高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册《行天下周测卷》3.1椭圆（含解析）

一、单选题
1．已知平行于轴的一条直线与椭圆相交于，两点，，，（为坐标原点），则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．已知椭圆的左焦点是F1，右焦点是F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|∶|PF2|＝（ ）
A．3∶5 B．3∶4 C．5∶3 D．4∶3
3．已知F是椭圆的一个焦点，若直线与椭圆相交于A，B两点，且，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．在平面直角坐标系中，若△ABC的顶点和，顶点B在椭圆上，则的值是（ ）
A． B．2 C． D．4
5．已知椭圆的左，右焦点是，，是椭圆上一点，若，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．在椭圆上有两个动点，为定点，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
二、多选题
7．已知椭圆的左、右焦点分别为，且，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）
A．的最小值为
B．椭圆的短轴长可能为2
C．椭圆的离心率的取值范围为
D．若，则椭圆的长半轴长为
8．已知，是椭圆的两个焦点，过的斜率存在且不为0的直线l与椭圆C交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆C的离心率为 B．存在点A使得
C．若，则 D．OP与AB的斜率满足
三、填空题
9．斜率为的直线与椭圆（）相交于，两点，线段的中点坐标为，则椭圆的离心率等于______.
10．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一个动点，为圆上一个动点，则的最大值为__________
11．已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．
12．过椭圆上一动点P分别向圆和圆作切线，切点分别为M，N，则的最小值为________．
四、解答题
13．已知点在椭圆上，椭圆C的左右焦点分别为，，的面积为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点A，B在椭圆C上，直线PA，PB均与圆相切，记直线PA，PB的斜率分别为，.
（i）证明：；
（ii）证明：直线AB过定点.
14．设圆的圆心为M，直线l过点且与x轴不重合，l交圆M于A，B两点，过点N作AM的平行线交BM于点C.
（1）证明|CM|+|CN|为定值，并写出点C的轨迹方程；
（2）设点C的轨迹为曲线E，直线l1：y=kx与曲线E交于P，Q两点，点R为椭圆C上一点，若△PQR是以PQ为底边的等腰三角形，求△PQR面积的最小值.
15．已知椭圆：（）的左右焦点分别为，，分别为左右顶点，直线：与椭圆交于两点，当时，是椭圆的上顶点，且的周长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线交于点，证明：点在定直线上.
16．点是椭圆上的动点，为定点，求线段的中点的轨迹方程.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】设点位于第一象限，根据求出点坐标，进而可得，再根据可得为等边三角形，可得，再由离心率公式即可求解.
【详解】因为直线平行于轴，且，
设点位于第一象限，将代入可得，
所以点坐标为，
因为，根据对称性可得为等边三角形，
所以即，整理可得：，
所以，
故选：D.
2．C
【分析】根据线段PF1的中点M在y轴上，推出轴，由此可设P(2，y)，代入椭圆方程求出，再根据两点间的距离公式求出和可得解.
【详解】由＝1可知，，所以，
所以F1(－2，0)，F2(2，0)，
∵线段PF1的中点M在y轴上，且原点为线段的中点，
所以，所以轴，
∴可设P(2，y)，
把P(2，y)代入椭圆，得.
∴|PF1|＝，|PF2|＝.
∴.
故选：C
【点睛】关键点点睛：根据线段PF1的中点M在y轴上，推出轴是解题关键.
3．C
【分析】根据已知结合椭圆对称性有为平行四边形且，由余弦定理可得，应用基本不等式有，即可求椭圆离心率的范围.
【详解】连接A，B与左右焦点F，的连线，由，
由椭圆及直线的对称性知：四边形为平行四边形，且，
在△中，，
∴，可得，即，则，
∴椭圆的离心率，
故选：C．
4．A
【分析】由题设易知为椭圆的两个焦点，结合椭圆定义及焦点三角形性质有，，最后应用正弦定理的边角关系即可求目标式的值.
【详解】由题设知：为椭圆的两个焦点，而B在椭圆上，
所以，，
由正弦定理边角关系知：.
故选：A
5．C
【解析】根据椭圆定义及求出， 由即可求解.
【详解】由椭圆的定义知：，
因为，即，
又因为，所以，
所以有：，
，
故椭圆的离心率的取值范围是．
故选：C
【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆的简单几何性质，属于中档题.
6．C
【分析】由题意得，然后转化为椭圆上的点P到点的距离的问题处理，根据二次函数的最值可得所求．
【详解】解：由题意得．
设椭圆上一点，则，
，又，
当时，取得最小值．
故选：C．
7．AC
【分析】A.将，利用椭圆的定义转化为求解；
B.假设椭圆的短轴长为2，则，与点在椭圆的内部验证；
C.根据点在椭圆内部，得到，又，解得，再由求解；
D.根据，得到为线段的中点，求得坐标，代入椭圆方程求解.
