高中数学人教A版（2019）必修第一册3.2.1单调性与最大小值第2课时函数的最大小值课时作业（含答案）

第2课时　函数的最大(小)值
必备知识基础练
1．已知函数f(x)＝1＋，x∈[2，6]，则f(x)的最大值为(　　)
A． B．
C．1 D．2
2．函数y＝x2－2x＋2在区间[－2，3]上的最大值、最小值分别是(　　)
A．10，5 B．10，1
C．5，1 D．以上都不对
3．对于任意的实数x，已知函数f(x)＝，则f(x)的最大值是(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
4．函数f(x)＝－2x在区间[1，2]上的最小值是(　　)
A．－ B．
C．1 D．－1
5．函数f(x)＝(k>0)在[4，6]上的最大值为1，则k的值为(　　)
A．1　　　 B．2 C．3　　　 D．4
6．函数f(x)＝在区间[2，4]上的最小值为________．
7．函数y＝ax2－2x＋2有最小值－2，则实数a的值为________．
关键能力综合练
1．下列命题是真命题的是(　　)
A．函数f(x)＝－3x－2在[2，3]上是减函数，最大值为－11
B．函数f(x)＝－在[1，2]是增函数，最小值为－
C．函数f(x)＝－x2＋2x在区间[0，2]先减再增，最小值为0
D．函数f(x)＝x2－2x在区间[0，2]先减再增，最大值为0
2．[2022·安徽蚌埠高一期末]若函数f(x)＝－x2＋2x在定义域[0，m]上的值域为[0，1]，则(　　)
A．1≤m≤2 B．m>1
C．m＝2 D．13．已知函数f(x)＝2x－3, x∈[－1，2], 实数a，b满足f(a)＋f(b－1)＝0，则a(b－1)的最大值为(　　)
A．　　　B．6 C．2　　　 D．
4．函数f(x)＝2x＋(　　)
A．有最小值2，无最大值
B．有最大值2，无最小值
C．有最小值，有最大值2
D．无最大值，也无最小值
5．已知函数y＝x＋＋1(x<0)，则该函数(　　)
A．最小值为5 B．最大值为－3
C．没有最大值 D．没有最小值
6．(多选)已知函数f(x)＝x，g(x)＝，则下列说法正确的是(　　)
A．函数y＝＋g(x)在(0，＋∞)上单调递增
B．函数y＝－g(x)在(0，＋∞)上单调递减
C．函数y＝f(x)＋g(x)的最小值为0
D．函数y＝f(x)－g(x)的最小值为－
7．已知函数f(x)＝，若f(x)的最小值为f(1)，则实数a的取值范围是________．
8．[2022·山东济宁高一期末]已知函数f(x)＝x＋具有以下性质：如果常数k>0，那么函数f(x)在区间(0，)上单调递减，在区间[，＋∞)上单调递增，若函数y＝x＋(x≥1)的值域为[a，＋∞)，则实数a的取值范围是________．
9．已知函数f(x)＝，x∈[3，5].
(1)用定义证明函数f(x)在区间[3，5]单调递增；
(2)求函数f(x)的最大值和最小值．
10．[2022·福建泉州高一期末]已知函数f(x)＝ax2－4ax＋b(a>0)在[0，3]上的最大值为3，最小值为－1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若 x∈(1，＋∞)，使得f(x)核心素养升级练
1．已知函数f(x)＝，下列结论正确的是(　　)
A．定义域、值域分别是[－1，3]，[0，＋∞)
B．单调减区间是[1，＋∞)
C．定义域、值域分别是[－1，3]，[0，2]
D．单调减区间是(－∞，1]
2．已知函数f(x)＝x2－(a＋4)x＋a2＋a＋10(a＞0)，且f(a2＋3)＝f(3a－2)，则(n∈N*)的最小值为________．
3．[2022·河北秦皇岛高一期末]已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝x2－ax＋a－1.
