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高中数学人教A版（2019）必修一 第四章 第一节 指数运算
一、单选题
1．（2022高一上·宝安期末）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】分数指数幂
【解析】【解答】解：对A：，A不符合题意；
对B：，B符合题意；
对C：，不能化简为，C不符合题意；
对D：因为，所以，D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据指数幂的运算法则化简判断即可.
2．（2021高一上·房山期末）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算
【解析】【解答】利用分数指数幂与根式的互化可得。
故答案为：A.
【分析】利用分数指数幂与根式的互化公式，得出 化简的结果 。
3．（2021高一上·电白期中）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A． = B． =
C． D．
【答案】C
【知识点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算
【解析】【解答】 = ，
= ，
，
。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合根式与分式指数幂的互化公式和根式的性质，从而找出根式与分数指数幂的互化正确的选项。
4．（2020高一上·张家口月考）将根式 化简为指数式（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算；有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】 ，
故答案为：A
【分析】根据分数指数幂的运算公式，，再根据，由内向里逐层化简。
二、多选题
5．（2022高一下·揭东期末）下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B,C
【知识点】方根与根式及根式的化简运算；对数的运算性质
【解析】【解答】A：，故错误；B：，故正确；C：，故正确；D：，故错误.
故答案为：BC.
【分析】根式的运算及根式与指数互化判断A、B；应用对数的运算性质判断C、D.
三、填空题
6．（2021高一上·怀仁期中）计算： .
【答案】
【知识点】方根与根式及根式的化简运算；有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】原式
。
答案： 。
【分析】利用根式的运算性质结合指数幂的运算性质，从而化简求值。
7．（2021高一上·绍兴期中）计算： .
【答案】
【知识点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算；有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】原式= 。
故答案为： 。
【分析】利用根式的运算性质结合指数幂的运算法则，从而化简求值。
8．（2021高一上·焦作期中）计算： ．
【答案】1
【知识点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算；有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】 。
故答案为：1。
【分析】利用根式与指数幂的互化公式和指数幂的运算法则，从而化简求值。
9．若代数式 有意义，则 .
【答案】3
【知识点】方根与根式及根式的化简运算
【解析】【解答】解：由 有意义，
得 ，即 ，
故
。
故答案为3.
【分析】由 有意义结合偶次根式函数求定义域的方法，从而求出x的取值范围，再利用完全平方差公式结合偶次根式的化简方法，再结合绝对值的定义，从而求出的值。
10．（2020高一上·嘉定期末）对于正数a， 可以用有理数指数幂的形式表示为 .
【答案】
【知识点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算
【解析】【解答】 。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件用有理数指数幂的形式表示 。
11．（2020高一上·嘉定期中）若 ，化简： .
【答案】
【知识点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算
【解析】【解答】
故答案为：
【分析】利用指数幂的运算法则计算即可．
12．（2020高一上·淮安期中）已知 ，则 的值为 .
【答案】
【知识点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算
【解析】【解答】题意 ，∴ ，
∴ ，
故答案为： .
【分析】利用完全平方公式和立方差公式进行计算，即可得出 的值 。
13．已知 ，则 ．
【答案】3
【知识点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算
【解析】【解答】解：因为 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
故答案为：3．
【分析】由 可得， ， ，代入数据计算即可得出．
14．（2020高一上·开鲁月考） .
【答案】
【知识点】方根与根式及根式的化简运算
【解析】【解答】解：
化简得： ，
整理得： .
故答案为： .
【分析】利用无理根式的运算法则可得 = = .
15．（2020高一上·湖南月考）计算 .
【答案】
【知识点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算
【解析】【解答】 .
故答案为：
【分析】 利用有理数指数幂的运算性质和对数的运算性质求解.
四、解答题
16．（2021高一上·湖州期中）
(Ⅰ)求值： ；
(Ⅱ)已知 ，求 的值.
【答案】解：(Ⅰ)原式=
=
(Ⅱ)由平方得
由 平方得
【知识点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算；有理数指数幂的运算性质；有理数指数幂的化简求值
【解析】【分析】（1）根据根式的运算，以及指数的运算即可求出答案；
（2）先将 两边平方可求得 ，再将 两边平方可求得 ，最后相除即可求解.
17．（2021高一上·温州期中）求值
（1） ；
（2）已知 ， ，求 的值.
【答案】（1） .
（2）∵ ， ，
∴ .
【知识点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算；有理数指数幂的运算性质；对数的运算性质
【解析】【分析】（1）利用根式与分数指数幂的互化及分数指数幂的运算性质，进行计算即可；
（2利用有理数分数指数幂的运算性质进行计算即可。
18．（2020高一上·长治期中）化简：
（1） ；
（2） .
【答案】（1）解：原式 ；
（2）解：原式 .
