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高中数学人教A版（2019）必修一 5.5.2 二倍角的正弦、余弦、正切公式
一、单选题
1．（2022高二下·贺州月考）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2022高二下·宣威期末）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022高二下·甘孜期末）若 ， 则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022高二下·温州期末）已知角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2022高二下·梅州期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2022高一下·佛山期末）若则（ ）
A． B． C． D．
7．（2022高二下·温州期末）已知，求的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022高一下·湖南期末）若，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2022高一下·邗江期中）已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022高一下·景德镇期末）若为关于x的方程的两个根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
11．（2022高一下·焦作期末）函数的最小值为（ ）
A．-3 B．-2 C．-1 D．0
12．（2022·郑州模拟）已知，则（ ）
A． B． C． D．
13．（2022高一下·赣州期末）（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
14．（2022高二上·张掖开学考）已知角是第四象限角，，则 .
15．（2022高二下·商洛期末）已知，则 .
16．（2022·浙江模拟）如图所示，角的终边与单位圆交于点，已知点的坐标为，则 ．
三、解答题
17．（2022高一下·湖北月考）已知
（1）求的值；
（2）若都是锐角，，求的值.
18．（2022高一下·赣州期末）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点．
（1）求的值；
（2）若，，求的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：，
故答案为：A
【分析】由二倍角的余弦公式代入，即可得解.
2．【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】平方得：，
即，解得：
故答案为：A
【分析】对平方后，结合同角三角函数平方关系及正弦的二倍角公式进行求解.
3．【答案】C
【知识点】二倍角的余弦公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】因为，
所以，
。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合诱导公式和二倍角的余弦公式，进而得出的值。
4．【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式；任意角三角函数的定义；诱导公式
【解析】【解答】由题知，
所以，
∴.
故答案为：A.
【分析】利用三角函数的定义求出，再根据正弦的二倍角公式结合诱导公式可得答案.
5．【答案】B
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】，
故答案为：B.
【分析】首先二倍角的正弦公式以及同角三角函数的基本关系式，计算出结果即可。
6．【答案】D
【知识点】二倍角的正切公式
【解析】【解答】.
故答案为：D
【分析】利用正切的二倍角公式可求出答案.
7．【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】
故答案为：A
【分析】 由已知利用同角三角函数基本关系式及倍角公式化弦为切求解出答案.
8．【答案】A
【知识点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故答案为：A.
【分析】由二倍角的余弦公式，整理化简代入数值计算出结果即可。
9．【答案】B
【知识点】二倍角的余弦公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】由题意得，
所以
所以
故答案为：B
【分析】配角，再利用诱导公式以及二倍角的余弦公式求出的值即可.
10．【答案】B
【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】因为为关于x的方程的两个根，
所以，，
因为，所以，
所以
，
所以
，
故答案为：B
【分析】 根据根与系数之间的关系以及三角函数的运算公式即可得出答案.
11．【答案】C
【知识点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】，.
故答案为：C.
【分析】利用二倍角的降幂公式化简函数解析式，利用余弦型函数的有界性可求得结果.
12．【答案】C
【知识点】二倍角的正切公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】因为，
所以，分子分母同除得，解得，
所以。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合同角三角函数基本关系式，再结合二倍角的正切公式，进而得出的值。
13．【答案】C
【知识点】二倍角的正弦公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合诱导公式和二倍角的正弦公式，进而得出的值。
14．【答案】
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】因为，可得，
又因为角是第四象限角，所以，可得，
所以.
故答案为：.
【分析】根据三角函数的基本关系式求得，结合正弦的倍角公式，即可求解.
15．【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】因为，所以，从而.
故答案为：.
【分析】由已知条件结合同角三角函数的基本关系式，结合二倍角的余弦公式，代入数值计算出结果即可。
16．【答案】
【知识点】二倍角的正切公式；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】由三角函数的定义可得，所以.
故答案为：.
【分析】 由题意，利用任意角的三角函数的定义，二倍角的正切公式，计算求得 的值.
17．【答案】（1）解：，
.
（2）解：因为都是锐角，所以，，，
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）两边同平方，根据二倍角公式和同角平方关系，即可求解；
(2) 通过凑角，利用正弦和差公式，即可求解.
18．【答案】（1）解：因为角的终边过点，所以，，
所以
（2）解：因为是第三象限角，，，
所以，且 ，
所以是第四象限角，即，
所以
.