(1)若g(x)的值域为[0，＋∞)，求a的值．
(2)证明：对任意x1∈[1，2]，总存在x2∈[－1，3]，使得f(x1)＝g(x2)成立．
第2课时　函数的最大(小)值
必备知识基础练
1．答案：D
解析：y＝在x∈[2，6]上单调递减，
所以f(x)＝1＋在x∈[2，6]上单调递减，
f(x)max＝f(2)＝1＋＝2.
2．答案：B
解析：因为y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，且x∈[－2，3]，
所以当x＝1时，ymin＝1，当x＝－2时，ymax＝(－2－1)2＋1＝10.
3．答案：C
解析：因为f(x)＝，函数图象如图所示：
由函数图象可知，当x＝1时，函数取得最大值f(x)max＝f(1)＝1.
4．答案：A
解析：∵函数f(x)＝－2x在[1，2]上为减函数，
∴f(x)min＝f(2)＝－2×2＝－.
5．答案：C
解析：由题意，k>0时，函数y＝在[4，6]上单调递减，
∴f(x)max＝f(4)＝＝1，∴k＝3.
6．答案：1
解析：∵函数f(x)＝＝2－，
∴函数f(x)在区间[2，4]上为单调增函数，
∴当x＝2时，函数f(x)取得最小值，为1.
7．答案：
解析：由函数y＝ax2－2x＋2有最小值－2，知a>0，且当x＝时，ymin＝－2，
则a·()2－＋2＝－2，得a＝.
关键能力综合练
1．答案：D
解析：选项A，由一次函数的单调性知，f(x)＝－3x－2在[2，3]上是减函数，最大值为f(2)＝－3×2－2＝－8，故A错误；
选项B，由反比例函数的单调性可知，f(x)＝－在[1，2]是增函数，最小值为f(1)＝－1，故B错误；
选项C，函数f(x)＝－x2＋2x为开口向下的二次函数，对称轴为x＝1，故在[0，1)单调递增，在(1，2]单调递减，先增再减，故C错误；
选项D，函数f(x)＝x2－2x为开口向上的二次函数，对称轴为x＝1，故在[0，1)单调递减，在(1，2]单调递增，先减再增，最大值为f(0)＝f(2)＝0，故D正确．
2．答案：A
解析：因为f(x)＝－x2＋2x的对称轴为x＝1，且f(1)＝1，f(0)＝f(2)＝0，
所以若函数f(x)＝－x2＋2x在定义域[0，m]上的值域为[0，1]，则1≤m≤2.
3．答案：A
解析：∵函数f(x)＝2x－3，x∈[－1，2]，实数a，b满足f(a)＋f(b－1)＝0，
∴2a－3＋2(b－1)－3＝0，可得a＋b＝4，a∈[－1，2]，b∈[0，3]，所以b＝4－a，
所以a(b－1)＝a(3－a)＝－(a－)2＋，a∈[－1，2]，所以当a＝时，[a(b－1)]max＝，即a＝、b＝时a(b－1)取得最大值.
4．答案：A
解析：函数f(x)＝2x＋的定义域为[1，＋∞)，
因为y＝2x和y＝都是增函数，所以f(x)＝2x＋在[1，＋∞)上单调递增，
所以当x＝1时，f(x)min＝f(1)＝2，无最大值．
5．答案：B
解析：双勾函数y＝x＋(x<0)在(－∞，－2)单调递增，在(－2，0)单调递减，
故函数y＝x＋＋1(x<0)在(－∞，－2)单调递增，在(－2，0)单调递减，
所以函数y＝x＋＋1(x<0)有最大值y|x＝－2＝－2＋＋1＝－3.
