2.2.4均值不等式及其应用第1课时均值不等式课时作业（word含解析）

第1课时　均值不等式
必备知识基础练
1．下列不等式中正确的是(　　)
A．a2＋b2≥4abB．a＋≥4
C．a2＋2＋≥4 D．a2＋≥4
2．已知当x＝3时，代数式4x＋(x>0，a>0)取得最小值，则a＝(　　)
A．28 B．32
C．36 D．40
3．已知a>b>c，则与的大小关系是________．
4．已知x>0，y>0，2x＋3y＝6，则xy的最大值为________.
5．已知m＝a＋(a>2)，n＝4－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是(　　)
A．m>n B．mC．m＝n D．不确定
6．求函数y＝ (x<0)的最大值．
关键能力综合练
7．(多选)已知正数a，b满足a＋b＝4，ab的最大值为t，不等式x2＋3x－t<0的解集为M，则下列结论正确的是(　　)
A．t＝2
B．t＝4
C．M＝{x|－4D．M＝{x|－18．已知正数x，y满足＋＝1，则x＋2y的最小值是(　　)
A．18 B．16
C．8 D．10
9．(多选)下列表达式的最小值为2的有(　　)
A．当ab＝1时，a＋b
B.当ab＝1时，＋
C．a2－2a＋3
D．＋
10．(多选)下列不等式一定成立的是(　　)
A．x2＋>x (x>0)
B．x＋≥2 (x>0)
C．x2＋1≥2|x| (x∈R)
D．>1 (x∈R)
11．已知x<3，求f(x)＝＋x的最大值．
12．设x>－1，求的最小值．
核心素养升级练
13．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是________．
14．已知a，b，c都是正数，求证：a＋b＋c－－－≥0.
第1课时　均值不等式
必备知识基础练
1．解析：A.a2＋b2－4ab＝(a－b)2－2ab不一定大于等于零，所以该选项错误；
B．a＋，当a取负数时，显然a＋<0，所以a＋≥4错误，所以该选项错误；
C．a2＋2＋≥2 ＝2，当且仅当a2＋2＝1时成立，由于取得条件不成立，所以a2＋2＋>2，如a＝0时，a2＋2＋＝<4，所以该选项错误；
D．a2＋≥2 ＝4，当且仅当a＝±时取等号，所以该选项正确．
答案：D
2．解析：4x＋≥2 ＝4(x>0，a>0)，当且仅当4x＝，即x＝时等号成立，所以＝3，即a＝36.
答案：C
3．解析：∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0.
∴＝≥，当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时取等号．
答案：≤
4．解析：因为x>0，y>0，2x＋3y＝6，
所以xy＝(2x·3y)≤·()2
＝·()2＝.
当且仅当即x＝，y＝1时，xy取到最大值.
答案：
5．解析：因为a>2，所以a－2>0.
又因为m＝a＋＝(a－2)＋＋2，
所以m≥2 ＋2＝4.由b≠0得b2≠0，所以4－b2<4，即n<4.所以m>n.
答案：A
6．解析：y＝＝x＋＋13，
当x<0时，－x>0，－>0，(－x)＋(－)≥2 ＝12.
所以y＝13－[(－x)＋(－)]≤13－12＝1.
当且仅当－x＝－，即x＝－6时，等号成立，
所以当x＝－6时，ymax＝13－12＝1.
关键能力综合练
7．解析：由题意可得ab≤()2＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，则ab的最大值t＝4，故A错误，B正确；解不等式x2＋3x－4<0得(x＋4)·(x－1)<0，得解集是{x|－4答案：BC
8．解析：∵x>0，y>0且＋＝1，
∴x＋2y＝(x＋2y)(＋)＝10＋＋≥10＋2＝18，
当且仅当＝，即x＝12，y＝3时，等号成立．
答案：A
9．解析：对于A，当a，b均为负值时，a＋b<0，故最小值不为2；对于B，因为ab＝1，所以a，b同号，所以>0，>0，所以＋≥2 ＝2，当且仅＝，即a＝b＝±1时取等号，故最小值为2；对于C，a2－2a＋3＝(a－1)2＋2，当a＝1时，取最小值2；对于D，＋≥2 ＝2，当且仅当＝，即a2＋2＝1时，取等号，但等号显然不成立，故最小值不为2.故选BC.
答案：BC
10．解析：对于选项A，当x＝时，x2＋＝x，所以A不一定成立；
对于选项B，当x>0时，不等式x＋≥2成立，所以B一定成立；
对于选项C，不等式x2＋1－2|x|＝(|x|－1)2≥0，即x2＋1≥2|x|恒成立，所以C一定成立；
对于选项D，因为x2＋1≥1，所以0<≤1，所以D不成立．
答案：BC
11．解析：因为x<3，所以x－3<0，所以3－x>0，
所以f(x)＝＋x＝＋(x－3)＋3＝－(＋3－x)＋3，因为＋3－x≥2 ＝4，(当且仅当＝3－x，即x＝1时取等号)，所以f(x)≤－4＋3＝－1，
即f(x)的最大值为－1.
12．解析：因为x>－1，所以x＋1>0，
设x＋1＝t>0，则x＝t－1，于是有：
＝＝＝t＋＋5≥2 ＋5＝9.
当且仅当t＝，即t＝2时取等号，此时x＝1.
所以当x＝1时，函数取得最小值是9.
核心素养升级练
13．解析：因为x>0，所以＝≤＝.
当且仅当x＝1时，等号成立，
所以的最大值为.
所以a≥.
答案：{a|a≥}
14．证明：∵a，b，c都是正数，
∴a＋b≥2，b＋c≥2，a＋c≥2，
∴a＋b＋b＋c＋a＋c≥2(＋＋)，
∴a＋b＋c≥＋＋
即a＋b＋c－－－≥0.
(当且仅当a＝b＝c时，等号成立)
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