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第一章 有理数
人教版七年级(上)数学
专题讲解 绝对值的化简
复习回顾
1.下列各式不成立的是( )
A.|-3|＝3 B.-|3|＝-3 C.|-3|＝|3| D.-|-3|＝3
2.若x＝－1,则|x－3|等于( )
A.2 B.4 C.±2 D.2或4
3.下列各对数中,互为相反数的是( )
A.|-2|和|2| B.-(-5)和-|-5| C.-(-1)和|-1| D.|m|和|-m|
4.计算:(1) =___;(2)|+(-2)|=___;(3)-|(-2)×(-3)|=___.
二、含数字的绝对值化简
D
B
B
2
-6
二、含数字的绝对值化简
5.若|-x|＝ ,则x的值为( )
A. B. C. D.±2
6.若|m－n|＝n－m,且|m|＝4,|n|＝3,则|m＋n|＝______．
7.(1)用“＞”“＜”或“＝”填空：
|(-3)+(-5)|____|-3|+|-5|,|6+(-2)|____|6|+|-2|,
|(-8)+5|___|-8|+|5|,|(-7)+0|___|-7|+|0|,|2+3|___|2|+|3|
(2)归纳猜想：|a＋b|____|a|＋|b|；
(3)当a,b取什么数时|a＋b|＝|a|＋|b|
C
7或1
＝
＜
＜
＝
＝
≤
解：当ab≥0,即a,b同号或其中有一个为0时,|a＋b|＝|a|＋|b|
三、含字母的绝对值化简
1.若m是有理数,则下列说法正确的是( )
A.|m|一定是正数 B.-m一定是负数
C.-|m|一定是负数 D.|m|＋1一定是正数
变式：下列判断正确的是( )
①若a=b，则|a|=|b|；②若a＋b=0，则|a|=|b|；③若|a|=|b|，则a=b；④若|a|＝|b|，则a=b或a=-b.
A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④
D
C
三、含字母的绝对值化简
2. 已知a＜0,ab＞0,bc＜0,填空：
(1)|a|＝______，|b|＝______，|c|＝______；
(2)|a|－|a＋b|＋|b|＋|2c|＝____．
变式： 已知 ＝1, ＝－1,且|a|＝|b|,则a＋b＝( )
A.2 B.0 C.2a D.2b
B
－a
－b
c
2c
三、含字母的绝对值化简
3. 有理数a在数轴上的位置如图,化简：|a-1|+|a-2|=( )
A.2a-3 B.1 C.3-2a D.-1
4. 有理数a,b在数轴上的位置如图,则下列选项正确的是( )
A.|a+b|＝a+b B.|a-1|＝a-1
C.|1-b|＝1-b D.|a-b|＝a-b
5. 有理数a,b,c在数轴上的位置如图,且|a|=|c|.
(1)填空：a+c__0,a+b__0,c-b___0；
(2)化简：|a+c|+|a+b|-|c-b|.
C
B
＝
＜
＞
解：原式=|0|+[-(a+b)]-(c-b)
=0-a-b-c+b=-a-c
1.已知|a＋3|＋|b－2|＝0.
(1)求a，b的值；(2)求|a－b|的值．
变式：若|a-2|+|b-3|+|c-5|=0，求|a+b-c|.
四、绝对值非负性的运用
五、总结提升绝对值习题课 导学案
学习目标：1.熟练掌握绝对值的代数意义和几何意义，并能应用其解决问题。
2.掌握并理解绝对值的非负性, 并能应用其解决问题。
3.理解绝对值与数轴的联系，培养数形结合和分类讨论的数学思想。
一、回顾概念
1．绝对值的定义：
一般地，__________________________叫做数a的绝对值，记作│a│．
2．绝对值的意义：
一个正数的绝对值是它____；一个负数的绝对值是它的_____；0的绝对值是___．
即：①如果a＞0，那么│a│＝_____；
②如果a＝0，那么│a│＝____；
③如果a＜0，那么│a│＝____．
3．不论有理数a取何值，它的绝对值总是正数或0（非负数），即对任意有理数a，总有|a___0．
4．互为相反数的两个数的_______相等．
二、能力提升
1.下列各式不成立的是( )
A.|-3|＝3 B.-|3|＝-3 C.|-3|＝|3| D.-|-3|＝3
2.若x＝－1,则|x－3|等于( )
A.2 B.4 C.±2 D.2或4
3.下列各对数中,互为相反数的是( )
A.|-2|和|2| B.-(-5)和-|-5| C.-(-1)和|-1| D.|m|和|-m|
4.计算:(1) =___; (2)|+(-2)|=___; (3)-|(-2)×(-3)|=___.
