数学北师大版（2019）必修第一册1.3.2基本不等式（2课时）教案

第一章　预备知识
第3节　不等式
3.2基本不等式（一）
本节之前，学生已经可以解决一些常见函数的最值和“作差法”证明不等式等问题，但对于一些复杂函数（如分式类型的函数）、具有实际背景的函数模型的最值问题以及一些不等式的证明等问题，还需要用到基本不等式（均值不等式），基本不等式是高中阶段不等式证明的重要工具，也是求解函数最值问题的重要方法之一。
(1)知识目标：
熟练掌握基本不等式（均值不等式）的内容、不等式成立的条件和等号成立的条件；灵活运用基本不等式进行不等式的证明和函数求最值。
(2)核心素养目标：
通过基本不等式的几何证明，让学生掌握“数形结合”这一重要数学数学方法，通过基本不等式的应用，提高学生数学运算能力和数学建模能力。
（1）基本不等式（均值不等式）的内容、字母的范围以及等号成立的条件；
（2）利用基本不等式进行不等式的证明和函数求最值。
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复习引入
上一节课，教材26页练习题第2题，如图
得到一个不等式：，当时，取“=”。
思考讨论：
如图，是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由四个直角三角形拼合而成，正方形的边长为直角三角形的斜边长.
直角三角形两条直角边为，由面积得到不等式，当时，取“=”。
试证明不等式：，当时，取“=”。
提示：作差法证明
二、新知识
在上述不等式中，取，得，当时，取“=”。
基本不等式：
两个实数，，则：，当且仅当时等号成立.
注意：①称为实数的算数平均数，称为实数的几何平均数，上述基本不等式又叫“均值不等式”，即“两个非负实数的算数平均数大于或等于几何平均数”；
②务必注意均值不等式“”中的字母为非负数，等号成立的条件为；
③均值不等式的各种形式：、、、，
特别还有 、；
④均值不等式的另一个几何解释：
如图：半圆上一点，垂直于直径于
由初中几何知识， 即.
例4.已知，求证：.
证明：由均值不等式，，
三式相加，得
思考讨论(综合练习)：
(1) 已知，求证：；
(2) 已知正实数，且，求的最小值；
(3) 已知，求函数的最小值；
(4) 若，求的最大值.
提示：(1),
得
(2)，由和均值不等式，
当，即时，的最小值为4.
(3)由，即，所以
当即时，函数取得最小值1.
(4)由，则，所以
当即时，的最大值为1.
（该题也可以直接用二次函数的知识求解）
注意：①在用均值不等式时，务必注意不等式的条件，即，当才成立；
如综合练习（3）题：函数，如果去掉条件“”，解答就要分情况
当时，，则
当时，，
则
即函数，在时函数有最小值1，在时函数有最大值。
②在利用均值不等式求函数最大（小）值时，要把握“一正二定三相等”的原则，避免出错；
如：综合练习（4）题
三、课堂练习
教材P28，练习1～5.
四、课后作业
教材P30，习题1-3，A组第6、7题，B组第1题.
(1)使用均值不等式时，注意验证条件“一正二定三相等”；
(2)当出现“和为定值”或“积为定值”的问题时，一般可考虑使用均值不等式.
3.2基本不等式（二）
上一节学习了基本不等式（均值不等式），以及在不等式的证明和函数求最值方面的运用，本节进一步讲解基本不等式在不等式的证明和函数求最值等方面的运用，着重基本不等式在解决实际应用问题中的应用，提高学生数学应用能力和数学建模能力。
(1)知识目标：
基本不等式（均值不等式），在不等式的证明和函数求最大（小）值等问题中的应用；基本不等式在实际问题中的应用。
(2)核心素养目标：
通过基本不等式的应用，提高学生数学运算能力和数学建模能力。
（1）利用基本不等式（均值不等式）证明不等式和函数求最大（小）值；
（2）基本不等式在实际问题中的应用。
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一、复习引入
均值不等式：
其中实数，满足，当且仅当时等号成立.
思考讨论：
将100分成两个整数，即，要使这两个整数的乘积尽量的大，该怎样分？
提示：
100 2 98 196
100 30 70 2100
100 40 60 2400
100 50 50 2500
可见，当时，最大，依据是均值不等式：，当且仅当时等号成立。
二、新知识
实数均为正数，则
(1)若（定值），则当且仅当时，取得最大值；
(2)若（定值），则当且仅当时，取得最小值.
注意：用均值不等式求最大（小）值时，要注意“一正二定三相等”的条件，“一正”即正数条件；“二定”即和或者乘积是常数；“三相等”即取等号的条件.
如：求函数的最小值，
如果直接，函数最小值是2，解答是错误的!
因为，即，无解，也就是等号取不到!就不能用均值不等式求该函数的最值，而应该用函数的性质来解。
例5. 已知实数均为正数，试求证：若（定值），则当且仅当时，取得最大值.
提示：因为，由均值不等式即得.
例6. 如图，动物园要围成四间相同面积的长方形禽舍，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成. (接头处不计)
(1)现有可围36m长的钢筋网的材料，当每间禽舍的长、宽各设计为多长时，可使每间禽舍面积最大？
(2)若使每间禽舍面积为24m2，则每间禽舍的长、宽各设计为多长时，可使围成四间禽舍的钢筋网总长最小？
解：设每间禽舍的长、宽分别为m、 m ，禽舍的面积为m2，则
(1)，则,
由均值不等式
得，当即时，等号成立
因此，当禽舍的长、宽分别为4.5m、3m时，每间禽舍的面积最大，最大面积为13.5 m2.
(2)（解答请同学们自行完成），答案是长、宽分别为6m、4m时钢筋网总长最小.
思考讨论(综合练习)：
(1) 已知，求证：；
(2) 已知正实数，且，求的最小值；
(3) 已知，求函数的最小值；
(4) 若，且恒成立，求的取值范围.
提示：(1),
得
(2)，由和均值不等式，
当，即时，的最小值为.
(3)由，即，
所以
当即(舍去)，
即当时，函数取得最小值.
(4)由题意，即求当时，函数的最大值.
，当时取“=”.
则恒成立，即，得的取值范围为.
三、课堂练习
教材P30，练习1～4.
四、课后作业
教材P30，习题1-3，A组第8、9、10题，B组第2、3题.
(1)使用均值不等式时，注意验证条件“一正二定三相等”；
(2)当出现“和为定值”或“积为定值”的问题时，一般可考虑使用均值不等式.