高中数学人教A版（2019）必修一 5.4.3 正切函数的性质与图象
一、单选题
1．（2021高一下·商洛期末）函数 的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
2．（2020高一上·武进月考）若 的周期为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022高一上·太原期末）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是最小正周期为的偶函数
B．是最小正周期为的偶函数
C．是最小正周期为的奇函数
D．是最小正周期为的奇函数
4．（2020高一下·邢台开学考）函数 ， 的值域是（ ）
A． B． C． D．
5．（2020高一下·辽宁期中）不等式 的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2022高一下·江西期中）函数的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2021高一下·金台期中）已知函数，则下列说法中正确的是（ ）
A．函数图像的对称中心为，
B．函数图像的一条对称轴方程是
C．函数在区间上为增函数
D．函数的最小正周期是
8．（2022高一下·汉中期中）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的定义域为R
B．函数的最小正周期为4
C．函数的单调递增区间为，
D．函数图像的对称中心为，
二、多选题
9．（2022高一上·海南期末）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．的定义域为
C．的图象的对称中心为
D．在区间上单调递增
10．（2021·泰安模拟）下列关于函数 的说法正确的是（ ）
A．在区间 上单调递增
B．最小正周期是
C．图象关于点 成中心对称
D．图象关于直线 对称
三、填空题
11．（2022高一上·泸州期末）若函数的最小正周期为，则的值为 .
12．（2021高一下·昌平期末）函数 的定义域是 .
13．（2021高一下·定远期中）函数的单调递增区间是 .
14．（2021高一下·咸阳期末）函数 的对称中心为 .
15．（2020高一上·舒城期末）函数y=tan（ + ），x∈（0， ]的值域是 ．
16．（2021高三上·白山期末）若函数在上单调递减，且在上的最大值为，则 .
四、解答题
17．（2019高一上·长沙月考）求函数 在 时的值域.
18．（2019高一上·河东期末）已知函数 ．
（1）求 最小正周期、定义域；
（2）若 ，求x的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】函数 的最小正周期为 .
故答案为：B
【分析】 由题意利用正切函数的周期性，得出结论.
2．【答案】D
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】依题意 ，所以 .
故答案为：D
【分析】由正切函数的周期公式代入数值计算出的值，再把数值代入函数的解析式计算出答案即可。
3．【答案】C
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】解：的最小正周期为，
令，
所以函数的定义域关于原点对称.
又，
所以函数是奇函数.
故答案为：C
【分析】由正切公式的周期公式，代入数值计算出结果，再由奇偶性的定义整理化简即可得出答案。
4．【答案】C
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】解：对于函数 ， ， ，
，
故答案为：C．
【分析】首先由的取值范围即可得出的取值范围，再由特殊角的正切函数值计算出结果即可。
5．【答案】B
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】因为 ，所以结合函数 的图象可得 ，
故答案为：B.
【分析】由函数 的图象求得x的范围.
6．【答案】A
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】由，可得，
即，所以的单调递增区间是。
故答案为：A．
【分析】利用已知条件结合正切型函数的图象判断出其单调性，进而得出正切型函数的单调递增区间。
7．【答案】D
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】对于A，当 或 时，即 或 是函数的对称中心，故错误，对于B，正切型函数无对称轴，故错误，对于C，当 时， ，正切函数在此区间不单调，故错误，对于D，周期 ，故正确.
故答案为：D.
【分析】根据正切型函数的图象和性质，分别分析其对称中心，对称轴，周期，增减性即可.
8．【答案】D
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】由得，
所以函数的定义域为，A不符合题意；
函数的最小正周期为，B不符合题意；
由得，
函数的单调递增区间为，，C不符合题意；
由得，
所以函数的对称中心为，，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合正切型函数的定义域求解方法、最小正周期公式、单调区间求解方法、对称中心求解方法，进而找出结论正确的选项。
9．【答案】A,C,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正切函数的图象与性质
【解析】【解答】对于A选项，函数的最小正周期为，A对；
对于B选项，由，解得，
故函数的定义域为，B不符合题意；
对于C选项，由，解得，
所以，函数图象的对称中心为，C对；
对于D选项，当时，，故函数在区间上单调递增，D对.
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件结合正切型函数的最小正周期公式得出正切型函数f(x)的最小正周期；再利用正切函数的定义域和换元法，进而得出正切型函数f(x)的定义域；再利用正切型函数的图象求出其对称中心，再结合正切型函数的图象判断函数 在区间上的单调性，进而找出说法正确的选项。
10．【答案】A,C
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】由 得 ，
当 ，单调增区间为 ，所以A符合题意；
因为 ，所以函数的最小正周期是 ，所以B不符合题意；
由 得 ，当 时，函数的对称中心为 ，
所以函数的图象关于点 成中心对称，C符合题意；
函数 没有对称轴，所以D不符合题意.
