数学北师大版（2019）必修第一册1.4.2一元二次不等式及其解法（含2课时）教案

第一章　预备知识
第4节 一元二次函数与一元二次不等式
4.2一元二次不等式及其解法（一）
一元二次不等式是不等式中的一个重要内容，其解法既体现了函数、方程以及不等式的内在联系，又蕴含着归纳转化、分类讨论、数形结合等丰富的数学思想方法，通过一元二次不等式解法的学习，能够使学生在掌握上述重要数学思想方法的同时，提高学生分析问题和解决问题的能力。
(1)知识目标：
掌握一元二次不等式及相关概念；理解一元二次方程、一元二次函数与一元二次不等式的内在联系；熟练运用函数、方程以及一元二次函数的图象求解一元二次不等式的解集。
(2)核心素养目标：
通过学习一元二次不等式的解法，使学生掌握分类讨论、数形结合等数学思想方法，提高学生数学抽象和数学运算素养。
（1）一元二次不等式及一元二次不等式解集的概念；
（2）一元二次方程、一元二次函数与一元二次不等式的内在联系；
（3）运用函数、方程以及一元二次函数的图象求解一元二次不等式的解集。
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一、复习引入
(1)一元二次函数的图象是抛物线.
当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下.
(2)抛物线与轴交点的横坐标是对应一元二次方程的根.
当时，抛物线与轴有两个不同交点；
当时，抛物线与轴有一个交点；
当时，抛物线与轴没有交点。
思考讨论：
汽车在行驶过程中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距”。某种汽车的刹车距（单位m）与车速（单位km/h）之间有函数关系：
在一次事故现场，已知该路段限速40km/h，该车刹车痕迹超过10m，这辆车是否超速？
提示：由题意，列出不等式，求出速度的范围，以确定是否超速。
二、新知识
1、一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式叫作一元二次不等式。
一元二次不等式形如，其中“”也可换成“”“”“”
使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集。
注意：
怎样解一元二次不等式呢？以不等式为例
首先画出一元二次函数的图象如图：
抛物线与轴的交点，即一元二次方程的根，解得,
由，即函数值，得解集为
2、一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系
如下表，不妨设
其中
方程 两个不等实根 两个相等实根 无实根
函数
不等式
注意：
(1)解一元二次不等式的口诀：
先看开口再看根，
函数图象是根本。
横轴上方y为正，
根间根外想谨慎。
(2)一元二次不等式的解法思路：
例2.求不等式的解集.
解：函数，抛物线开口向上，对应二次方程有两个相等实根
所以不等式的解集为；
例3.求不等式的解集.
解法1：对应抛物线开口向上，方程有两个实根
大于零解集是“两根之外”，所以不等式解集为.
解法2：由，即
由“同号得正，异号得负”，得或，解得
所以不等式解集为.
思考讨论(综合练习)：
(1)已知不等式的解集为，求不等式的解集；
(2)已知关于的不等式的解集为，求实数的取值范围.
提示：(1) 不等式的解集为，即方程的解为
解得，不等式即
化简得，解集为
(2)根据题意，分两种情况
①当时，即.
若，不等式变为，成立，符合条件；
若，不等式变为，解集为，不符合题意.
②当时，不等式为一元二次不等式，要使解集为，则对应二次函数抛物线开口只能向上，且，即，解得
即
综上，求实数的取值范围.
三、课堂练习
教材P37，练习1、2.
四、课后作业
教材P39，习题1-4：A组第1、2、3题.
一元二次不等式的解法：先看开口再看根，函数图象是根本，横轴上方y为正，根间根外想谨慎。
4.2一元二次不等式及其解法（二）
一元二次不等式是不等式中的一个重要内容，其解法既体现了函数、方程以及不等式的内在联系，又蕴含着归纳转化、分类讨论、数形结合等丰富的数学思想方法，上一节课学习了基本的一元二次不等式的解法，本节继续学习含有字母的一元二次不等式问题的处理和简单的分式不等式的解法，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力。
(1)知识目标：
掌握含有字母的一元二次不等式问题的处理方法；了解不等式恒成立等综合性问题的解法；掌握简单的分式不等式的解法及应用。
(2)核心素养目标：
通过学习含有字母的一元二次不等式的解法，使学生掌握分类讨论、数形结合等思想方法，提高学生数学抽象和数学运算素养。
（1）含有字母的一元二次不等式问题的处理方法；
（2）不等式恒成立等综合性问题的解法；
（3）简单的分式不等式的解法。
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复习引入
（1）一元二次不等式的解法：先看开口再看根，函数图象是根本，横轴上方y为正，根间根外想谨慎。
（2）上一节课例3，给出了第二种解法：
不等式的解集，即
则等价于因式与同号
即初中乘法口诀中的“同号得正，异号的负”
思考讨论：利用“同号得正，异号的负”，求不等式的解集.
提示：不等式与不等式同解，根据对应抛物线开口向上，大于零解集为“两根之外”，得分式不等式的解集为.
例4.求关于的不等式的解集（其中是常数）.
解：，对应二次方程两根为
对应抛物线开口向上，小于零的解集是“两根之间”
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为
思考讨论(综合练习)：
(1)若不等式的解集为，求实数的取值范围；
(2)求不等式的解集；
(3)已知集合，集合，若，求实数的取值范围；
(4)解关于的不等式.
提示：(1) 不等式的解集为，
当时，不等式为，恒成立，所以符合题意；
当时，的解集为，则抛物线的开口只能向上，且，即解得.
综上，的取值范围
(2) 不等式等价于且，
如果展开，其二次项系数为负，抛物线开口向下，
所以不等式的解集为.
(3)不等式，即，得，则集合
即，因
所以集合.
，则，所以，解
实数的取值范围为.
（4）不等式
当时,原不等式为，解集为
当时, 原不等式为，对应两根为和，则
①若，则，且对应抛物线开口向下，所以解集为
②若，对应抛物线开口向上
i)，则，所以解集为
ii)，则， 所以解集为
iii)，则，所以解集为
综上，当时，不等式解集为
当时，不等式解集为
当时，不等式解集为
当时，不等式解集为
当时，不等式解集为
三、课堂练习
教材P37，练习3、4.
四、课后作业
教材P40，习题1-4， B组第1、2题.
一元二次不等式的解法：先看开口再看根，函数图象是根本，横轴上方y为正，根间根外想谨慎。