【知识点】方根与根式及根式的化简运算；有理数指数幂的运算性质
【解析】【分析】（1）直接利用根式的运算性质求解即可（2）直接利用分数指幂的运算性质求解即可
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高中数学人教A版（2019）必修一 第四章 第一节 指数运算
一、单选题
1．（2022高一上·宝安期末）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021高一上·房山期末）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021高一上·电白期中）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A． = B． =
C． D．
4．（2020高一上·张家口月考）将根式 化简为指数式（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（2022高一下·揭东期末）下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
6．（2021高一上·怀仁期中）计算： .
7．（2021高一上·绍兴期中）计算： .
8．（2021高一上·焦作期中）计算： ．
9．若代数式 有意义，则 .
10．（2020高一上·嘉定期末）对于正数a， 可以用有理数指数幂的形式表示为 .
11．（2020高一上·嘉定期中）若 ，化简： .
12．（2020高一上·淮安期中）已知 ，则 的值为 .
13．已知 ，则 ．
14．（2020高一上·开鲁月考） .
15．（2020高一上·湖南月考）计算 .
四、解答题
16．（2021高一上·湖州期中）
(Ⅰ)求值： ；
(Ⅱ)已知 ，求 的值.
17．（2021高一上·温州期中）求值
（1） ；
（2）已知 ， ，求 的值.
18．（2020高一上·长治期中）化简：
（1） ；
（2） .
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】分数指数幂
【解析】【解答】解：对A：，A不符合题意；
对B：，B符合题意；
对C：，不能化简为，C不符合题意；
对D：因为，所以，D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据指数幂的运算法则化简判断即可.
2．【答案】A
【知识点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算
【解析】【解答】利用分数指数幂与根式的互化可得。
故答案为：A.
【分析】利用分数指数幂与根式的互化公式，得出 化简的结果 。
3．【答案】C
【知识点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算
【解析】【解答】 = ，
= ，
，
。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合根式与分式指数幂的互化公式和根式的性质，从而找出根式与分数指数幂的互化正确的选项。
4．【答案】A
【知识点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算；有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】 ，
故答案为：A
【分析】根据分数指数幂的运算公式，，再根据，由内向里逐层化简。
5．【答案】B,C
【知识点】方根与根式及根式的化简运算；对数的运算性质
【解析】【解答】A：，故错误；B：，故正确；C：，故正确；D：，故错误.
故答案为：BC.
【分析】根式的运算及根式与指数互化判断A、B；应用对数的运算性质判断C、D.
6．【答案】
【知识点】方根与根式及根式的化简运算；有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】原式
。
答案： 。
【分析】利用根式的运算性质结合指数幂的运算性质，从而化简求值。
7．【答案】
【知识点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算；有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】原式= 。
故答案为： 。
【分析】利用根式的运算性质结合指数幂的运算法则，从而化简求值。
8．【答案】1
【知识点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算；有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】 。
故答案为：1。
【分析】利用根式与指数幂的互化公式和指数幂的运算法则，从而化简求值。
9．【答案】3
【知识点】方根与根式及根式的化简运算
【解析】【解答】解：由 有意义，
得 ，即 ，
故
。
故答案为3.
【分析】由 有意义结合偶次根式函数求定义域的方法，从而求出x的取值范围，再利用完全平方差公式结合偶次根式的化简方法，再结合绝对值的定义，从而求出的值。
10．【答案】
【知识点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算
【解析】【解答】 。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件用有理数指数幂的形式表示 。
11．【答案】
【知识点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算
【解析】【解答】
故答案为：
【分析】利用指数幂的运算法则计算即可．
12．【答案】
【知识点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算
【解析】【解答】题意 ，∴ ，
∴ ，
故答案为： .
【分析】利用完全平方公式和立方差公式进行计算，即可得出 的值 。
13．【答案】3
【知识点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算
【解析】【解答】解：因为 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
故答案为：3．
【分析】由 可得， ， ，代入数据计算即可得出．
14．【答案】
【知识点】方根与根式及根式的化简运算
【解析】【解答】解：
化简得： ，
整理得： .
故答案为： .
【分析】利用无理根式的运算法则可得 = = .
15．【答案】
【知识点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算
【解析】【解答】 .
故答案为：
【分析】 利用有理数指数幂的运算性质和对数的运算性质求解.
16．【答案】解：(Ⅰ)原式=
=
(Ⅱ)由平方得
由 平方得
【知识点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算；有理数指数幂的运算性质；有理数指数幂的化简求值
【解析】【分析】（1）根据根式的运算，以及指数的运算即可求出答案；
（2）先将 两边平方可求得 ，再将 两边平方可求得 ，最后相除即可求解.
17．【答案】（1） .
（2）∵ ， ，
∴ .
【知识点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算；有理数指数幂的运算性质；对数的运算性质
【解析】【分析】（1）利用根式与分数指数幂的互化及分数指数幂的运算性质，进行计算即可；
（2利用有理数分数指数幂的运算性质进行计算即可。
18．【答案】（1）解：原式 ；
（2）解：原式 .
【知识点】方根与根式及根式的化简运算；有理数指数幂的运算性质
【解析】【分析】（1）直接利用根式的运算性质求解即可（2）直接利用分数指幂的运算性质求解即可
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