高中数学人教B版（2019）必修第二册6.3平面向量线性运算的应用课时作业（含答案）
文档属性
| 名称 | 高中数学人教B版（2019）必修第二册6.3平面向量线性运算的应用课时作业（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 141.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-23 09:53:58 | ||
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文档简介
6．3 平面向量线性运算的应用
必备知识基础练 进阶训练第一层
1．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是( )
A．长方形 B．平行四边形
C．菱形 D．梯形
2．已知两个力F1，F2的夹角为90°，它们的合力大小为10 N，合力与F1的夹角为60°，那么F1的大小为( )
A．5 N B．5 N
C．10 N D．5 N
3．已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3，2)，F3＝(4，－3)同时作用于某物体上的一点，为使物体保持平衡，现加上一个力F4，则F4等于( )
A．(－1，－2) B．(1，－2)
C．(－1，2) D．(1，2)
4．一航船用5 km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度与船的实际速度．
5．在△ABC中，已知＝，＝.用平面向量证明：MN∥BC且MN＝BC.
6．如图，已知直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于点E，M为CE的中点，用向量的方法证明：
(1)DE∥BC；
(2)D，M，B三点共线．
关键能力综合练 进阶训练第二层
7．若M是△ABC的重心，则下列各向量中与共线的是( )
A．＋＋
B．＋＋
C．＋＋
D．3＋
8．(多选)在水流速度为4 km/h的河水中，一艘船以12 km/h的实际航行速度垂直于对岸行驶，则下列关于这艘船的航行速度的大小和方向的说法中正确的是( )
A．这艘船航行速度的大小为12 km/h
B．这艘船航行速度的大小为8 km/h
C．这艘船航行的方向与水流方向的夹角为150°
D．这艘船航行的方向与水流方向的夹角为120°
9．已知△ABC满足－＝k(其中k是非零常数).则△ABC的形状一定是( )
A．等边三角形
B．钝角三角形
C．等腰三角形
D．直角三角形
10．(多选)点P是△ABC所在平面内一点，满足|－|－|＋－2|＝0，则△ABC的形状不可能是( )
A．钝角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
11．已知在直角梯形ABCD中，AB＝AD＝2CD＝2，∠ADC＝90°，若点M在线段AC上，则|＋|的取值范围为________．
12．如图所示，已知△ABC中，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，AF与CE相交于点O.
(1)求AO∶OF与CO∶OE的值；
(2)证明AF，BD，CE交于一点O.
核心素养升级练 进阶训练第三层
13．四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点(不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形，试用向量法证明：PA＝EF.
14．如图，在△ABC中，D为BC的中点，G为AD的中点，过点G任作一直线MN分别交AB，AC于M，N两点．若＝x，＝y，试问：＋是否为定值？
6．3 平面向量线性运算的应用
1．答案：D
解析：∵＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，∴＝＋＋＝a＋2b－4a－b－5a－3b＝2(－4a－b)＝2，∴AD∥BC，且AD≠BC，∴四边形ABCD为梯形．
2．答案：B
解析：设合力为F，由题意可知，|F1|＝|F|cos 60°＝5 N．
3．答案：D
解析：F4＝－(F1＋F2＋F3)＝－[(－2，－1)＋(－3，2)＋(4，－3)]＝(1，2).
4．解析：如图，表示水流速度，表示船向垂直于对岸行驶的速度，表示船实际速度，∠AOC＝30°，||＝5 km/h.
∵四边形OACB为矩形，||＝＝＝5 km/h.
||＝＝10 km/h.
∴水流速度为5 km/h，船实际速度为10 km/h.
5．证明：∵＝，＝，∴＝－＝－＝(－)＝，∴MN∥BC，且MN＝BC.
6．证明：以E为坐标原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图．
令||＝1，则||＝1，||＝2.
∵CE⊥AB，AD＝DC，
∴四边形AECD为正方形．
∴各点坐标分别为E(0，0)，B(1，0)，C(0，1)，D(－1，1)，A(－1，0).
(1)∵＝(－1，1)－(0，0)＝(－1，1)，
＝(0，1)－(1，0)＝(－1，1)，
∴＝，∴DE∥BC.
(2)∵M为EC的中点，∴M(0，)，
∴＝(－1，1)－(0，)＝(－1，)，
＝(1，0)－(0，)＝(1，－).
∵＝－，∴∥.
又与有公共点M，∴D，M，B三点共线．
7．答案：C
解析：A中，＋＋＝2，与不共线；
B中，＋＋＝，与不共线；
C中，＋＋＝0，与共线；
D中，∵＝＝×(＋).
∴3＋＝＋2，与不共线.
8．答案：BD
解析：如图所示，设表示水流速度，表示船垂直于对岸行驶的速度，以为一边，为一对角线作 ABCD，则就是船的航行速度．
∵||＝4，||＝12，∴||＝||＝8，tan ∠ACB＝＝，∴∠CAD＝∠ACB＝30°，∠BAD＝120°.即这艘船航行速度的大小为8 km/h，方向与水流方向的夹角为120°.