故答案为：AC.
【分析】 根据正切函数的单调性判断选项A正确；根据正切函数的周期性求出该函数的最小正周期，判断选项B错误；根据正切函数的对称性判断选项C正确；根据正切型函数的图象不是轴对称图象，判断选项D错误.
11．【答案】1
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】由函数的最小正周期为，
可知，得
故答案为：1
【分析】由正切函数的周期公式，代入数值计算出结果即可。
12．【答案】
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】函数 的定义域为：
即：函数 的定义域为：
故答案为：
【分析】 根据正弦函数的定义域，构造关于x的不等式，解不等式，求出自变量x的取值范围，即可得到函数的定义域.
13．【答案】
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】令
，解得
.
【分析】根据正切函数的单调性即可求出答案。
14．【答案】
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】由正切函数性质，令 ，可得 .
∴函数 的对称中心为
故答案为：
【分析】根据正切函数的对称性进行求解即可。
15．【答案】
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由 ， ， ，
结合正切函数的性质可得： ．
故答案为 ， ．
【分析】根据 ， ，求解 的范围，结合正切函数的性质可得值域；
16．【答案】
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】因为函数在上单调递减，
所以，，则，
又因为函数在上的最大值为，
所以，即，
所以。
故答案为：。
【分析】利用正切型函数的图象判断出正切型函数在给定区间的单调性，从而求出函数在给定区间的最大值，再利用已知条件函数在上单调递减且在上的最大值为， 从而求出的值。
17．【答案】解：∵ ，
∴ ，
，
∴ 时， ，
函数无最大值，
∴所求值域为 ．
故答案为：
【知识点】函数的值域；二次函数在闭区间上的最值；正切函数的图象与性质
【解析】【分析】先求出 的取值范围，再结合二次函数性质得值域．
18．【答案】（1）解：对于函数 ，它的最小正周期为 ，
由 ，求得 ，可得它的定义域为
（2）解： ，即 ，故 ，
求得 ，故x的取值范围为 ，
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据正切函数的周期性及定义域，即可求出函数f（x）的最小正周期和定义域；
（2）根据函数值的变化，解不等式，即可求出实数x的取值范围.
1 / 1高中数学人教A版（2019）必修一 5.4.3 正切函数的性质与图象
一、单选题
1．（2021高一下·商洛期末）函数 的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】函数 的最小正周期为 .
故答案为：B
【分析】 由题意利用正切函数的周期性，得出结论.
2．（2020高一上·武进月考）若 的周期为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】依题意 ，所以 .
故答案为：D
【分析】由正切函数的周期公式代入数值计算出的值，再把数值代入函数的解析式计算出答案即可。
3．（2022高一上·太原期末）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是最小正周期为的偶函数
B．是最小正周期为的偶函数
C．是最小正周期为的奇函数
D．是最小正周期为的奇函数
【答案】C
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】解：的最小正周期为，
令，
所以函数的定义域关于原点对称.
又，
所以函数是奇函数.
故答案为：C
【分析】由正切公式的周期公式，代入数值计算出结果，再由奇偶性的定义整理化简即可得出答案。
4．（2020高一下·邢台开学考）函数 ， 的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】解：对于函数 ， ， ，
，
故答案为：C．
【分析】首先由的取值范围即可得出的取值范围，再由特殊角的正切函数值计算出结果即可。
5．（2020高一下·辽宁期中）不等式 的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】因为 ，所以结合函数 的图象可得 ，
故答案为：B.
【分析】由函数 的图象求得x的范围.
6．（2022高一下·江西期中）函数的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】由，可得，
即，所以的单调递增区间是。
故答案为：A．
【分析】利用已知条件结合正切型函数的图象判断出其单调性，进而得出正切型函数的单调递增区间。
7．（2021高一下·金台期中）已知函数，则下列说法中正确的是（ ）
A．函数图像的对称中心为，
B．函数图像的一条对称轴方程是
C．函数在区间上为增函数
D．函数的最小正周期是
【答案】D
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】对于A，当 或 时，即 或 是函数的对称中心，故错误，对于B，正切型函数无对称轴，故错误，对于C，当 时， ，正切函数在此区间不单调，故错误，对于D，周期 ，故正确.
故答案为：D.
【分析】根据正切型函数的图象和性质，分别分析其对称中心，对称轴，周期，增减性即可.