5.若|-x|＝-2,则x的值为( )
A.2 B.-2 C. D.±2
6.若|m－n|＝n－m,且|m|＝4,|n|＝3,则|m＋n|＝______．
7.(1)用“＞”“＜”或“＝”填空：
|(-3)+(-5)|____|-3|+|-5|,|6+(-2)|____|6|+|-2|，(-8)+5|___|-8|+|5|,|(-7)+0|___|-7|+|0|,|2+3|___|2|+|3|
(2)归纳猜想：|a＋b|____|a|＋|b|；
(3)当a,b取什么数时|a＋b|＝|a|＋|b|
变式1：下列判断正确的是( )
①若a=b，则|a|=|b|；②若a＋b=0，则|a|=|b|；③若|a|=|b|，则a=b；④若|a|＝|b|，则a=b或a=-b.
A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④
变式2： 已知, ,且|a|＝|b|,则a＋b＝( )
A.2 B.0 C.2a D.2b
变式3：若|a-2|+|b-3|+|c-5|=0，求|a+b-c|.
三、总结归纳
四、自我评价
本节课你的收获是什么？
五、课后练习
见精准作业单绝对值习题课 教学设计
教学目标
1.熟练掌握绝对值的代数意义和几何意义，并能应用其解决问题。
2.掌握并理解绝对值的非负性，并能应用其解决问题。
3.理解绝对值与数轴的联系，培养数形结合和分类讨论的数学思想。
教学重点
理解与掌握绝对值的代数意义、几何意义及其非负性。
教学难点
含字母的绝对值化简。
教学过程
一、复习旧知
1．绝对值的定义：
一般地，__________________________叫做数a的绝对值，记作│a│．
2．绝对值的意义：
一个正数的绝对值是它____；一个负数的绝对值是它的_____；0的绝对值是___．
即：①如果a＞0，那么│a│＝_____；
②如果a＝0，那么│a│＝____；
③如果a＜0，那么│a│＝____．
3．不论有理数a取何值，它的绝对值总是正数或0（非负数），即对任意有理数a，总有|a___0．
4．互为相反数的两个数的_______相等．
二、巩固提高
含有数字的绝对值化简
1.下列各式不成立的是( )
A.|-3|＝3 B.-|3|＝-3 C.|-3|＝|3| D.-|-3|＝3
2.若x＝－1,则|x－3|等于( )
A.2 B.4 C.±2 D.2或4
3.下列各对数中,互为相反数的是( )
A.|-2|和|2| B.-(-5)和-|-5| C.-(-1)和|-1| D.|m|和|-m|
4.计算:(1) =___; (2)|+(-2)|=___; (3)-|(-2)×(-3)|=___.
设计意图：这一系列属于基础题型，再一次复习了绝对值的定义．绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
5.若|-x|＝-2,则x的值为( )
A.2 B.-2 C. D.±2
6.若|m－n|＝n－m,且|m|＝4,|n|＝3,则|m＋n|＝______．
7.(1)用“＞”“＜”或“＝”填空：
|(-3)+(-5)|____|-3|+|-5|,|6+(-2)|____|6|+|-2|，(-8)+5|___|-8|+|5|,|(-7)+0|___|-7|+|0|,|2+3|___|2|+|3|
(2)归纳猜想：|a＋b|____|a|＋|b|；
(3)当a,b取什么数时|a＋b|＝|a|＋|b|
含有字母的绝对值的化简
1.若m是有理数,则下列说法正确的是( )
A.|m|一定是正数 B.-m一定是负数
C.-|m|一定是负数 D.|m|＋1一定是正数
变式1：下列判断正确的是( )
①若a=b，则|a|=|b|；②若a＋b=0，则|a|=|b|；③若|a|=|b|，则a=b；④若|a|＝|b|，则a=b或a=-b.
①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④
2. 已知a＜0,ab＞0,bc＜0,填空：
(1)|a|＝______，|b|＝______，|c|＝______；
(2)|a|－|a＋b|＋|b|＋|2c|＝____．
设计意图：掌握绝对值的意义是解题的基础，解答时需要注意分类讨论的思想以及整体代入的思想．
变式2： 已知, ,且|a|＝|b|,则a＋b＝( )
A.2 B.0 C.2a D.2b
3. 有理数a在数轴上的位置如图,化简：|a-1|+|a-2|=( )
A.2a-3 B.1 C.3-2a D.-1
4. 有理数a,b在数轴上的位置如图,则下列选项正确的是( )
A.|a+b|＝a+b B.|a-1|＝a-1
C.|1-b|＝1-b D.|a-b|＝a-b
5. 有理数a,b,c在数轴上的位置如图,且|a|=|c|.
(1)填空：a+c__0,a+b__0,c-b___0；
(2)化简：|a+c|+|a+b|-|c-b|.
