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高中数学人教A版（2019）必修一 5.5.1 两角和差的正弦、余弦和正切公式
一、单选题
1．（2022高一下·景德镇期末）计算（ ）
A． B． C． D．
2．（2022高二下·湛江期末）已知，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·宁乡模拟）若 ，则 =（ ）
A． B． C． D．
4．（2022高一下·襄阳期末）已知为锐角，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2022高一下·郫都期中）已知、为锐角，且，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022高一下·西昌期中）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022高二下·昌平期末）在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点，则（ ）
A． B． C．1 D．5
8．（2022·茂名模拟）已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022高一下·郫都期中）若，是方程两个实数根，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
10．（2022高一下·镇巴县期中） ．
11．（2022高一下·扬州期末）的值为 ．
12．（2022高一下·连云期末）已知是锐角，，则的值是 ．
13．（2022高一下·衡阳期末）已知，则 .
14．（2022高一下·柳州期末）已知，则的值是 .
15．（2022高一下·九江期末）若，则的值是 ．
16．（2022·湛江模拟）若，，则 .
17．（2022高一下·西昌期中） ．
三、解答题
18．（2022高一下·驻马店期末）已知，．
（1）证明：；
（2）计算：的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】由两角差的正弦公式可得：
故答案为：C
【分析】根据两角差的正弦公式可得答案.
2．【答案】C
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】因为，，则，
，
故答案为：C.
【分析】 先求出sin，再将 用两角和与差的余弦公式展开求解即可得答案.
3．【答案】D
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】因为 ， ，所以 ，
所以 ＝ 。
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合同角三角函数基本关系式，得出的值，再利用两角差的正弦公式，进而得出的值。
4．【答案】D
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】为锐角，即，，
，
.
故答案为：D.
【分析】首先由角的取值范围即可得出的取值范围，由同角三角函数的基本关系式以及两角和的正弦公式，代入数值计算出结果即可。
5．【答案】A
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】因为、为锐角，所以，
因为，所以，
因为，所以，
故
。
故答案为：A
【分析】利用、为锐角，再结合不等式的基本性质得出角的取值范围，再利用结合同角三角函数基本关系式，进而得出的值，再利用结合同角三角函数基本关系式得出的值，再结合两角差的正弦公式，进而得出 的值 。
6．【答案】C
【知识点】两角和与差的正切公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】由题意得：
，
，解得：，
。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合同角三角函数基本关系式，进而得出的值，再利用两角和的正切公式，进而得出的值。
7．【答案】A
【知识点】两角和与差的正切公式；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】因为角以为始边，终边经过点，
所以，
所以。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合正切函数的定义和两角和的正切公式，进而得出的值。
8．【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】因为，
所以．
所以，
所以，
得，
因为，
所以．
故答案为：C．
【分析】利用已知条件结合角的取值范围和两角差的正弦公式，得出的值，再利用同角三角函数基本关系式得出的值。
9．【答案】A
【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系；两角和与差的正切公式
【解析】【解答】由韦达定理得：，，
所以。
故答案为：A
【分析】利用一种痛苦结合韦达定理和两角和的正切公式，进而得出的值。
10．【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合诱导公式，子啊结婚两角差的正弦公式，进而化简求值。
11．【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】
故答案为：
【分析】根据两角和的正切公式进行计算，可得答案.
12．【答案】
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】由于是锐角，，
所以，
所以.
故答案为：
【分析】结合同角三角函数的基本关系式、两角差的余弦公式求得正确答案.
13．【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】由，解得，
所以
故答案为：
【分析】 已知等式利用两角和与差的正切函数公式化简求出tanθ的值，再通过同角三角函数基本关系式转化求解三角函数值.
14．【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式；诱导公式
【解析】【解答】解：因为，又，
所以；
故答案为：
【分析】首先由诱导公式整理化简计算出结果，再由两角和的正切公式代入数值计算出结果即可。
15．【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为，
所以，即，
解得，
所以，
故答案为：
【分析】 利用两角差的正切公式求出，再根据同角三角函数关系式求出 的值 .
16．【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】因为，，
所以，
故答案为：
【分析】根据题意由两角和的正切公式，结合整体思想代入数值计算出结果即可。
17．【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】由题意结合两角和的正切公式，可令，
，可得。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合两角和的正切公式变形，进而化简求出的值。
18．【答案】（1）证明：方法一：
由条件，
则
即
整理得
也即，得证．
方法二：
由条件，
即，
得，
从而可得
得证．
（2）解：由于
所以原式
【知识点】两角和与差的正弦公式；两角和与差的正切公式
【解析】【分析】（1）由已知可得，然后利用两角和与差的正弦公式化简后，整理，再根据同角三角函数的关系化为正切即可得结论，或对已知式子利用两角和与差的正弦公式展开，可求出 ， ，两式相除可得结论，
（2）结合两角差的正切公式的变形公式化简，再将（1）中的结论代入可求得结果.
