，第三类沿道路和送药一样远近，
依题意，界线是第三类点的轨迹，
设为界线上的任一点，则，，
∴界线是以、为焦点的双曲线的右支的一部分，
如图，以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，
设所求双曲线方程的标准形式为(，)，
∵，，∴，
，故双曲线的标准方程为，
注意到点的坐标为，故的最大值为，此时，
故界线的曲线方程为(，).
【点睛】关键点睛：本题考查双曲线方程的求解，解题的关键是得出，能根据双曲线定义判断界线是双曲线的一部分.
15．(1)
(2)存在，
【分析】（1）结合离心率和双曲线关系式，再将点代入双曲线方程可直接求解；
（2）设，先讨论直线的斜率不存在时，和大小，求得，再由一般情况结合斜率表示出，猜想，化简即可求证.
（1）
离心率，∴，，所以双曲线的方程，
把点代入双曲线方程得，解得，
故双曲线的方程为；
（2）
设，，其中，
由（1）知，
①当直线的斜率不存在时，，，
∴，此时；
②当直线的斜率存在时，
由于双曲线渐近线方程为，所以，
由得，
又，，
∴，
∴，
又，所以，
综上，存在常数，满足.
16．(1)2；
(2)证明见解析.
【分析】（1）运用代入法，结合双曲线的离心率公式进行求解即可；
（2）根据直线斜率公式，结合二倍角的正切公式进行证明即可.
（1）
设双曲线的离心率为e，焦距为2c，，
在中令x＝c，则，解得，若|AF|＝|BF|，则，
所以a2＋ac＝b2＝c2－a2，所以e2－e－2＝0，解得e＝2或（舍去），所以e＝2；
（2）
因为e＝2，所以，
所以，，设B（x，y）（x＞0，y＞0），
kAB＝，kBF＝，设∠BAF＝θ，则tan θ＝，
tan2θ＝＝＝＝＝＝＝＝－kBF＝tan∠BFA，所以∠BFA＝2∠BAF.
【点睛】关键点睛：利用二倍角的正切公式是解题的关键.
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