高中数学人教B版（2019）必修第一册3.2零点的存在性及其近似值的求法(第二课时）课时作业（含答案）

第2课时　零点的存在性及其近似值的求法
必备知识基础练
1．函数f(x)＝(x2－1)(x＋1)的零点个数是(　　)
A．0　　　B．1 C．2　　　D．3
2．已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且图象是连续不断的，若f(a)·f(b)＜0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]上(　　)
A．至少有一实数根
B．至多有一实数根
C．没有实数根
D．必有唯一的实数根
3．函数f(x)＝x3＋x－的零点所在区间是(　　)
A．(－1，0) B．(0，1)
C．(1，2) D．(－2，－1)
4．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
x 1 1.5 1.25 1.375 1.437 5
f(x)的近似值 －2 0.625 －0.984 －0.260 0.162
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精度为0.05)可以是(　　)
A．1.375 B．1.25
C．1.437 5　　 D．1.406 25
5．求方程x3－3x－1＝0在区间(1，2)内的实根，用“二分法”确定的下一个有根的区间是________．
6．若函数f(x)＝kx2－(2k＋1)x－3在(－1，1)和(1，3)内各有一个零点，求实数k的取值范围．
关键能力综合练
7．已知函数f(x)＝－x2，在下列区间中，一定包含f(x)零点的区间是(　　)
A．(－2，－1)　 B．(0，1)
C．(1，2) D．(2，＋∞)
8．已知f(x)的一个零点x0∈(2，3)，用二分法求精度为0.01的x0的近似值时，判断各区间中点的函数值的符号最多需要的次数为(　　)
A．6　　　B．7　 C．8　　　D．9
9．若函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1，1)上存在一个零点，则a的取值范围是(　　)
A．a> B．a>或a<－1
C．－110．若方程x2＋ax＋a＝0的一根小于－2，另一根大于－2，则实数a的取值范围是(　　)
A．(4，＋∞) B．(0，4)
C．(－∞，0) D．(－∞，0)∪(4，＋∞)
11．(多选)下列函数图象与x轴均有交点，其中能用二分法求图中函数零点的是(　　)
12．(多选)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法错误的是(　　)
A．若f(a)·f(b)>0，不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
B．若f(a)·f(b)<0，存在且只存在一个实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
C．若f(a)·f(b)>0，有可能存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
D．若f(a)·f(b)<0，有可能不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
核心素养升级练
13．一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点(如图所示)，线路不通的原因是焊口脱落所致，要想检验出哪一处的焊口脱落，则至多需要检测________次．
14．已知函数f(x)＝2x3－x2－3x＋1.
(1)求证：f(x)在区间(1，2)上存在零点；
(2)若f(x)的一个正数零点附近的函数近似值如表格所示，请用二分法计算f(x)＝0的一个近似解(精度0.1).
x 1 1.5 1.25 1.375 1.312 5 1.343 75
f(x)的近似值 －1 1 －0.406 25 0.183 59 －0.138 18 0.015 81
第2课时　零点的存在性及其近似值的求法
必备知识基础练
1．解析：函数f(x)＝(x2－1)(x＋1)的零点即为(x2－1)(x＋1)＝0的根，显然方程的根有－1，1，因此函数f(x)有两个零点．
答案：C
2．解析：由题意知，函数f(x)为连续函数，
因为f(a)·f(b)＜0，
所以函数f(x)在区间[a，b]上至少有一个零点，又因为函数f(x)在区间[a，b]上是单调函数，
所以函数f(x)在区间[a，b]上至多有一个零点，
故函数f(x)在区间[a，b]上有且只有一个零点，即方程f(x)＝0在区间[a，b]内必有唯一的实数根．
答案：D
3．解析：∵f(－2)＝(－2)3＋(－2)－<0，f(－1)＝(－1)3＋(－1)－<0，f(0)＝－<0，f(1)＝1＋1－>0，f(2)＝23＋2－>0，
∴f(0)f(1)<0，又f(x)的图象在[0，1]上是连续不断的，故由函数零点存在定理知f(x)在(0，1)上存在零点．
答案：B
4．解析：由表格可得，函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的零点在(1.375，1.437 5)之间，结合选项可知，方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精度为0.05)可以是1.406 25.