9．答案：C
解析：如图，取＝，＝，
∴||＝||＝1.
又∵－＝k，
∴－＝k，
∴＝k，∴EF∥BC，
∴＝，
∴AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形．
10．答案：AD
解析：∵P是△ABC所在平面内一点，且|－|－|＋－2|＝0，
∴||－|(－)＋(－)|＝0，
即||＝|＋|，
∴|－|＝|＋|，
由向量加法减法的几何意义知四边形ABDC为矩形，
∴⊥，∴∠A＝90°，则△ABC一定是直角三角形．
11．答案：
解析：建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0，0)，B(2，0)，C(1，2)，D(0，2)，设＝λ(0≤λ≤1)，
则M(λ，2λ)，
故＝(－λ，2－2λ)，＝(2－λ，－2λ)，
则＋＝(2－2λ，2－4λ)，
|＋|＝
＝，
当λ＝0时，|＋|取得最大值为2，当λ＝时，|＋|取得最小值为，
∴|＋|∈.
12．解析：(1)因为＝＋＝＋，
又因为E，F都是中点，所以
＋＝＋＝2＋2＝2.
另外，＝＋，所以＋＝2＋2.
设＝s，＝t，
则有s－t＝2＋2，即
(s－2)＝(t－2).
从而由共线向量基本定理可知s＝t＝2，
因此AO∶OF＝CO∶OE＝2∶1.
(2)证明：要证明AF，BD，CE交于一点O，只需证明B，O，D三点共线即可．
由(1)可知，＝＋，
＝＋＝＋＝－
＝－(＋)＝(＋)，
又＝(＋)，
∴∥，
又与有公共点B，
∴B，O，D三点共线，
故AF，BD，CE交于一点O.
13．证明：建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为1，DP＝λ(0＜λ＜)，
则A(0，1)，P(λ，λ)，E(1，λ)，F(λ，0)，
∴＝(－λ，1－λ)，＝(λ－1，－λ)，
∴||＝ ＝ ，
||＝ ＝ ，
∴||＝||，∴PA＝EF.
14．解析：设＝a，＝b，
则＝xa，＝yb，
＝＝(＋)＝(a＋b).
所以＝－＝(a＋b)－xa
＝(－x)a＋b，
＝－＝yb－xa＝－xa＋yb.
因为与共线，且a，b不共线，
所以有(－x)y＝(－x)，
即x＋y＝xy，
得＋＝4，
所以＋为定值．
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必备知识基础练 进阶训练第一层
1．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是( )
A．长方形 B．平行四边形
C．菱形 D．梯形
2．已知两个力F1，F2的夹角为90°，它们的合力大小为10 N，合力与F1的夹角为60°，那么F1的大小为( )
A．5 N B．5 N
C．10 N D．5 N
3．已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3，2)，F3＝(4，－3)同时作用于某物体上的一点，为使物体保持平衡，现加上一个力F4，则F4等于( )
A．(－1，－2) B．(1，－2)
C．(－1，2) D．(1，2)
4．一航船用5 km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度与船的实际速度．
5．在△ABC中，已知＝，＝.用平面向量证明：MN∥BC且MN＝BC.
6．如图，已知直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于点E，M为CE的中点，用向量的方法证明：
(1)DE∥BC；
(2)D，M，B三点共线．
关键能力综合练 进阶训练第二层
7．若M是△ABC的重心，则下列各向量中与共线的是( )
A．＋＋
B．＋＋
C．＋＋
D．3＋
8．(多选)在水流速度为4 km/h的河水中，一艘船以12 km/h的实际航行速度垂直于对岸行驶，则下列关于这艘船的航行速度的大小和方向的说法中正确的是( )
A．这艘船航行速度的大小为12 km/h
B．这艘船航行速度的大小为8 km/h
C．这艘船航行的方向与水流方向的夹角为150°
D．这艘船航行的方向与水流方向的夹角为120°
9．已知△ABC满足－＝k(其中k是非零常数).则△ABC的形状一定是( )
A．等边三角形
B．钝角三角形
C．等腰三角形
D．直角三角形
10．(多选)点P是△ABC所在平面内一点，满足|－|－|＋－2|＝0，则△ABC的形状不可能是( )
A．钝角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
11．已知在直角梯形ABCD中，AB＝AD＝2CD＝2，∠ADC＝90°，若点M在线段AC上，则|＋|的取值范围为________．
12．如图所示，已知△ABC中，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，AF与CE相交于点O.
(1)求AO∶OF与CO∶OE的值；
(2)证明AF，BD，CE交于一点O.
核心素养升级练 进阶训练第三层
13．四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点(不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形，试用向量法证明：PA＝EF.