【详解】解：对于A：因为，所以，所以，当，三点共线时，取等号，故A正确；
对于B：若椭圆的短轴长为2，则，所以椭圆方程为，，则点在椭圆外，故B错误；
对于C：因为点在椭圆内部，所以，又，所以，所以，即，解得，所以，所以，所以椭圆的离心率的取值范围为，故C正确；
对于D：若，则为线段的中点，所以，所以，又，即，解得，所以，所以椭圆的长半轴长为，故D不正确.
故选：AC
8．BC
【分析】对于A，由椭圆的方程求出，从而可求出，进而可求出离心率；对于B，设，表示出，由求出的值，则说明；对于C，利用椭圆的定义判断；对于D，设直线为，将直线方程与椭圆方程联方程组，消去，利用根与系数的关系结合中点坐标公式表示出点的坐标，从而可求出直线的斜率，进而可求得的值，进行判断
【详解】解：对于A，由可得，则，所以离心率为，所以A错误；
对于B，令,设，则，，若，则，解得，所以存在点A使得，所以B正确；
对于C，因为，,，所以，所以C正确；
对于D，设直线为，设，由，得，所以，，所以，所以，所以，所以D错误，
故选：BC
9．
【分析】利用点差法，结合是线段的中点，斜率为，即可求出椭圆的离心率．
【详解】解：设，，，，
则①，②，
是线段的中点，
，，
直线的方程是，
，
①②两式相减可得：，
，
，
，
，
故答案为：.
10．12
【分析】根据椭圆定义及圆心位置、半径，应用分析法要使最大只需让最大即可，由数形结合的方法分析知共线时有最大值，进而求目标式的最大值.
【详解】由题意得：，根据椭圆的定义得，
∴，
圆变形得，即圆心，半径，
要使最大，即最大，又，
∴使最大即可.
如图所示：
∴当共线时，有最大值为，
∴的最大值为，
∴的最大值，即的最大值为11+1=12，
故答案为：12
11．13
【分析】利用离心率得到椭圆的方程为，根据离心率得到直线的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线的斜率，写出直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，利用弦长公式求得，得，根据对称性将的周长转化为的周长，利用椭圆的定义得到周长为.
【详解】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，
判别式，
∴，
∴ ， 得，
∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为.
故答案为：13.
12．
【分析】易知两圆的圆心为椭圆的两焦点，由勾股定理可得，，由椭圆的定义可得，设，利用二次函数的基本性质可求得的最小值.
【详解】，，，易知、为椭圆的两个焦点，
，
根据椭圆定义，
设，则，即，
则，
当时，取到最小值．
故答案为：
13．(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【分析】（1）利用，结合三角形的面积公式，求出，即可求椭圆的方程.
(2) （i）设直线的方程为，直线的方程为，由题意可知，可得是方程的两根，利用韦达定理即可证明.
（ii）设直线的方程为，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合，可得与的关系式，即可证明直线过定点.
（1）
解：由题知，，的面积等于，
所以，解得，，所以，椭圆C的方程为.
（2）
（i）设直线PA的方程为，
直线PB的方程为，由题知，
所以，所以，
同理，，
所以，是方程的两根，所以.
（ii）设，，设直线AB的方程为，
将代入得，
所以，①
，②
所以，③
，④
又因为，⑤
将①②③④代入⑤，化简得，
所以，所以，
若，则直线，此时AB过点P，舍去.
若，则直线，此时AB恒过点，
所以直线AB过定点.
14．（1）证明见解析，点的轨迹方程为()；（2）.
【解析】（1）根据几何性质，求得，得出C的轨迹为椭圆，根据椭圆的定义求出椭圆的方程；
（2）将曲线E和直线l1：y=kx联立解方程，求出，同理，然后根据面积公式结合基本不等式求出面积的最小值即可
【详解】解：（1）圆可化为
所以圆心，半径
又因为过点作的平行线交于点，所以
又因为，所以，
所以
所以
所以点的轨迹为椭圆，由椭圆定义可得点的轨迹方程为()
（2）由（1）可知点的轨迹方程为：()，
直线与曲线交于两点，可知，设
联立消得解得
是以为底的等腰三角形则
同理：
方法1：
当且仅当，即时取等号
方法2：
当且仅当，即时取等号
【点睛】此题考查椭圆的定义和性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积问题，考查基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题
15．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据已知确定基本量即可.
（2）代入消元，运用韦达定理整体思想，求出的横坐标为定值得证.
（1）
当时，直线为，
令，得.即椭圆的上顶点为，所以，
又的周长为，即，又，解得，
所以椭圆的方程为 .
（2）
设，由，消去得，所以
，
又，所以直线的方程为，
直线的方程为，
联立直线、的方程得
.
由得代入上式，得
，
解得
所以点在定直线上.
16．
【分析】设动点M的坐标为（x，y），设B点坐标为（x0，y0），再利用相关点代入法求轨迹方程.
【详解】设动点M的坐标为（x，y），设B点坐标为（x0，y0），
则由M为线段AB中点，可得
，即点B坐标可表示为（2x－2a，2y），
因为点（x0，y0）在椭圆上，
，
从而有
整理得动点的轨迹方程为.
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