答案：D
5．解析：设函数f(x)＝x3－3x－1，
则因为f(1)＝－3<0，f(2)＝1＞0，f(1.5)＝－<0，所以下一个有根区间是(1.5，2).
答案：(1.5，2)
6．解析：∵函数f(x)＝kx2－(2k＋1)x－3的图象是连续曲线，∴由题意可知f(－1)f(1)<0且f(1)f(3)<0，
即
即
解得k<－4或k>2，
故所求的实数k的取值范围是(－∞，－4)∪(2，＋∞).
关键能力综合练
7．解析：因为f(1)＝6－1＝5>0，f(2)＝－4＝－1<0，所以f(1)·f(2)<0.
答案：C
8．解析：函数f(x)的零点所在区间的长度是1，用二分法经过6次分割后区间的长度变为<0.02.
答案：A
9．解析：因为函数为一次函数单调，根据函数零点的性质知，f(1)与f(－1)一正一负，且f(1)＝a＋1，f(－1)＝－5a＋1，所以，或，解得a>或a<－1.
答案：B
10．解析：令f(x)＝x2＋ax＋a，因为方程x2＋ax＋a＝0的一根小于－2，另一根大于－2，所以f(－2)＜0，即(－2)2－2a＋a＜0，解得a＞4，即实数a的取值范围是a＞4.
答案：A
11．解析：二分法的理论依据是零点存在定理，必须满足零点两侧函数值异号才能求解．而选项B图中零点两侧函数值同号．
答案：ACD
12．解析：根据函数零点存在定理可判断，若f(a)·f(b)<0，则 c∈(a，b)，f(c)＝0，但c的个数不确定，故B，D错．若f(a)·f(b)>0，有可能 c∈(a，b)，f(c)＝0，如f(x)＝x2－1，f(－2)·f(2)>0，但f(x)＝x2－1在(－2，2)内有两个零点，故A错，C正确．
答案：ABD
核心素养升级练
13．解析：第1次取中点把焊接点数减半为＝32(个)，第2次取中点把焊接点数减半为＝16(个)，第3次取中点把焊接点数减半为＝8(个)，第4次取中点把焊接点数减半为＝4(个)，第5次取中点把焊接点数减半为＝2(个)，第6次取中点把焊接点数减半为＝1(个)，所以至多需要检测的次数是6.
答案：6
14．解析：(1)因为f(x)＝2x3－x2－3x＋1，
所以f(1)＝－1<0，f(2)＝7＞0，
所以f(1)·f(2)＝－7<0，
因此 x0∈(1，2)，f(x0)＝0，
且f(x)＝2x3－x2－3x＋1在(1，2)内连续，
所以f(x)在区间(1，2)上存在零点．
(2)由(1)知，f(x)＝2x3－x2－3x＋1在(1，2)内存在零点，
由表知，f(1)＝－1，f(1.5)＝1，
所以f(1)·f(1.5)<0，
所以f(x)的零点在(1，1.5)上，
因为f(1.25)＝－0.406 25，
所以f(1.25)·f(1.5)<0，
所以f(x)的零点在(1.25，1.5)上，
因为f(1.375)＝0.183 59，
所以f(1.25)·f(1.375)<0，
所以f(x)的零点在(1.25，1.375)上，
因为f(1.312 5)＝－0.138 18，
所以f(1.312 5)·f(1.375)<0，
所以f(x)的零点在(1.312 5，1.375)上，
因为f(1.343 75)＝0.015 81，
所以f(1.312 5)·f(1.343 75)＜0，
所以f(x)的零点在(1.312 5，1.343 75)上，
由于|1.343 75－1.312 5|＝0.031 25＜0.1，
且1.312 5≈1.3，1.343 75≈1.3，所以f(x)＝0的一个精确到0.1的近似解是1.3.
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