2.2.4均值不等式及其应用第2课时均值不等式的应用课时作业（word含解析）

第2课时　均值不等式的应用
必备知识基础练
1．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y(万元)与机器运转时间x(年数，x∈N*)的关系为y＝－x2＋18x－25，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．
2．已知正数x，y满足x＋2y－xy＝0，则x＋2y的最小值为(　　)
A．8　　　 B．4 C．2　　　 D．0
3．对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期商高就提出了“勾三股四玄五”勾股定理的特例，而西方直到公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理．如果一个直角三角形的斜边长等于5，那么这个直角三角形面积的最大值等于(　　)
A．　　　B． C．25　　　D．5
4．建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为______元．
5．若a>0，b>0且2a＋b＝4，则的最小值为(　　)
A．2　　　 B． C．4　　　 D．
6.
围建一个面积为40 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(旧墙足够长)，利用的旧墙需维修，其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为5元/米，新墙的造价为20元/米，设利用的旧墙的长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元).
(1)将y表示为x的函数；
(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．
关键能力综合练
7．若a>0，b>0，a＋b＝ab，则a＋b的最小值为(　　)
A．2　　　 B．4 C．6　　　 D．8
8．(多选)设a＋b＝2(a>0，b>0)，则＋取最小值时下列结论正确的是(　　)
A．a＝ B．ab＝1
C．＋＝ D．＋＝
9．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为(　　)
A．10 m　　B．20 m C．30 m　　D．40 m
10．已知一次函数y＝－x＋1的图象分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值是________，取得最值时a的值为________．
11．已知不等式2x＋m＋>0对任意的x>1恒成立，则实数m的取值范围为________．
12．经观测，某公路段在某时段内的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间有函数关系：y＝(v>0).
(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？
(2)为保证在该时段内车流量至少为12千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？
核心素养升级练
13．已知a，b都是正数，求证：≤≤≤.
14. “足寒伤心，民寒伤国”，精准扶贫是巩固温饱成果、加快脱贫致富、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障．某地政府在对山区乡镇企业实施精准扶贫的工作中，准备投入资金将当地农产品二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量Q万件(生产量与销售量相等)与推广促销费x万元之间的函数关系为Q＝(其中推广促销费不能超过3万元).已知加工此批农产品还要投入成本2(Q＋)万元(不包含推广促销费用)，若加工后的每件成品的销售价格定为(2＋)元/件.那么当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？(利润＝销售额－成本－推广促销费)
第2课时　均值不等式的应用
必备知识基础练
1．解析：年平均利润＝－x＋18－＝－(x＋)＋18 ≤8.当且仅当x＝5时，等号成立，()max＝8，即机器运转5年时，年平均利润最大，为8万元．
答案：5　8
2．解析：由x＋2y－xy＝0，得＋＝1，
且x>0，y>0.所以x＋2y＝(x＋2y)×(＋)＝＋＋4≥4＋4＝8，当且仅当x＝2y时等号成立．
答案：A
3．解析：设直角三角形的斜边为c，直角边分别为a，b，由题意知c＝5，则a2＋b2＝25，
则三角形的面积S＝ab，
因为25＝a2＋b2≥2ab，所以ab≤，
则三角形的面积S＝ab≤×＝，当且仅当a＝b＝时取等号，即这个直角三角形面积的最大值等于.
答案：A
4．解析：设水池池底的一边长为x m，则其邻边长为 m，则总造价为：
y＝120×4＋80××2＝480＋320≥480＋320×2 ＝1 760.
当且仅当x＝即x＝2时，y取最小值1 760.
所以水池的最低总造价为1 760元．
答案：1 760
5．解析：因为a>0，b>0，所以2a＋b≥2，当且仅当2a＝b时等号成立，又2a＋b＝4，所以2≤4即0答案：B
6．解析：(1)设矩形的另一边长为a m，则y＝5x＋20(x－2)＋20·2a＝25x＋40a－40，
由已知ax＝40，得a＝，所以y＝25x＋－40 (x>2).
(2)因为x>2，
所以25x＋≥2 ＝400，
所以y＝25x＋－40≥360，
当且仅当25x＝，即x＝8时，等号成立．
即当x＝8 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是360元．
关键能力综合练
7．解析：因为a>0，b＞0，a＋b＝ab≤，所以a＋b≥4，当a＝b＝2时取等号，则a＋b的最小值为4.
答案：B
8．解析：因为a＋b＝2，
所以＋＝＋＝＋＝＋＋≥＋2＝＋1＝.
当且仅当＝，即b2＝4a2时等号成立．
又因为a>0，b>0，a＋b＝2，所以解得a＝，b＝，
所以＋的最小值为.
答案：AC
9．解析：设矩形的另一边长为y.由三角形相似得＝，其中0答案：B
10．解析：因为A(2，0)，B(0，1)，所以0≤b≤1，由题意得a＝2－2b，
ab＝(2－2b)b＝2(1－b)·b≤2·()2＝.当且仅当1－b＝b，即b＝时等号成立，此时a＝1，因此当b＝，a＝1时，ab的最大值为.
答案：　1
11．解析：∵2x＋m＋>0在x>1时恒成立，
∴m>－2x－＝－2(x＋)
＝－2(x－1＋＋1)，
又x>1时，x－1>0，
x－1＋＋1≥2 ＋1＝5，
当且仅当x－1＝，即x＝3时，等号成立，
∴－2(x－1＋＋1)≤－2×5＝－10.
∴m>－10，
∴实数m的取值范围为(－10，＋∞).
答案：(－10，＋∞)
12．解析：(1)y＝＝，
因为v＋≥2 ＝20，
所以y＝≤＝.
当且仅当v＝，即v＝10时等号成立．
所以当汽车的平均速度v＝10千米/小时时车流量y最大．
(2)令≥12，则可化为v2－70v＋1 000≤0，
即(v－20)(v－50)≤0，解得20≤v≤50.
所以汽车的平均速度应控制在20千米/小时到50千米/小时范围内．
核心素养升级练
13．证明：∵a>0，b>0，∴＋≥2 ，
∴≤，
即≤(当且仅当a＝b时取“＝”).
又∵()2＝≤＝，
∴≤(当且仅当a＝b时取“＝”)，
又≥(当且仅当a＝b时取“＝”).
故≤≤≤(当且仅当a＝b时取“＝”).
14．解析：设该批产品的利润为y，
由题意知y＝(2＋)·Q－2(Q＋)－x
＝2Q＋20－2Q－－x＝20－－x
＝20－－x＝21－[＋(x＋1)]，0≤x≤3.
∵21－[＋(x＋1)]≤21－2＝17，
当且仅当x＝1时，上式取“＝”，
∴当x＝1时，ymax＝17.
即当推广促销费投入1万元时，利润最大为17万元．
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