【知识点】二倍角的余弦公式；象限角、轴线角；任意角三角函数的定义；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合三角函数的定义和二倍角的余弦公式，进而得出 的值。
（2）利用角 是第三象限角和， 再结合不等式的基本性质得出，且 ，进而得出角所在的象限，再结合同角三角函数基本关系式得出的值，再结合角之间的关系式和两角差的正弦公式得出 的值。
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高中数学人教A版（2019）必修一 5.5.2 二倍角的正弦、余弦、正切公式
一、单选题
1．（2022高二下·贺州月考）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：，
故答案为：A
【分析】由二倍角的余弦公式代入，即可得解.
2．（2022高二下·宣威期末）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】平方得：，
即，解得：
故答案为：A
【分析】对平方后，结合同角三角函数平方关系及正弦的二倍角公式进行求解.
3．（2022高二下·甘孜期末）若 ， 则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二倍角的余弦公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】因为，
所以，
。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合诱导公式和二倍角的余弦公式，进而得出的值。
4．（2022高二下·温州期末）已知角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式；任意角三角函数的定义；诱导公式
【解析】【解答】由题知，
所以，
∴.
故答案为：A.
【分析】利用三角函数的定义求出，再根据正弦的二倍角公式结合诱导公式可得答案.
5．（2022高二下·梅州期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】，
故答案为：B.
【分析】首先二倍角的正弦公式以及同角三角函数的基本关系式，计算出结果即可。
6．（2022高一下·佛山期末）若则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二倍角的正切公式
【解析】【解答】.
故答案为：D
【分析】利用正切的二倍角公式可求出答案.
7．（2022高二下·温州期末）已知，求的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】
故答案为：A
【分析】 由已知利用同角三角函数基本关系式及倍角公式化弦为切求解出答案.
8．（2022高一下·湖南期末）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故答案为：A.
【分析】由二倍角的余弦公式，整理化简代入数值计算出结果即可。
9．（2022高一下·邗江期中）已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二倍角的余弦公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】由题意得，
所以
所以
故答案为：B
【分析】配角，再利用诱导公式以及二倍角的余弦公式求出的值即可.
10．（2022高一下·景德镇期末）若为关于x的方程的两个根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】因为为关于x的方程的两个根，
所以，，
因为，所以，
所以
，
所以
，
故答案为：B
【分析】 根据根与系数之间的关系以及三角函数的运算公式即可得出答案.
11．（2022高一下·焦作期末）函数的最小值为（ ）
A．-3 B．-2 C．-1 D．0
【答案】C
【知识点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】，.
故答案为：C.
【分析】利用二倍角的降幂公式化简函数解析式，利用余弦型函数的有界性可求得结果.
12．（2022·郑州模拟）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二倍角的正切公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】因为，
所以，分子分母同除得，解得，
所以。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合同角三角函数基本关系式，再结合二倍角的正切公式，进而得出的值。
13．（2022高一下·赣州期末）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二倍角的正弦公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合诱导公式和二倍角的正弦公式，进而得出的值。
二、填空题
14．（2022高二上·张掖开学考）已知角是第四象限角，，则 .
【答案】
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】因为，可得，
又因为角是第四象限角，所以，可得，
所以.
故答案为：.
【分析】根据三角函数的基本关系式求得，结合正弦的倍角公式，即可求解.
15．（2022高二下·商洛期末）已知，则 .
【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】因为，所以，从而.
故答案为：.
【分析】由已知条件结合同角三角函数的基本关系式，结合二倍角的余弦公式，代入数值计算出结果即可。
16．（2022·浙江模拟）如图所示，角的终边与单位圆交于点，已知点的坐标为，则 ．
【答案】
【知识点】二倍角的正切公式；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】由三角函数的定义可得，所以.
故答案为：.
【分析】 由题意，利用任意角的三角函数的定义，二倍角的正切公式，计算求得 的值.
三、解答题
17．（2022高一下·湖北月考）已知
（1）求的值；
（2）若都是锐角，，求的值.
【答案】（1）解：，
.
（2）解：因为都是锐角，所以，，，
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）两边同平方，根据二倍角公式和同角平方关系，即可求解；
(2) 通过凑角，利用正弦和差公式，即可求解.
18．（2022高一下·赣州期末）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点．
（1）求的值；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）解：因为角的终边过点，所以，，
所以
（2）解：因为是第三象限角，，，
所以，且 ，
所以是第四象限角，即，
所以
.
【知识点】二倍角的余弦公式；象限角、轴线角；任意角三角函数的定义；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合三角函数的定义和二倍角的余弦公式，进而得出 的值。
（2）利用角 是第三象限角和， 再结合不等式的基本性质得出，且 ，进而得出角所在的象限，再结合同角三角函数基本关系式得出的值，再结合角之间的关系式和两角差的正弦公式得出 的值。
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