设计意图：利用数轴表示数的意义和方法化简绝对值，解题的关键是通过数形结合．
绝对值非负性的应用
1.已知|a＋3|＋|b－2|＝0.
(1)求a，b的值；(2)求|a－b|的值．
变式3：若|a-2|+|b-3|+|c-5|=0，求|a+b-c|.
设计意图：建立模型思维，掌握解题模式，为多个非负数相加打下基础。
六、评价反思.概括总结
这节课，大家交流合作得很愉快。谈谈你有什么收获？
七、布置作业.形成技能
见精准作业布置单
第 5 页 共 5 页课前诊测
1.分别写出下列各数的绝对值．
精准作业
必做题
1. 已知a、m、n均为有理数，且满足|a+m|＝6，|n﹣a|＝3，那么|m+n|的值为 _________．
2．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2，则的值为______.
3. 有理数，，在数轴上的对应点如图所示，化简：________．
4..如图，数轴上有点a，b，c三点．
(1) 0； 0(填“<”，“>”，“=”)；
(2)化简
(3)求的值
探究题
已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图1，在数轴上点A表示的数为，点B表示的数为1，点C表示的数为3，则B，C之间的距离表示为：，A，C之间的距离表示为：．
若点P在数轴上表示的数为x，则P，A之间的距离表示为：，P，B之间的距离表示为：．
（1）如图1，
①若点P在点A左侧，化简_________；
②若点P在线段上，化简_________；
③若点P在点B右侧，化简_________；
④由图可知，的最小值是_________．
（2）请按照（1）问的方法思考：的最小值是_________．
答案解析：
课前诊断：，6.3，0，32，12，
【分析】根据绝对值的定义解答即可．
【详解】解：，
|﹣（+6.3）|＝|﹣6.3|＝6.3，
|+（﹣32）|＝|﹣32|＝32，
|0|＝0，
|12|＝12，
．
【点睛】本题考查了绝对值的定义．绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
精准作业
1. 【分析】根据绝对值的意义，求出m＝-a±6，n＝a±3，进而得到m+n＝±6±3，再分情况讨论即可求解．
【详解】解：∵|a+m|＝6，|n﹣a|＝3，
∴a+m＝±6，n-a＝±3，
∴m＝-a±6，n＝a±3，
∴m+n＝±6±3，
∴①，
②；
③，
④，
故答案为：3或9．
【点睛】本题主要考查了绝对值的相关知识，掌握绝对值的意义是解答本题的基础，解答本题需要注意分类讨论的思想以及整体代入的思想．
2. 【答案】-3或1
【分析】根据题意可得，a+b=0，cd=1，m=±2，代入求解即可．
【详解】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2，
∴a+b＝0，cd＝1，m＝±2，
∴m2﹣cd+
＝±2﹣1+0
＝-3或1
【点睛】本题考查了代数式求值，解答本题的关键是根据题意得出a+b=0，cd=1，m=±2．
3.答案：
【分析】根据数轴得出，据此将绝对值化简即可得到答案．
【详解】由图知：，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查数轴的点的大小关系与绝对值的性质．
4.答案：5．(1)；；(2)；(3)0．
【分析】（1）由，，在数轴上的位置可得、、的大小关系，再估算，的值，得出答案；
（2）结合（1），再由，，在数轴上的位置可以判断的符号，再化简绝对值即可；
（3）根据，，在数轴上的位置可得、、的正负情况，再化简绝对值．
解：根据数轴上的点得：；
，；
解：
；
解：，
．
【点睛】本题考查数轴表示数的意义和方法，化简绝对值、解题的关键是通过数形结合．
探究题：
【答案】（1）；②3；③；④3；（2）5；（3）汇合点M的位置在FG之间（包括F、G），所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值为1400m．
【分析】（1）①根据绝对值的性质进行去绝对值即可；
②根据绝对值的性质进行去绝对值即可；
③根据绝对值的性质进行去绝对值即可；
④结合数轴进行求解即可；
（2）分别讨论当P点在2的右侧即时，当P点在-3的左侧即时，当P点在-3和1之间时即时，当P点在1和2之间时即时，的值的情况，即可得到答案；
【详解】解：（1）①∵P在A点左侧时，
∴，
∴，
故答案为：；
②∵P在线段AB上，
∴，
∴，
故答案为：；
③∵点P在点B右侧，
∴，
∴，
故答案为：；
④由图可知当P在 A点左侧时，
由图可知当P在 AB之间时，
由图可知当P在 B点右侧时，
∴的最小值为3，
故答案为：3；
（2）当P点在2的右侧即时，
∴，
当P点在-3的左侧即时，
∴
当P点在-3和1之间时即时，
∴，
∴此时，
当P点在1和2之间时即时，
∴，
∴此时，
∴综上所述，的最小值为5，
故答案为：5；