14．如图，在△ABC中，D为BC的中点，G为AD的中点，过点G任作一直线MN分别交AB，AC于M，N两点．若＝x，＝y，试问：＋是否为定值？
6．3 平面向量线性运算的应用
1．答案：D
解析：∵＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，∴＝＋＋＝a＋2b－4a－b－5a－3b＝2(－4a－b)＝2，∴AD∥BC，且AD≠BC，∴四边形ABCD为梯形．
2．答案：B
解析：设合力为F，由题意可知，|F1|＝|F|cos 60°＝5 N．
3．答案：D
解析：F4＝－(F1＋F2＋F3)＝－[(－2，－1)＋(－3，2)＋(4，－3)]＝(1，2).
4．解析：如图，表示水流速度，表示船向垂直于对岸行驶的速度，表示船实际速度，∠AOC＝30°，||＝5 km/h.
∵四边形OACB为矩形，||＝＝＝5 km/h.
||＝＝10 km/h.
∴水流速度为5 km/h，船实际速度为10 km/h.
5．证明：∵＝，＝，∴＝－＝－＝(－)＝，∴MN∥BC，且MN＝BC.
6．证明：以E为坐标原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图．
令||＝1，则||＝1，||＝2.
∵CE⊥AB，AD＝DC，
∴四边形AECD为正方形．
∴各点坐标分别为E(0，0)，B(1，0)，C(0，1)，D(－1，1)，A(－1，0).
(1)∵＝(－1，1)－(0，0)＝(－1，1)，
＝(0，1)－(1，0)＝(－1，1)，
∴＝，∴DE∥BC.
(2)∵M为EC的中点，∴M(0，)，
∴＝(－1，1)－(0，)＝(－1，)，
＝(1，0)－(0，)＝(1，－).
∵＝－，∴∥.
又与有公共点M，∴D，M，B三点共线．
7．答案：C
解析：A中，＋＋＝2，与不共线；
B中，＋＋＝，与不共线；
C中，＋＋＝0，与共线；
D中，∵＝＝×(＋).
∴3＋＝＋2，与不共线.
8．答案：BD
解析：如图所示，设表示水流速度，表示船垂直于对岸行驶的速度，以为一边，为一对角线作 ABCD，则就是船的航行速度．
∵||＝4，||＝12，∴||＝||＝8，tan ∠ACB＝＝，∴∠CAD＝∠ACB＝30°，∠BAD＝120°.即这艘船航行速度的大小为8 km/h，方向与水流方向的夹角为120°.
9．答案：C
解析：如图，取＝，＝，
∴||＝||＝1.
又∵－＝k，
∴－＝k，
∴＝k，∴EF∥BC，
∴＝，
∴AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形．
10．答案：AD
解析：∵P是△ABC所在平面内一点，且|－|－|＋－2|＝0，
∴||－|(－)＋(－)|＝0，
即||＝|＋|，
∴|－|＝|＋|，
由向量加法减法的几何意义知四边形ABDC为矩形，
∴⊥，∴∠A＝90°，则△ABC一定是直角三角形．
11．答案：
解析：建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0，0)，B(2，0)，C(1，2)，D(0，2)，设＝λ(0≤λ≤1)，
则M(λ，2λ)，
故＝(－λ，2－2λ)，＝(2－λ，－2λ)，
则＋＝(2－2λ，2－4λ)，
|＋|＝
＝，
当λ＝0时，|＋|取得最大值为2，当λ＝时，|＋|取得最小值为，
∴|＋|∈.
12．解析：(1)因为＝＋＝＋，
又因为E，F都是中点，所以
＋＝＋＝2＋2＝2.
另外，＝＋，所以＋＝2＋2.
设＝s，＝t，
则有s－t＝2＋2，即
(s－2)＝(t－2).
从而由共线向量基本定理可知s＝t＝2，
因此AO∶OF＝CO∶OE＝2∶1.
(2)证明：要证明AF，BD，CE交于一点O，只需证明B，O，D三点共线即可．
由(1)可知，＝＋，
＝＋＝＋＝－
＝－(＋)＝(＋)，
又＝(＋)，
∴∥，
又与有公共点B，
∴B，O，D三点共线，
故AF，BD，CE交于一点O.
13．证明：建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为1，DP＝λ(0＜λ＜)，
则A(0，1)，P(λ，λ)，E(1，λ)，F(λ，0)，
∴＝(－λ，1－λ)，＝(λ－1，－λ)，
∴||＝ ＝ ，
||＝ ＝ ，
∴||＝||，∴PA＝EF.
14．解析：设＝a，＝b，
则＝xa，＝yb，
＝＝(＋)＝(a＋b).
所以＝－＝(a＋b)－xa
＝(－x)a＋b，
＝－＝yb－xa＝－xa＋yb.
因为与共线，且a，b不共线，
所以有(－x)y＝(－x)，
即x＋y＝xy，
得＋＝4，
所以＋为定值．
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