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高中数学人教A版（2019）必修一 5.5.1 两角和差的正弦、余弦和正切公式
一、单选题
1．（2022高一下·景德镇期末）计算（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】由两角差的正弦公式可得：
故答案为：C
【分析】根据两角差的正弦公式可得答案.
2．（2022高二下·湛江期末）已知，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】因为，，则，
，
故答案为：C.
【分析】 先求出sin，再将 用两角和与差的余弦公式展开求解即可得答案.
3．（2022·宁乡模拟）若 ，则 =（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】因为 ， ，所以 ，
所以 ＝ 。
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合同角三角函数基本关系式，得出的值，再利用两角差的正弦公式，进而得出的值。
4．（2022高一下·襄阳期末）已知为锐角，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】为锐角，即，，
，
.
故答案为：D.
【分析】首先由角的取值范围即可得出的取值范围，由同角三角函数的基本关系式以及两角和的正弦公式，代入数值计算出结果即可。
5．（2022高一下·郫都期中）已知、为锐角，且，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】因为、为锐角，所以，
因为，所以，
因为，所以，
故
。
故答案为：A
【分析】利用、为锐角，再结合不等式的基本性质得出角的取值范围，再利用结合同角三角函数基本关系式，进而得出的值，再利用结合同角三角函数基本关系式得出的值，再结合两角差的正弦公式，进而得出 的值 。
6．（2022高一下·西昌期中）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两角和与差的正切公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】由题意得：
，
，解得：，
。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合同角三角函数基本关系式，进而得出的值，再利用两角和的正切公式，进而得出的值。
7．（2022高二下·昌平期末）在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点，则（ ）
A． B． C．1 D．5
【答案】A
【知识点】两角和与差的正切公式；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】因为角以为始边，终边经过点，
所以，
所以。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合正切函数的定义和两角和的正切公式，进而得出的值。
8．（2022·茂名模拟）已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】因为，
所以．
所以，
所以，
得，
因为，
所以．
故答案为：C．
【分析】利用已知条件结合角的取值范围和两角差的正弦公式，得出的值，再利用同角三角函数基本关系式得出的值。
9．（2022高一下·郫都期中）若，是方程两个实数根，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系；两角和与差的正切公式
【解析】【解答】由韦达定理得：，，
所以。
故答案为：A
【分析】利用一种痛苦结合韦达定理和两角和的正切公式，进而得出的值。
二、填空题
10．（2022高一下·镇巴县期中） ．
【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合诱导公式，子啊结婚两角差的正弦公式，进而化简求值。
11．（2022高一下·扬州期末）的值为 ．
【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】
故答案为：
【分析】根据两角和的正切公式进行计算，可得答案.
12．（2022高一下·连云期末）已知是锐角，，则的值是 ．
【答案】
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】由于是锐角，，
所以，
所以.
故答案为：
【分析】结合同角三角函数的基本关系式、两角差的余弦公式求得正确答案.
13．（2022高一下·衡阳期末）已知，则 .
【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】由，解得，
所以
故答案为：
【分析】 已知等式利用两角和与差的正切函数公式化简求出tanθ的值，再通过同角三角函数基本关系式转化求解三角函数值.
14．（2022高一下·柳州期末）已知，则的值是 .
【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式；诱导公式
【解析】【解答】解：因为，又，
所以；
故答案为：
【分析】首先由诱导公式整理化简计算出结果，再由两角和的正切公式代入数值计算出结果即可。
15．（2022高一下·九江期末）若，则的值是 ．
【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为，
所以，即，
解得，
所以，
故答案为：
【分析】 利用两角差的正切公式求出，再根据同角三角函数关系式求出 的值 .
16．（2022·湛江模拟）若，，则 .
【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】因为，，
所以，
故答案为：
【分析】根据题意由两角和的正切公式，结合整体思想代入数值计算出结果即可。
17．（2022高一下·西昌期中） ．
【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】由题意结合两角和的正切公式，可令，
，可得。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合两角和的正切公式变形，进而化简求出的值。
三、解答题
18．（2022高一下·驻马店期末）已知，．
（1）证明：；
（2）计算：的值．
【答案】（1）证明：方法一：
由条件，
则
即
整理得
也即，得证．
方法二：
由条件，
即，
得，
从而可得
得证．
（2）解：由于
所以原式
【知识点】两角和与差的正弦公式；两角和与差的正切公式
【解析】【分析】（1）由已知可得，然后利用两角和与差的正弦公式化简后，整理，再根据同角三角函数的关系化为正切即可得结论，或对已知式子利用两角和与差的正弦公式展开，可求出 ， ，两式相除可得结论，
（2）结合两角差的正切公式的变形公式化简，再将（1）中的结论代入可求得结果.
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