6．答案：BCD
解析：对于A：函数y＝＋g(x)＝＋，当x＝时，y＝2＋，当x＝1时，y＝2，所以函数y＝＋g(x)在(0，＋∞)上不单调递增，A错误．
对于B：函数y＝－g(x)＝－，因为函数y＝和函数y＝－在(0，＋∞)上单调递减，所以y＝－g(x)在(0，＋∞)上单调递减，B正确．
对于C：因为函数y＝f(x)＋g(x)＝x＋在[0，＋∞)上单调递增，且当x＝0时，y＝0，所以y＝f(x)＋g(x)的最小值为0，C正确．
对于D：函数y＝f(x)－g(x)＝x－＝(－)2－，
当＝时，函数y＝f(x)－g(x)取最小值，且最小值为－，D正确．
7．答案：[3，＋∞)
解析：函数f(x)＝，可得x>1时，f(x)＝x＋＋a≥2＋a＝4＋a，当且仅当x＝2时，f(x)取得最小值4＋a，
由x≤1时，f(x)＝(x－a)2＋12－a2，
若a≥1时，f(x)在(－∞，1]递减，可得f(x)≥f(1)＝13－2a，
由于f(x)的最小值为f(1)，所以13－2a≤4＋a，解得a≥3；
若a<1时，f(x)在x＝a处取得最小值与题意矛盾，故舍去；
综上得实数a的取值范围是[3，＋∞).
8．答案：(－∞，2]
解析：①当a－1≤0时，y＝x＋在[1，＋∞)上递增，故y|x＝1＝a，满足题设；
②当a－1>0，即a>1，
若≥1，即a≥2时，函数在[1，)上递减，在(，＋∞)上递增，故y|x＝＝2＝a，可得a＝2；
若<1，即1综上，a∈(－∞，2].
9．解析：(1)任取x1，x2∈[3，5]且x1f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝
＝.
∵x1，x2∈[3，5]且x10，x2＋2>0.
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴函数f(x)＝在[3，5]上为增函数．
(2)由(1)知，函数f(x)在区间[3，5]单调递增，
所以当x＝3时，函数f(x)取得最小值，为f(3)＝；
当x＝5时，函数f(x)取得最大值，为f(5)＝.
10．解析：(1)因为f(x)的开口向上，对称轴为x＝2，
所以在区间[0，3]上有：f(x)min＝f(2)，f(x)max＝f(0)，
即 ，
所以f(x)＝x2－4x＋3.
(2)依题意 x∈(1，＋∞)，使得f(x)即x2－4x＋3x＋－4，
由于x>1，x＋－4≥2 －4＝2－4，
当且仅当x＝ x＝时等号成立．
所以m>2－4.
核心素养升级练
1．答案：C
解析：要使函数f(x)＝有意义，则有－x2＋2x＋3≥0，解得－1≤x≤3，
所以函数f(x)＝的定义域为[－1，3].
因为－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4∈[0，4]，所以f(x)∈[0，2].
因为y＝－x2＋2x＋3的对称轴为x＝1，
所以f(x)的单调减区间是[1，3].
2．答案：
解析：二次函数f(x)＝x2－(a＋4)x＋a2＋a＋10的对称轴为x＝，
因为f(a2＋3)＝f(3a－2)，所以a2＋3＝3a－2或＝，
因为a＞0，所以解得a＝1.
所以f(x)＝x2－5x＋12，
所以＝
＝(n＋1)＋－7，
因为g(x)＝x＋－7在(0，2)内单调递减，在(2，＋∞)单调递增，
又g(4)＝4＋－7＝3，g(5)＝5＋－7＝＜3，所以(n∈N*)的最小值为.
3．解析：(1)因为g(x)的值域为[0，＋∞)，所以Δ＝a2－4(a－1)＝a2－4a＋4＝(a－2)2＝0，解得a＝2.
(2)证明：由题意，根据对勾函数的单调性可得f(x1)＝x1＋在[1，2]上单调递增，所以f(x1)∈[2，].
设g(x)＝x2－ax＋a－1在[－1，3]上的值域为M，
当≤－1，即a≤－2时，g(x)在[－1，3]上单调递增，因为g(x)max＝g(3)＝8－2a≥12，g(x)min＝g(－1)＝2a≤－4，所以[2，] M；
当≥3，即a≥6时，g(x)在[－1，3]上单调递减，因为g(x)max＝g(－1)＝2a≥12，g(x)min＝g(3)＝8－2a≤－4，所以[2，] M；
当－1<<3，即－2综上，[2，] M恒成立，即f(x)在[1，2]上的值域是g(x)在[－1，3]上值域的子集恒成立，
所以对任意x1∈[1，2]总存在x2∈[－1，3]，使得f(x1)＝g(x2)成立．
3