8．（2022高一下·汉中期中）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的定义域为R
B．函数的最小正周期为4
C．函数的单调递增区间为，
D．函数图像的对称中心为，
【答案】D
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】由得，
所以函数的定义域为，A不符合题意；
函数的最小正周期为，B不符合题意；
由得，
函数的单调递增区间为，，C不符合题意；
由得，
所以函数的对称中心为，，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合正切型函数的定义域求解方法、最小正周期公式、单调区间求解方法、对称中心求解方法，进而找出结论正确的选项。
二、多选题
9．（2022高一上·海南期末）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．的定义域为
C．的图象的对称中心为
D．在区间上单调递增
【答案】A,C,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正切函数的图象与性质
【解析】【解答】对于A选项，函数的最小正周期为，A对；
对于B选项，由，解得，
故函数的定义域为，B不符合题意；
对于C选项，由，解得，
所以，函数图象的对称中心为，C对；
对于D选项，当时，，故函数在区间上单调递增，D对.
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件结合正切型函数的最小正周期公式得出正切型函数f(x)的最小正周期；再利用正切函数的定义域和换元法，进而得出正切型函数f(x)的定义域；再利用正切型函数的图象求出其对称中心，再结合正切型函数的图象判断函数 在区间上的单调性，进而找出说法正确的选项。
10．（2021·泰安模拟）下列关于函数 的说法正确的是（ ）
A．在区间 上单调递增
B．最小正周期是
C．图象关于点 成中心对称
D．图象关于直线 对称
【答案】A,C
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】由 得 ，
当 ，单调增区间为 ，所以A符合题意；
因为 ，所以函数的最小正周期是 ，所以B不符合题意；
由 得 ，当 时，函数的对称中心为 ，
所以函数的图象关于点 成中心对称，C符合题意；
函数 没有对称轴，所以D不符合题意.
故答案为：AC.
【分析】 根据正切函数的单调性判断选项A正确；根据正切函数的周期性求出该函数的最小正周期，判断选项B错误；根据正切函数的对称性判断选项C正确；根据正切型函数的图象不是轴对称图象，判断选项D错误.
三、填空题
11．（2022高一上·泸州期末）若函数的最小正周期为，则的值为 .
【答案】1
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】由函数的最小正周期为，
可知，得
故答案为：1
【分析】由正切函数的周期公式，代入数值计算出结果即可。
12．（2021高一下·昌平期末）函数 的定义域是 .
【答案】
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】函数 的定义域为：
即：函数 的定义域为：
故答案为：
【分析】 根据正弦函数的定义域，构造关于x的不等式，解不等式，求出自变量x的取值范围，即可得到函数的定义域.
13．（2021高一下·定远期中）函数的单调递增区间是 .
【答案】
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】令
，解得
.
【分析】根据正切函数的单调性即可求出答案。
14．（2021高一下·咸阳期末）函数 的对称中心为 .
【答案】
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】由正切函数性质，令 ，可得 .
∴函数 的对称中心为
故答案为：
【分析】根据正切函数的对称性进行求解即可。
15．（2020高一上·舒城期末）函数y=tan（ + ），x∈（0， ]的值域是 ．
【答案】
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由 ， ， ，
结合正切函数的性质可得： ．
故答案为 ， ．
【分析】根据 ， ，求解 的范围，结合正切函数的性质可得值域；
16．（2021高三上·白山期末）若函数在上单调递减，且在上的最大值为，则 .
【答案】
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】因为函数在上单调递减，
所以，，则，
又因为函数在上的最大值为，
所以，即，
所以。
故答案为：。
【分析】利用正切型函数的图象判断出正切型函数在给定区间的单调性，从而求出函数在给定区间的最大值，再利用已知条件函数在上单调递减且在上的最大值为， 从而求出的值。
四、解答题
17．（2019高一上·长沙月考）求函数 在 时的值域.
【答案】解：∵ ，
∴ ，
，
∴ 时， ，
函数无最大值，
∴所求值域为 ．
故答案为：
【知识点】函数的值域；二次函数在闭区间上的最值；正切函数的图象与性质
【解析】【分析】先求出 的取值范围，再结合二次函数性质得值域．
18．（2019高一上·河东期末）已知函数 ．
（1）求 最小正周期、定义域；
（2）若 ，求x的取值范围．
【答案】（1）解：对于函数 ，它的最小正周期为 ，
由 ，求得 ，可得它的定义域为
（2）解： ，即 ，故 ，
求得 ，故x的取值范围为 ，
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据正切函数的周期性及定义域，即可求出函数f（x）的最小正周期和定义域；
（2）根据函数值的变化，解不等式，即可求出实数x的取值范围.
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